高等数学：D7习题课(2)

二阶微分方程的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 习题课 (二)二、微分方程的应用二、微分方程的应用 解法及应用 一、两类二阶微分方程的解法一、两类二阶微分方程的解法 第七章 一、两类二阶微分方程的解法一、两类二阶微分方程的解法 1. 可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法)(dd22xfxy)dd,(dd22xyxfxy令xyxpdd)(),(ddpxfxp)dd,(dd22xyyfxy令xyypdd)(),(ddpyfypp逐次积分求解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 二阶线性微分方程的解法二阶线性微分方程的解法 常系数情形齐次非齐次代数法 欧拉方程yx 2yxpyq)(xftDextdd,令qpDDD ) 1(y)(tef练习题练习题: P327 题 2 ; 3 (6) , (7) ; 4(2)； 8机动 目录 上页 下页 返回 结束 解答提示解答提示P327 题题2 求以xxeCeCy221为通解的微分方程 .提示提示: 由通解式可知特征方程的根为,2,121rr故特征方程为,0)2)(1(rr0232 rr即因此微分方程为023 yyyP327 题题3 求下列微分方程的通解, 01)6(2 yyy.2sin52)7(xyyy 提示提示: (6) 令, )(ypy 则方程变为,01dd2 pyppyyypppd1d2即机动 目录 上页 下页 返回 结束 特征根:xyyy2sin52)7( ,212, 1ir齐次方程通解:)2sin2cos(21xCxCeYx令非齐次方程特解为xBxAy2sin2cos*代入方程可得174171,BA思思 考考若 (7) 中非齐次项改为,sin2x提示提示:,sin22cos12xxxBxAy2sin2cos*故D原方程通解为xx2sin2cos174171)2sin2cos(21xCxCeyx特解设法有何变化 ?机动 目录 上页 下页 返回 结束 P327 题题4(2) 求解02 yay,00 xy10 xy提示提示: 令),(xpy 则方程变为2ddpaxp积分得,11Cxap利用100 xxyp11C得再解,11ddxaxy并利用,00 xy定常数.2C思考思考若问题改为求解0321 yy,00 xy10 xy则求解过程中得,112xp问开方时正负号如何确定正负号如何确定?机动 目录 上页 下页 返回 结束 P327 题题8 设函数222, )(zyxrrfu在 r 0内满足拉普拉斯方程, 0222222zuyuxu)(rf其中二阶可导, 且,1) 1 () 1 ( ff试将方程化为以 r 为自变量的常微分方程 , 并求 f (r) .提示提示:rxrfxu)( 2222)(rxrfxu )(rf r132rx利用对称性, 0)(2)( rfrrf即0)(2)(2 rfrrfr( 欧拉方程欧拉方程 )原方程可化为机动 目录 上页 下页 返回 结束 0)(2)(2 rfrrfr,lnrt 令1) 1 () 1 ( ff.12)(rrf解初值问题:,ddtD 记则原方程化为 02) 1(fDDD02fDD即通解: teCCrf21)(rCC121利用初始条件得特解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxCxCysincos21特征根 :,2 , 1ir例例1. 求微分方程2, xxyy,00 xy,00 xy提示提示:,2时当x故通解为)(sin2xxxy2,04 xyy满足条件2x在解满足xyy ,00 xy00 xy处连续且可微的解.设特解 :,BAxy代入方程定 A, B, 得xy , 0, 000 xxyy利用得机动 目录 上页 下页 返回 结束 2x由处的衔接条件可知,2时当x04 yy,122xy12xy解满足故所求解为y,sinxx 2221,2cos)1 (2sinxxx2xxCxCy2cos2sin21其通解:定解问题的解:2221,2cos)1 (2sinxxxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.,)(二阶导数连续设xf且满足方程xtdtftxxxf0)()(sin)(. )(xf求提示提示: ,)()(sin)(00 xxtdtfttdtfxxxf则xxfcos)()(sin)(xfxxf xtdtf0)()(xfx)(xfx问题化为解初值问题:xxfxfsin)()( ,0)0(f1)0( f最后求得xxxxfcos2sin21)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: 设, 0)0(,d)()(0 xxuuxxex?)(x如何求提示提示: 对积分换元 ,uxt 令则有xxttex0d)()()()(xexx 解初值问题: xexx )()(,0)0(1)0(答案:xxexex41) 12(41)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 的解. 例例3.设函数),()(在xyy,)()(, 0的函数是xyyyxxy内具有连续二阶导机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 试将 xx( y) 所满足的微分方程 变换为 yy(x) 所满足的微分方程 ;(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 0)dd)(sin(dd322yxxyyx, 0)0(y数, 且23)0( y解解: ,1ddyyx, 1ddyxy即上式两端对 x 求导, 得: (1) 由反函数的导数公式知(03考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 0)(dddd222 yyxyxy222)(ddddyyxyyx 3)(yy 代入原微分方程得 xyysin (2) 方程的对应齐次方程的通解为 xxeCeCY21设的特解为 ,sincosxBxAy代入得 A0,21B,sin21xy故从而得的通解: 题 目录 上页 下页 返回 结束 xeCeCyxxsin2121由初始条件 ,23)0(, 0)0(yy得1, 121CC故所求初值问题的解为 xeeyxxsin21二、微分方程的应用二、微分方程的应用 1 . 