全等三角形中档题(辅助线)

倍长中线（线段）造全等1、已知：如图，AD是ZkABC的中线, BE交AC于E,交AD 于 F,且 AE=EF,求证：AC=BF5、已知：AD、AE分别是ZkABC和AABD的中线，且BA=BD,求证：AE 二_ AC210分析:要求证的两条线段AC.BF不在两个全等的三角形中， 因此证AC=BF困难，考虑能否通过辅助线把AC、BF转化 到同一个三角形中，由AD是中线，常采用中线倍长法，故 延长AD到G,使DG=AD,连BG,再通过 全等三角形和等线 段代换即可证出。2.已知在 ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE二AC,延长BE交AC于F,求证：AF=EF提示：倍长AD至G,连接BG,证明 BDG八ACDA三角形BEG是等腰三角形6、如图，AABC中，BD=DC=AC, E是DC的中点，求证:AD 平分 ZBAE 7、已矢口 CD=AB, ZBDA=ZBAD, AE 是 ZABD 的中线.求 证：ZC=ZBAE&如图23, AABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF已知，如图乙、的。中，AB=5, AC=3,则中线AD的取值交AC于F,交AC的平行线BG于G点DE DF,交 AB 于点 E,连结 EG、EF.求证：BG=CF请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由。4 .在AABC中,AC=5冲线AD=7,则AB边的取值范围是()Ah 1AB29Bx 4AB24C、5AB19D、9ABEF截长补短方法1:在DA上截取DG=BD,连结EGFG证明A BDE 丝 A GDE A DCF 丝 A DGF 所以 BE 二 EG、 CF=FG利用三角形两边之和大于第三边方法2：倍长ED至H,连结CH、FH证明FH=EF、 CH=BE利用三角形两边之和大于第三边10.如图，AABC 中，Ex F 分别在 AB、AC, DE DF, D是中点，试比较BEYF与EF的大小.K 如图，AD BC,点 E 在线段 AB 上，ZADE=ZCDE, ZDCE=ZECB._7.9作业：已知，四边形ABCD中，AB CD, Zl = Z2, Z3=Z4o 求证：BC=AB+CDo求证：AB=AC+CD.4.如图,已知在AABC中,ZB=60 , ABC的角平分线AD,CE相交于点0,求证：0E=0D1K已知：如图，在AABC中，ABAACf D、E在BC上，且DE=EC,过 D 作 DF/BA 交 AE 于点 F, DF=AC.求证：AE平分ABAC3.如图，在AABC中，ZBAC=60, AD是ZBAC的平分 线，且AC=AB+BD,求ZABC的度数A方法倍长AE至G,连结DG方法2：倍长FE至H,连结CHAA8、如图，点M为正三角形血的边/W所在直线上的任 意一 点（点8除外），作ZDMN = 60。，射线MN与/施4外角 的平分线交于点N, DM与MN有怎样的数量关系？5已知A4BC中，ZA = 60 ,龙、CE分另U平分ZABC和 ZACB, BD. CE交于点、6试判断处、CD. EC的数量关 系，并加以证明.角平分线上的点向角两边引垂线段1、如图，在四边形ABCD中，BCBA,AD=CD,求证：ZBAD+ZC=1806.如图，已知在 aABC 内，ZBAC = 60, ZC = 40,P, Q分别在BC, CA上，并且AP, BQ分别是ABAC,Z4a的角平分线。求证：BQ+AQ二AB+BPC7如图在ZkABC中，ABAC, Z1=Z2, P为AD上任意一点，求证;ABAOPBPCA2、如图，四边形A BCD中，AC平分ZBAD,CE _L AB 于 E, AD+AB=2AE,贝I ZB 与 ZADC 互补,为什么？3、如图 在 AABC 中、BD=CD, ZABD=ZACD,求证 AD 平分ZBAC 7.6作业：如图,ZB=ZC=90%AM平分ZDAB.DM平 分ZADC求证:点M为BC的中点4 如图，在 2XABC 中，ZABC=100, ZACB=20, CE 平 分ZACB, D是AC上一点，若ZCBD=20 ,求ZADE的度数连接法（构造全等三角形）7.9作业：已知：如图所示，AB=AD, BC=DC, E、F分别是DC. BC的中点，求证：AE=AFo7.5 作业：已知，ABAD, Zl = Z2, CD=BC。求 证：ZADC+ZB = 180。1如图，直线AD与BC相交于点O,且AC二BD, AD二BC.