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第三讲第三讲 推理与证明推理与证明1合情推理合情推理(1)归纳推理归纳推理归纳推理是由某类事物的归纳推理是由某类事物的 具有某些特征，推出该具有某些特征，推出该类事物的类事物的 都具有这些特征的推理，或者由个别事实都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出概括出 的推理的推理归纳推理的思维过程如下：归纳推理的思维过程如下：部分对象全部对象一般结论(2)类比推理类比推理类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理类比推理的思维过程如下：类比推理的思维过程如下：2演绎推理演绎推理“三段论三段论”是演绎推理的一般模式，包括：是演绎推理的一般模式，包括：(1)大前提大前提已知的一般原理已知的一般原理(2)小前提小前提所研究的特殊情况所研究的特殊情况(3)结论结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断根据一般原理，对特殊情况做出的判断3直接直接证明证明(1)综合法综合法用用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所表示所要要证明证明的结论，则综合法可用框图表示为：的结论，则综合法可用框图表示为：(2)分析法分析法用用Q表示要表示要证明证明的结论，则分析法可用框图表示为：的结论，则分析法可用框图表示为：4间接证明间接证明用反证法证明命题用反证法证明命题“若若p则则q”的过程可以用如图所示的框图的过程可以用如图所示的框图表示表示5数学归纳法数学归纳法用数学归纳法证明与正整数用数学归纳法证明与正整数n有关命题的步骤为：有关命题的步骤为：(1)证明当证明当n取第一个值取第一个值n0时命题成立；时命题成立；(2)假设假设nk(kn0，kN)时命题成立，时命题成立，证明证明当当nk1时命时命题也成立；题也成立；(3)得出结论得出结论1(2011江西江西)观察下列各式：观察下列各式：7249,73343,742 401，则，则72 011的末两位数字为的末两位数字为A01B43C07 D49解析解析因为因为717,7249,73343,742 401,7516 807，76117 649，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期期T4.又因为又因为2 01145023，所以，所以72 011的末两位数字与的末两位数字与73的末两位数字相同，故选的末两位数字相同，故选B.答案答案B答案答案C3(2011陕西陕西)观察下列等式观察下列等式11234934567254567891049照此规律，第照此规律，第n个等式为个等式为_解析解析112,234932,345672552，第第n个等式为个等式为n(n1)(3n2)(2n1)2.答案答案n(n1)(3n2)(2n1)24(2011福建福建)设设V是全体平面向量构成的集合若映射是全体平面向量构成的集合若映射f：VR满足：对任意向量满足：对任意向量a(x1，y1)V，b(x2，y2)V，以，以及任意及任意R，均有，均有f(a(1)b)f(a)(1)f(b)，则称映，则称映射射f具有性质具有性质P，现给出如下映射：现给出如下映射：f1：VR，f1(m)xy，m(x，y)V；f2：VR，f2(m)x2y，m(x，y)V；f3：VR，f3(m)xy1，m(x，y)V.其中，具有性质其中，具有性质P的映射的序号为的映射的序号为_(写出所有具有写出所有具有性质性质P的映射的序号的映射的序号)解析解析a(x1，y1)，b(x2，y2)，a(1)b(x1(1)x2，y1(1)y2)对于对于，f1(m)xy，f(a(1)b)x1(1)x2y1(1)y2(x1y1)(1)(x2y2)而而f(a)(1)f(b)(x1y1)(1)(x2y2)，f(a(1)b)f(a)(1)f(b)具有性质具有性质P.对于对于，f2(m)x2y，设，设a(0,0)，b(1,2)，a(1)b(1，2(1)，f(a(1)b)(1)22(1)243，而而f(a)(1)f(b)(020)(1)(122)3(1)，又又是任意实数，是任意实数，f(a(1)b)f(a)(1)f(b)，故，故不具有性质不具有性质P.对于对于，f3(m)xy1，f(a(1)b)x1(1)x2y1(1)y21(x1y1)(1)(x2y2)1，又又f(a)(1)f(b)(x1y11)(1)(x2y21)(x1y1)(1)(x2y2)(1)(x1y1)(1)(x2y2)1，f(a(1)b)f(a)(1)f(b)具有性质具有性质P.