鄞中物理奥赛培训教材第二版知识框架第1-10讲(共20页)

精选优质文档-倾情为你奉上第一讲 力的种类和受力分析【赛点知识】一、自然界中常见的力我们在日常生活中会遇到各种各样的力，如重力、绳中的张力、摩擦力、地面的支撑力和空气的阻力等，从最基本的层次看，上述各种力属于四大范畴：（1）引力；（2）电磁力；（3）弱力；（4）强力。这里我们只介绍开头列举的那几种常见的力。（一）万有引力宇宙间存在于任何两个有质量的质点之间的相互吸引力称万有引力。式中，Nm2/kg2 ，为万有引力常量；为A，B两质点的质量，表示两质点的距离。重力来源于地球对物体的吸引。在地球表面附近，物体的重力大小，方向竖直向下。物体的各个部分都受到重力的作用，我们把它等效地认为是作用在物体的重心上。在一般情况下，在地球表面附近的小范围可以认为重力是不变的。若在大范围内考虑，并计及地球自转的影响，则同一物体的重力是可变的，重力将随距地面的高度、不同的纬度而不同，它实际上是万有引力的一个分力。（二）弹力物体在受力产生形变时，有恢复原状的趋势，这种抵抗外力力图恢复原状的力就是弹力。对于弹簧的弹力，在弹性限度内，弹簧的弹力和弹簧伸长（或压缩）的长度成正比式中，为弹簧的劲度系数，由弹簧本身性质所决定（如匝数、材料及弹簧的粗细等）；为弹簧的形变量，负号表示弹力的方向与形变的方向相反，弹簧伸长时取正。其它弹力的大小只能据状态求。弹力的方向：应为恢复形变的方向，在实际问题中可理解为垂直接触面的方向；对绳子或柔软体，沿绳方向；对二力杆则沿杆方向。弹簧的连接：（1）弹簧的串联：将劲度系数分别为的几个弹簧串联，串联后等效的劲度系数为，则。（2）弹簧的并联：将劲度系数分别为的几个弹簧并联，在形变相同的情况下，并联后等效的劲度系数为，则。（三）摩擦力两个相互接触的物体间有相对运动或者有相对运动趋势时，这两个物体的接触面上就会出现阻碍相对运动的进行或阻碍相对运动发生的力，这就是摩擦力。前者是滑动摩擦力，后者是静摩擦力。方向与相对运动或相对运动趋势方向相反，沿接触面的切线方向。静摩擦力大小： 式中，为最大静摩擦力，；为静摩擦系数，它由相互接触物体的质料和表面情况决定，并且有。滑动摩擦力大小： 摩擦力的起因及微观机理，尚有许多未知领域，有待进一步探讨。但实验指出，接触面过于粗糙或过于光滑又清洁时，摩擦因数都会增大。相对速度过小或过大。滑动摩擦因数也要变化，不过在通常情况下，这种变化不明显，可以忽略不计。所以在一般的分析计算中，都认为摩擦因数不受接触面积、接触面粗糙程度和滑动速度的影响，一般给出的摩擦因数，都是在通常条件下，有实验测出的平均值。滚动摩擦：滚动摩擦的产生是由圆柱体和地面接触处的形变引起的。滚动摩擦一般远小于滑动摩擦，所以它对物体的影响我们常不予考虑。以上谈的都是固体之间的摩擦问题，下面简短谈谈流体与固体之间的摩擦。流体（气体或液体）不会对与它相对静止的物体施加摩擦力，但要对在其中运动的物体施加阻力。粗略地说，在流体的粘滞性较大，运动物体较小、较慢的情况下，阻力正比于和粘滞性（分别为运动速度，横截面积）；在相反的情况下，阻力正比于和，但与粘滞性无关。通常在空气中坠落、行驶或飞翔属于后一种情况。二、受力分析研究力学问题的第一步工作就是对研究对象进行受力分析，正确的受力分析是解力学问题的前提。受力分析可按三种不同性质的力依次进行，简称四步曲。（1）先确定研究对象，并将“对象”隔离出来，必要时“转换”研究对象。（2）分析“对象”受到的外力，按先重力、次弹力、再摩擦力的顺序进行分析，不要边分析边处理力，画出示意图。（3）根据具体情况将力的合成或分解。（4）写出运动条件，解方程，而后分析讨论结果。专心-专注-专业第二讲 有固定转动轴的物体平衡【赛点知识】力可以使物体发生转动，物体转动时，它的各点都沿圆周运动，圆周的中心在同一直线上，这条直线叫转动轴，而一个力使物体转动的效果取决于力矩（力力臂）。如果有几个力作用在物体上，那么这几个力共同对物体的转动效果取决于它们力矩的代数和，力矩的代数和不等于零，物体将作变速转动；力矩的代数和等于零，物体将保持静止或匀角速转动。