建立数学模型 列微分方程问题建立微分方程 ( 共性 )利用物理规律利用几何关系确定定解条件 ( 个性 )初始条件边界条件可能还要衔接条件2 . 解微分方程问题3 . 分析解所包含的实际意义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 解解:欲向宇宙发射一颗人造卫星, 为使其摆脱地球 引力, 初始速度应不小于第二宇宙速度, 试计算此速度.设人造地球卫星质量为 m , 地球质量为 M , 卫星的质心到地心的距离为 h , 由牛顿第二定律得: 222ddhmMGthm00dd,vthRht,0v为(G 为引力系数)则有初值问题: 222ddhMGth又设卫星的初速度，已知地球半径51063R机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(ddhvth设,dddd22hvvth则代入原方程, 得2ddhMGhvvhhMGvvdd2两边积分得ChMGv221利用初始条件, 得RMGvC2021因此RhMGvv112121202221limvhRMGv12120注意到 机动 目录 上页 下页 返回 结束 为使,0v应满足0vRMGv20因为当h = R (在地面上) 时, 引力 = 重力, )sm81. 9(22ggmhmMG即,2gRMG故代入即得81. 910632250gRv) s(m102 .113这说明第二宇宙速度为 skm2 .11机动 目录 上页 下页 返回 结束 求质点的运动规例例5. 上的力 F 所作的功与经过的时间 t 成正比 ( 比例系数,00vs初始速度为初始位移为).(tss 律提示提示:,d0tksFss由题设两边对 s 求导得:stkFdd牛顿第二定律stktsmdddd22mktsts22ddddtdd2ddtsmk2 2ddts12 Ctmk为 k), 开方如何定开方如何定 + ?已知一质量为 m 的质点作直线运动, 作用在质点机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 一链条挂在一钉子上 , 启动时一端离钉子 8 m ,另一端离钉子 12 m , 如不计钉子对链条所产生的摩擦 力, 求链条滑下来所需的时间 .解解: 建立坐标系如图. 设在时刻 t , 链条较长一段xox下垂 x m , 又设链条线密度为常数,此时链条受力Fgxgx)20(gx)10(2由牛顿第二定律, 得22dd20txgx)10(2,120tx0dd0ttxgxgtx10dd22机动 目录 上页 下页 返回 结束 101 . 021 . 01tgtgeCeCx由初始条件得, 121 CC故定解问题的解为解得24)10(1021 . 0 xxetg), 1(舍去另一根左端当 x = 20 m 时,(s)625ln(10gt微分方程通解: 101 . 01 . 0tgtgeex思考思考: 若摩擦力为链条 1 m 长的重量 , 定解问题的数学模型是什么 ?机动 目录 上页 下页 返回 结束 摩擦力为链条 1 m 长的重量 时的数学模型为xox不考虑摩擦力时的数学模型为g1(s)322419ln10gt22dd20txgx)10(2,120tx0dd0ttx22dd20txgx)10(2,120tx0dd0ttx此时链条滑下来所需时间为机动 目录 上页 下页 返回 结束 yoy练习题练习题从船上向海中沉放某种探测仪器, 按探测要求, 需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函数关系. 设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉, 在下沉过程中还受到阻力和浮力作用, 设仪器质量为 m,体积为B , 海水比重为 ,仪器所受阻力与下沉速度成正 比 , 比例系数为 k ( k 0 ) , 试建立 y 与 v 所满足的微分方程, 并求出函数关系式 y = y (v) . ( 95考研考研 )提示提示: 建立坐标系如图.质量 m体积 B由牛顿第二定律B22ddtymvk重力重力浮力浮力 阻力阻力mgtvtydddd22tyyvddddyvvdd注意: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 BgmvkBgmkBgmmvkmyln)(2vkBgmyvvmdd初始条件为00yv用分离变量法解上述初值问题得yoy质量 m体积 B 作业作业 P317 5 , 6 ; P327 3 (8) ; 4 (2) ,(4) 8 ; *11(1) 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 )()(xfyxy 有特,1xy 解而对应齐次方程有解,2xy 及求)(, )(xfx微分方程的通解 . 解解:, 0)(2 yxyxy代入将xx1)(得代入再将xy1)(1xfyxy 33)(xxf得故所给二阶非齐次方程为331xyxy ),(xpy 令方程化为331xpxp1. 设二阶非齐次方程一阶线性非齐次方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 331xpxp故py xxed1xCx121再积分得通解2211CxCxy)(1211CC1d13d3Cxexxx)()(xfyxpyCxexfeyxxpxxpd)(d)(d)(复习: 一阶线性微分方程通解公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. ! )3(!9!6!31)(3963nxxxxxyn(1) 验证函数)(x满足微分方程;xeyyy (2) 利用(1)的结果求幂级数! )3(30nxnn的和.解解: (1)! )3(!9!6!31)(3963nxxxxxyn! ) 13(!8!5!2)(13852nxxxxxyn ! )23(!7!4)(2374nxxxxxyn机动 目录 上页 下页 返回 结束 (02考研考研)!0nxnn所以 yyyxe(2) 由(1)的结果可知所给级数的和函数满足xeyyy , 1)0(y0)0( y其特征方程:,012 rr特征根:ir23212 , 1齐次方程通解为)23sin23cos(2121xCxCeYx设非齐次方程特解为,xeAy 代入原方程得,31A故非齐次方程通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 xe31)23sin23cos(2121xCxCeyx代入初始条件可得0,3221CC故所求级数的和)(3123cos3221xexexx! )3(30nxnn机动 目录 上页 下页 返回 结束