综上，具有性质综上，具有性质P的映射的序号为的映射的序号为.答案答案推理与证明是数学的基本思维过程，它有机地渗透到高中课推理与证明是数学的基本思维过程，它有机地渗透到高中课程的各个章节，是高考考查的重点对象，特别是合情推理能程的各个章节，是高考考查的重点对象，特别是合情推理能力，高考对本部分的内容，主要考查归纳和类比推理以及综力，高考对本部分的内容，主要考查归纳和类比推理以及综合法、分析法、反证法和数学归纳法等证明方法，考查考生合法、分析法、反证法和数学归纳法等证明方法，考查考生的推理论证能力，所以在复习时要把合情推理作为复习的重的推理论证能力，所以在复习时要把合情推理作为复习的重点，并且要把各种证明方法的理论搞清楚，明白各种推理论点，并且要把各种证明方法的理论搞清楚，明白各种推理论证方法的基本原理和适用环境，在具体应用中把推理论证方证方法的基本原理和适用环境，在具体应用中把推理论证方法的理论和实践结合起来法的理论和实践结合起来随着科学技术的不断发展，人类通过计算机已找到了随着科学技术的不断发展，人类通过计算机已找到了630万 位 的 最 大 质 数 某 同 学 在 学 习 中 发 现 由万 位 的 最 大 质 数 某 同 学 在 学 习 中 发 现 由41,43,47,53,61,71,83,97组成的数列中每一个数都是质数，他组成的数列中每一个数都是质数，他根据这列数的一个通项公式，得出了数列的后几项，发现它根据这列数的一个通项公式，得出了数列的后几项，发现它们也是质数于是他断言：根据这个通项公式写出的数均为们也是质数于是他断言：根据这个通项公式写出的数均为质数则这个通项公式为质数则这个通项公式为_，该同学断言是，该同学断言是_的的(填填“正确正确”或者或者“错误错误”)合情推理合情推理【解析】【解析】根据题意知，通项公式根据题意知，通项公式an412462(n1)n(n1)41.取取n41，得，得an41411 681，显，显然不是质数，从而该同学断言是错误的故填然不是质数，从而该同学断言是错误的故填ann(n1)41，nN，错误，错误【答案答案】ann(n1)41(nN)；错误；错误归纳推理与类比推理之区别归纳推理与类比推理之区别1归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论出它们之间的联系，从而归纳出一般结论2类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的有类似的性质在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质推理过程，然后类比推导类比对象的性质1(1)对大于或等于对大于或等于2的自然数的自然数m和和n，m的的n次方幂有如下分次方幂有如下分解方式：解方式：22133213542135723353379114313151719根据上述分解规律，则根据上述分解规律，则5213579，若，若m3(mN)的的分解中最小的数是分解中最小的数是73，则，则m的值为的值为_解析解析m3的分解中，最小的数为的分解中，最小的数为m2m1，由由m2m173，得，得m9.答案答案9(2011陕西陕西)叙述并证明余弦定理叙述并证明余弦定理【解析】【解析】余弦定理：三角形任意一边的平方等于其他两边余弦定理：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍或：在或：在ABC中，中，a，b，c分别为分别为A，B，C的对边有的对边有a2b2c22bccos A，b2c2a22cacos B，c2a2b22abcos C.演绎推理演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理，数学的证明过程主要是通演绎推理是由一般到特殊的推理，数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提过演绎推理进行的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的，其结论一定是正确的但是，在解决和推理形式是正确的，其结论一定是正确的但是，在解决类似的问题时，一定要注意推理过程的正确性与完备性类似的问题时，一定要注意推理过程的正确性与完备性2(2011福建福建)在整数集在整数集Z中，被中，被5除所得余数为除所得余数为k的所有整数组的所有整数组成一个成一个“类类”，记为，记为k，即，即k5nk|nZ，k0,1,2,3,4，给出如下四个结论：给出如下四个结论：2 0111；33；Z01234；“整数整数a，b属于同一属于同一类类”的充要条件是的充要条件是“ab0”其中，正确结论的个数是其中，正确结论的个数是A1B2C3 D4解析解析由于由于k5nk|nZ，对于，对于，2 0115等于等于402余余1，2 0111对于对于，352，被，被5除应余除应余2，错对于错对于，任意一整数，任意一整数x，被，被5除余数为除余数为0,1,2,3,4，x01234，正确对于正确对于，先证充，先证充分性，分性，a，b是同一类，可设是同一类，可设a5n1k，b5n2k，则，则ab5(n1n2)能被能被5整除余整除余0.