二利用柱面坐标计算三重积分

2022-1-301二二 利用柱面坐标计算三重积分利用柱面坐标计算三重积分三三 球面坐标系球面坐标系五五 小结与思考判断题小结与思考判断题一一 柱面坐标系柱面坐标系四四 利用球面坐标计算三重积分利用球面坐标计算三重积分第三节第三节 三重积分三重积分(2)2022-1-302,0 r,20 . z一一 柱面坐标系柱面坐标系的柱面坐标的柱面坐标就叫点就叫点个数个数，则这样的三，则这样的三的极坐标为的极坐标为面上的投影面上的投影在在为空间内一点，并设点为空间内一点，并设点设设MzrrPxoyMzyxM,),( 规定：规定：xyzo),(zyxM),(rPr.轴轴坐坐标标系系加加上上平平面面极极注注意意：柱柱面面坐坐标标系系就就是是z2022-1-303 .,sin,coszzryrx 柱面坐标与直角坐标的柱面坐标与直角坐标的关系为关系为为常数为常数r为常数为常数z为常数为常数 柱面坐标系的三坐标面是柱面坐标系的三坐标面是圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxM),(rPrzxyzo zzxyyxrtan22或或2022-1-304二二 利用柱面坐标计算三重积分利用柱面坐标计算三重积分 dxdydzzyxf),(.),sin,cos( dzrdrdzrrf drxyzodzdr rd利用柱面坐标系的三组坐利用柱面坐标系的三组坐标面来分割积分区域，如图，标面来分割积分区域，如图，,dzrdrddv 体积元素为体积元素为所所以以为为棱棱的的长长方方体体体体积积，近近似似等等于于以以所所围围成成的的小小柱柱体体的的体体积积和和，和和和和由由zrrzzzrrr, 2022-1-305例例1 1 计算计算 zdxdydzI，其中，其中 是球面是球面 4222 zyx与抛物面与抛物面zyx322 所围的立体所围的立体.解解 zrzr34222, 3, 1 rz球面与抛物面交线为球面与抛物面交线为2022-1-306 23242030rrzdzrdrdI.413 面面上上，投投影影到到把把闭闭区区域域xoy.20, 3043:22 rrzr，2022-1-307解解所围成的立体如图，所围成的立体如图， dxdydzyxz22 2计算计算例例由由圆圆锥锥面面其其是中 ,所所围围成成的的区区域域。与与1222 zzyx , 1:22 yxD222zyx , rz ,20, 10, 1: rzr2022-1-308 110220rzdzdrrd 1022)21(2drrr.152 dxdydzyxz22 dzdrdzr2所以所以2022-1-309三三 球面坐标系球面坐标系的的球球面面坐坐标标就就叫叫做做点点，个个数数面面上上的的投投影影，这这样样的的三三在在为为点点的的角角，这这里里转转到到有有向向线线段段轴轴按按逆逆时时针针方方向向轴轴来来看看自自为为从从正正轴轴正正向向所所夹夹的的角角，与与为为有有向向线线段段间间的的距距离离，与与点点为为原原点点定定，其其中中来来确确，可可用用三三个个有有次次序序的的数数为为空空间间内内一一点点，则则点点设设MrxoyMPOPxzzOMMOrrMzyxM ),(Pxyzo),(zyxMr zyxA2022-1-3010,r 0.20 ,0 规定：规定：为常数为常数r为常数为常数 为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面2022-1-3011 .cos,sinsin,cossin rzryrx球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为如图，如图，Pxyzo),(zyxMr zyxA，轴上的投影为轴上的投影为在在点点，面上的投影为面上的投影为在在设点设点AxPPxoyM.,zPMyAPxOA 则则2022-1-3012四四 利用球面坐标计算三重积分利用球面坐标计算三重积分 dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf球面坐标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为,sin2 ddrdrdv drxyzodr dsinr rd d d sinr2022-1-3013例例 3 3 计计算算 dxdydzyxI)(22，其其中中 是是锥锥面面222zyx ， 与与平平面面az )0( a所所围围的的立立体体.解解 采采用用球球面面坐坐标标az ,cos ar222zyx ,4 ,20,40,cos0: ar2022-1-3014 dxdydzyxI)(22drrdda 40cos03420sin da)0cos(51sin255403.105a 2022-1-3015例例 4 4 求曲面求曲面22222azyx 与与22yxz 所围所围 成的立体体积成的立体体积.解解 由由锥锥面面和和球球面面围围成成，采采用用球球面面坐坐标标，由由22222azyx ,2ar 22yxz ,4 ,20,40,20: ar2022-1-3016由由三三重重积积分分的的性性质质知知 dxdydzV, adrrddV202020sin4 4033)2(sin2da.)12(343a 2022-1-3017五五 小结与思考判断题小结与思考判断题（1） 柱面坐标的体积元素柱面坐标的体积元素dzrdrddxdydz （2） 球面坐标的体积元素球面坐标的体积元素 ddrdrdxdydzsin2 三重积分计算三重积分计算 柱面坐标柱面坐标球面坐标球面坐标2022-1-3018思考判断题思考判断题若积分域关于三个坐标面都对称，则若积分域关于三个坐标面都对称，则. 01)1ln(222222 dxdydzzyxzyxz