求证：CO 二 DO.2、已知：如图16, AB=AE, BC二ED,点F是CD的中 点，AF _L CD,求证：ZB=ZE.7.6作业：如图，在ZkABC中ZABC,ZACB的外角平分线 交P求证:AP是ZBAC的角平分线3、如图 1130,已知 AB=AE, ZB = ZE, BC=ED,点 F 是 CD 的中点求证：AF CD.4.在正内取一点D,使DA=DB,枉A4BC外取一点G使 ZDBE = ZDBC，且 BE = BA,求 ZBED.6如图，在 A ABD 和 Za ACD 中，AB=AC, ZB=ZC.求证： AABDAAACD,2.已知：如图所示，BD为ZABC的平分线.AB=BC,点P在 BD , PM _L AD 于 M, PN _L CD 于 N,判断 PM 与 PN 的 关系.5、如图所示，BD二DC,DE 全等+等腰性质如图，在 AABE 中，AB=AE,AD=AC, ZBAD=ZEAC, BC、DE交于点0.求证：(1) ZXABCAAAED； (2) OB=OE 全等+角平分线性质K 如图 21, AD 平分 ZBAC, DE AB 于比 DF _L AC 于 F, 且 DB=DC,求证：EB=FC两次全等7.4作业：AB=AC, DB=DC, F是AD的延长线上的一点。求 证：BF=CF2.已知：如图，B.E、F.C四点在同一条直线上，AB=DC, BE=CF, ZB=ZC.求证：OA=OD.FK如图，D、E、F.B在一条宜线上AB=CD, ZB二ZD,BF=DE.求证：AE=CF;(2) AE CF(3) ZAFE=ZCEF2、如图：A、E、F、B四点在一条直线上，AC _L CE,BD _L DF, AE=BF, AC=BD.求证：AACFAABDEC由 BF=DF,得 BE=DFAAABEAACDF, AZB=ZD再证 MOB 竺彳导 OA=OC, OB=OD即AC、BD互相平分5、如图，在四边形 ABCD 中，AD BC, ZABC=90DEAC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且AE=AC 求证：BG=FG图110C3、如图，在四边形加中,E是AC的一点，Z1二Z2,Z3=Z4,求证：Z5=Z6.B4.已矢口如图，E、F 在 BD 上，且 AB=CD, BF=DE,AE=CF求证：AC与BD互相平分直角三角形全等（余角性质）作业：如图，在等腰RtZkABC中，ZC=90。，D是斜边上上任一点，AE _L CD于瓦BF_L CD交CD的延长线于F,CH_LA于H点，交AE于G求证：BD=CG.1、如图，将等腰直角三角形ABC的宜角顶点置于宜线1上 且过A, B两点分别作直线1的垂线，垂足分别为D, E,请你 在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程久如图：BE _L AC, CF AB, BM=AC, CN=ABc 求证：(1)AM=AN； (2) AMANoA角军：全等三角形为：AACD八ACBE. 证明如下：由题意知 ZCAD+ZACD=90。，ZACD+ZBCE=90,ZCAD 二 ZBCE.在 2XACD 与 ZkCBE 中，ZADC=ZCEB=90 ZCAD=ZBCE AC=BCAAACDAACBE (AAS) 2、如图，ZABC=90, AB=BC, D 为 AC 上一点. 分别过A、C作BD的垂线，垂足分别为E、F 求证：EF=CF-AEtiEAABEAABCF,# BE=CF, AE=BF, AEF=BE-BF=CF-AE 3、在 AABC 中，ZACB = 90 / 直线MN 经过点 C,且 AD _L MN于D, BE MN于E. （D当直线MN绕点C旋转 到图1的位置时，求证：（DAADC八ACEB；庞= AD+BE ：当直线A/7V绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论 还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由-作平行线1、已知MBC, AB=AC, E、F分别为AB和AC延长线上的点,且BE=CF, EF交BC于G 求证：EG=GF.2.如图，狂 ABC 中，AB 二 AC, BD 平分 ZABC, DE_LBD于D,交BC于点E 求证：CD二，BE2证明：过点D作DF/7AB交BC于点FBD 平分 ZABC, AZ1=Z2.VDF/7AB, AZ1=Z3, Z4=ZABC.A Z2=Z3, DF=BF TDE BD, AZ2+ZDEF=90, Z3+Z5=90.AZDEF=Z5. ADF=EF.VAB=AC, ZABC 二 ZC.AZ4=ZC, CD=DF.ACD=EF=BF,gp CD=-BE.