下面下面证明证明必要性，若必要性，若ab0，则可设则可设ab5n，nZ，即，即a5nb，nZ.不妨令不妨令b5mk，mZ，则，则a5n5mk5(nm)k，nZ，mZ.a，b属于同一类，故属于同一类，故正确，则正确的有正确，则正确的有.答案答案C直接证明与间接证明直接证明与间接证明【解题切点】(1)构造新数列求an与bn.(2)利用反证法证明1反证法是一种间接证明方法，如果正面证明有困难或者反证法是一种间接证明方法，如果正面证明有困难或者直接证明需要分多种情况而反面证明只有一种情况时，可以直接证明需要分多种情况而反面证明只有一种情况时，可以考虑用反证法证明对于题目中出现考虑用反证法证明对于题目中出现“至多至多”、“至少至少”、“均是均是”、“不都是不都是”等字眼时，从正面难以找到突破口，等字眼时，从正面难以找到突破口，可转换视角，用反证法往往立竿见影可转换视角，用反证法往往立竿见影2综合法与分析法是直接证明常用的两种方法，常用分析综合法与分析法是直接证明常用的两种方法，常用分析法寻求解决问题的突破口，然后用综合法写出证明过程法寻求解决问题的突破口，然后用综合法写出证明过程3大小不等的三个圆两两外切，半径成等差数列，试证明大小不等的三个圆两两外切，半径成等差数列，试证明以各圆圆心为顶点的三角形的三内角不可能成等差数列以各圆圆心为顶点的三角形的三内角不可能成等差数列(2011开封模拟开封模拟)把所有正整数按上小下大，左小右大的原则把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示的数表，其中第排成如图所示的数表，其中第i行共有行共有2i1个正整数设个正整数设aij(i，jN)表示位于这个数表中从上往下数第表示位于这个数表中从上往下数第i行，从左往右数第行，从左往右数第j个数个数(1)若若aij2 010，求，求i和和j的值；的值；(2)记记Ana11a22a33ann(nN)，试比较，试比较An与与n2n的大小，并说明理由的大小，并说明理由123456789101112131415数学归纳法数学归纳法【解题切点】【解题切点】(1)首先根据各行数字的个数推断首先根据各行数字的个数推断2 010所在所在的行，然后推断的行，然后推断2 010是这行中的第几个数；是这行中的第几个数；(2)ann2n1n1，求和后归纳，求和后归纳An与与n2n的大小的大小【解析】【解析】(1)因为数表中前因为数表中前i1行共有行共有12222i22i11个数，则第个数，则第i行的第一个数是行的第一个数是2i1，所以，所以aij2i1j1.因为因为2102 010211，aij2 010，则，则i110，即，即i11.令令210j12 010，则，则j2 0102101987.1数学归纳法可证明一些与自然数数学归纳法可证明一些与自然数n有关的命题在证明时，有关的命题在证明时，要注意对命题的等价转化，一般是利用公式，把所要证明的要注意对命题的等价转化，一般是利用公式，把所要证明的问题转化到已知或归纳假设上来，必要时转化要证明的结问题转化到已知或归纳假设上来，必要时转化要证明的结论论2在用数学归纳法证明的第在用数学归纳法证明的第2个步骤中，突出了两个凑字，个步骤中，突出了两个凑字，一一“凑凑”假设，二假设，二“凑凑”结论，关键是明确结论，关键是明确nk1时证明时证明的目标，充分考虑由的目标，充分考虑由nk到到nk1时，命题形式之间的区时，命题形式之间的区别和联系别和联系4试比较试比较nn1与与(n1)n(nN)的大小当的大小当n1时，有时，有nn1_(n1)n(填，或填，或)；当；当n2时，有时，有nn1_(n1)n(填，或填，或)；当；当n3时，有时，有nn1_(n1)n(填，或填，或)；当；当n4时，有时，有nn1_(n1)n(填，或填，或)猜想一个一般性结论，并猜想一个一般性结论，并加以证明加以证明解析解析当当n1时，时，nn1121，(n1)n212，nn1(n1)n；当当n2时，时，nn1238，(n1)n329，nn1(n1)n；
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