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第二章第四课时：第二章第四课时：一元二次方程一元二次方程根的判别式根的判别式 要点、考点聚焦要点、考点聚焦 课前热身课前热身 典型例题解析典型例题解析 课时训练课时训练 要点、考点聚焦要点、考点聚焦1.1.一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)根的情况：根的情况：(1)(1)当当0 0时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个不相等的实数根；(2)(2)当当=0=0时，方程有两个相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；(3)(3)当当0 0时，方程无实数根时，方程无实数根. .2.2.根据根的情况，也可以逆推出根据根的情况，也可以逆推出的情况，这方面的情况，这方面的知识主要用来求取值范围等问题的知识主要用来求取值范围等问题. . 课前热身课前热身1.(2008年年西宁市西宁市)若关于若关于x的一元二次方程的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根，则有实数根，则m的取值范围是的取值范围是 ( ) A.m1 B. m1且且m0 C.m1 1 D. m1且且m0D2.(2008年年昆明昆明)已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程x2+2x+k=0有实数根，则有实数根，则k的取值范围是的取值范围是 ( ) A.k1 B.k1 C.k 1A3.(2008年年桂林市桂林市)如果方程组如果方程组 只有一个实只有一个实数解，那么数解，那么m的值为的值为 ( ) A. -3/8 B.3/8 C. -1 D.-3/4Ax x3 3y ym m2 2x xy y2 2 4.(2008年年南通市南通市)若关于若关于x的方程的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0有两个相等的实数根，则有两个相等的实数根，则k= .25.(2008年年上海市上海市)关于关于x的一元二次方程的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为其根的判别式的值为1，求，求m的的值及该方程的根。值及该方程的根。解：解：=-(3m-1)2-4m(2m-1)=9m2-6m+1-8m2+4m =m2-2m+1=(m-1)2 课前热身课前热身 (m-1)2=1,即即 m12， m20(二次项系数不为二次项系数不为0，舍去，舍去)。当当m=2时，原方程变为时，原方程变为2x2-5x+30，x3/2或或x=1. 典型例题解析典型例题解析【例【例1】 已知关于已知关于x的方程的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m+1=0，当当m为何非负整数时：为何非负整数时：(1)方程只有一个实数根；方程只有一个实数根；(2)方程有两个相等的实数根；方程有两个相等的实数根；(3)方程有两个不等的实数根方程有两个不等的实数根.当当m-2=0即即m=2时时 x=3/2,成立成立m=3 m=0，1 【例【例2】 已知关于已知关于x的方程的方程x2+2(a-3)x+a2-7a-b+12=0有两个相等的实根，且满足有两个相等的实根，且满足2a-b=0.(1)求求a、b的值；的值；(2)已知已知k为一实数，求证：关于为一实数，求证：关于x的方程的方程(-a+b)x2+bkx+2k-(a+b)=0有两个不等的实根有两个不等的实根.a=1,b=2将将a=1,b=2代入方程得代入方程得x2+2kx+2k-3=0.又又=4k2-4(2k-3)=4(k-1)2+80方程有两个不等的实根方程有两个不等的实根. 【例【例3】 (2008年年黑龙江黑龙江)关于关于x的方程的方程kx2+(k+1)x+k/4=0有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根.(1)求求k的取值范围；的取值范围；(2)是否存在实数是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出若存在，求出k的值；若不存在，说明理由的值；若不存在，说明理由.k-1/2，且且k0. 不存在，理由略。不存在，理由略。 【例【例4】 已知：已知：a、b、c是是ABC的三边，若方程的三边，若方程 有两个等根，试判断有两个等根，试判断ABC的形状的形状.a a2 2) ) c cb b( ( 2 2x xc cb b2 2axax2 22 22 2 解：利用解：利用 0，得出，得出a=b=c.ABC为等边三角形为等边三角形. 典型例题解析典型例题解析【例【例5】 已知：已知：m、n为整数，关于为整数，关于x的二次方程的二次方程x2+(7-m)x+3+n=0有两个不相等的实数解，有两个不相等的实数解，x2+(4+m)x+n+6=0有两个相等的实数根，有两个相等的实数根，x2-(m-4)x+n+1=0没有实数根，求没有实数根，求m、n的值的值. 典型例题解析典型例题解析解：解：方程方程x2+(4+m)x2+n+6=0有两个相等的实根，有两个相等的实根， (4+m)2-4(n+6)=0，即，即m2+8m-8=4n.又方程又方程x2+(7-m)x+3+n=0有两个不等的实根，有两个不等的实根，方程方程x2-(m-4)x+n+1=0无实根，无实根，(7-m)2-4(3+n)0，(m-4)2-4(n+1)0.把把4n=m2+8m-8代入上两式得代入上两式得 m为整数为整数m=2，从而，从而n=3.22224545m m161620201.1.求判别式时，应该先将方程化为一般形式求判别式时，应该先将方程化为一般形式. .2.2.应用判别式解决有关问题时，前提条件为应用判别式解决有关问题时，前提条件为“方程是一元二次方程方程是一元二次方程”，即二次项系数不为，即二次项系数不为0.0. 课时训练课时训练1.(2008年年大连大连)一元二次方程一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况的根的情况是是 ( ) A.有一个实数根有一个实数根 B.有两个相等的实数根有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根 D.没有实数根没有实数根D2.(2008年年安徽安徽) 方程方程x2-3x+1=0的根的情况是的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根有两个相等的实数根 C. 没有实数根没有实数根 D.只有一个实数根只有一个实数根A3.(2008年年长沙长沙)下列一元一次方程中，有实数根的是下列一元一次方程中，有实数根的是 ( ) A.x2-x+1=0 B.x2-2x+3=0 C.x2+x-1=0 D.x2+4=0C 4.(2008年年湖北黄冈湖北黄冈)关于关于x的方程的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有有实数根，则下列结论正确的是实数根，则下列结论正确的是 ( ) A.当当k=1/2时，方程两根互为相反数时，方程两根互为相反数 B.当当k=0时，方程的根是时，方程的根是x=-1 C.当当k=1时，方程两根互为倒数时，方程两根互为倒数 D.当当k1/4时，方程有实数根时，方程有实数根D5.若一元二次方程若一元二次方程 有两个相等的实数根，有两个相等的实数根，那么那么 的值为的值为 ( ) A.-4 B.4 C. 1/4 D.- 1/4 C 课时训练课时训练0 0n nx xm mx x2 2 m mn n
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