延长角平分线的垂线段K 如图,在Za ABC 中 , AD 平分 ZBAC, CE _L AD 于 E.求证：ZACE=ZB+ZECD.3、如图：ZBAC=90 , CE BE, AB=AC , BD 是 ZABC的平分线，求证：BD=2EC分析：注意到AD平分ZBAC, CEXAD,于是可延长CE交AB于点F,即可构造全等三角形.证明：延长CE交AB于点F.VAD 平分 ZBAC,ZFAE 二 ZCAE.VCEXAD, .ZFEA=ZCEA=90 在 ZkFEA 和 ZCEA 中， ZFAE=ZCAE, AE=AE,ZFEA=ZCEA.FEA 丝 ZXCEA.AZACE=ZAFE VZAFE=ZB+ZECD,AZACE=ZB+ZECD.ZA的平分线，CD _L AE于D.求证：CD 二，AE.2、如图，AABC 中，ZBAC=90 度，AB 二 AC, BD 是上 ABC 的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE 交BA的延长线于F.求证：BD=2CE 面积法例1如图1,在AABC中，ZBAC的角平分线AD平分底边BC 求证 AB=AC.分析：根据已知可知AD是ZBAC的平分线，可通过点D 作ZBAC的垂线，根据角平分线的性质,结合三角形4s 已知,如图 34, AABC 中，ZABC=90, AB=BC, AE 2的面积进行证明.证明：过点D作DE _L AB, DF AC,垂足分别为E、F.因为DA为ZBAC的平分线，所以DE=DF.又因为AD平分BC,所以BD=CD,所以 Saabd=Saacd又 Saabd= 一 AB DE, Saacd=_L AC DF,22所以 AB DE=AC DF,所以AB=ACe2、如图所示，已知D是等腰 ABC底边BC土的一点，它 到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF,CM AB,垂足为 M,请你探索一下线段DE、DF、CM三者之间的数量关系，并给予证明.3、己知，AABC 中，AB=AC, CD AB,垂足为 D, P 是 BC上任一点，PE AB, PF AC垂足分别为E、F,求 证： PE+PF=CD. PE-PF=CD.旋转型1、如图，正方形ABCD的边长为1, G为CD边上一动 点 （点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外 作正方形GCEF,连接DE交BG的延长线于H。求证： ABCGAADCEBH DE2两个大小不同的等腰宜角三角形三角板如图1所示放置， 图2是由它抽象出的几何图形，B, C, E在同一条宜 线上， 连结DC.（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DC BE.3、（1）如图7,点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和序边三角 形OCD,连结AC和BD,相交于点E,连结BC求ZAEB的大图810（2）如图8, AOAB固定不动，保持AOCD的形状和 大小不变，将AOCD绕着点O 旋转（AOAB和AOCD不能重叠）,求ZAEB的大小.4. 如图 , AE _L AB, AD AC, AB=AE, ZB 二 ZE,求证：(1) BD=CE；(2) BD CE 8、如图，AA3C是边长为3的等边三角形，ABDC是等腰三角形，且ZBDC = 120%以D为顶点做一个60。角，使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,求A4M7V的周长。10证明：(1) AE _L AB, AD AC ZBAE=ZCAD = ZBAD=ZCAE.而 AB=AE, ZB=ZE, AAABDAAAEC ABD=CE.(2)由 AABDAAAEC 知 ZB=ZE 而 ZAGB=ZEGF, A ZEFG=ZEAB=90 , 4BD CE 5、如图所示，已知 AE AB, AF AC, AE=AB, AF=AC求证：(1) EC=BF； (2) ECBF6、正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一 点.9、五边形 ABCDE 中.AAAE , BGD虫 CD , ZABGZAJE80。, 求证：AD CDEBE+DF=EF,求 ZEAF 的度数.7、D为等腰RtAABC斜边AB的中点, DM DN, DM, DNB别交BC,CA于点E, F。当ZMDV绕点D转 动时，求证DE=DF。若AB=2,求四边形10.如图 已知 AB=CD=AE=BC+DE=2, ZABC=Z AED=90，求五边形ABCDE的面积