实验证实：有固定转动轴的物体的平衡条件是力矩的代数和等于零或者说合力矩为零，即 或 第三讲 一般物体的平衡【赛点知识】一般物体的平衡条件是指物体既满足平动的平衡条件，又满足转动的平衡条件，即其中，是指所有力对任一点的力矩的代数和为零，在满足，的条件下，可以证明，当所有力对于某一点的力矩的代数和为零时，对任一点的力矩的代数和都等于零。因此，在实际应用时可以选择适当的转轴O，使方程得以简化。上面所表示的只是平衡方程的基本形式，并不是唯一形式。平面一般力系的平衡方程还可以表示为以下两种形式。1两个力矩平衡方程形式，即三个平衡方程中有两个力矩方程和一个投影方程，可写为：其中，A，B两点的连线AB不能与轴垂直。因为满足时，力系不可能简化为一个力偶，只可能简化为通过A点的一个合力。当也同时被满足时，若有合力，则它必通过A，B两点。但因为连线AB不能与轴垂直，故当也成立时，就充分证明了力系的合力必成立。故其一定是平衡力系，如图所示。2三个力矩平衡方程形式，即三个平衡方程都是力矩方程，可写为：其中，A，B，C三点不能共线。这一结论读者可自行论证。这样，平面一般力系共有三种不同形式的平衡方程，每一种形式都只包含有三种独立方程。因此，对一个受平面一般力系作用的平衡物体，可以也只能列出三个平衡方程，求解三个未知数。任何第四个方程都是前三个方程的线性组合，而不是独立的。至于在实际应用中采用何种形式的平衡方程，完全决定于计算是否简便，要力求避免解联立方程的麻烦。第四讲 平衡的种类和液体静平衡【赛点知识】一、物体平衡的种类物体平衡的种类有：稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡。它是处于重力场以及其他有势场的物体在场作用下的三种平衡情况，处于势场的物体和场一起具有势能，而物体都有向势能较小位置运动的趋势。a稳定平衡当物体稍稍偏离平衡位置时，有一个力或力矩使之回到平衡位置，这样的平衡叫稳定平衡。而且因稳定平衡是使物体处于势能最小位置时的平衡，所以一旦对它有微小的扰动而使它离开平衡位置，外界就必须对它做功，这样势能就增加。b不稳定平衡当物体稍稍偏离平衡位置时，它所受到的力或力矩使它偏离继续增大，这样的平衡叫不稳定平。所谓的不稳定平衡也是指物体处于势能最大时的平衡，使它离开平衡位置，外界不必对它做功，任何微小扰动，总引起重力对它做功，势能减小，这样它将继续减小势能，再也回不到原来那个势能最大的位置。c随遇平衡当物体稍稍偏离平衡位置时，它所受的力或力矩不发生变化，它能在新的位置上再次平衡。所谓的随遇平衡是指处于平衡状态的物体，受到微小扰动后，势能始终保持不变。因此可以在任意位置继续保持平衡。二、物体平衡种类的判别法（一）受力分析法当质点受到外界的扰动稍微偏离平衡位置后，如果所受合外力指向平衡位置，则此质点的平衡是稳定的；如果所受的合外力背离平衡位置，则此质点的平衡是不稳定的；如果所受的合外力为零，则此质点处于随遇平衡状态。（二）力矩比较法对于有支轴的刚性物体，当它受外界扰动而偏离平衡位置时，如果外力会引起一个回复力矩，此力矩有把物体拉回到原平衡位置的倾向，则称物体处于稳定平衡状态；如果外力会引起一推斥力矩，它有把物体推离原平衡位置的倾向，则称物体处于不稳定平衡态；如果物体所受合力矩仍为零，则称物体处于随遇平衡态。（三）重心升降法对受重力和支持力作用而平衡的物体（包括质点和刚性物件），判断其平衡种类时，常可用重心升降法。即若使物体稍微偏离平衡位置，如是重心升高，则称稳定平衡；若物体稍微偏离平衡位置，如其重心降低，则为不稳定平衡；而若物体偏离平衡位置如其重心高度不变，则为随遇平衡。（四）支面判断法具有支面的物体平衡时，物体所受重力的作用线一定在支面内，如果偏离平衡位置后，重力作用线仍在支面内，物体就能回到平衡位置，属于稳定平衡；但如果物体倾斜较大时，重力的作用线超出支面，重力的力矩，会使物体继续远离原来的位置，即原来的平衡被破坏，利用这一点，常能为处理平衡种类的一些问题找到解题的突破口。三、液体静平衡（一）静止流体中的压强液体内部某点处的压强与方向无关，可用公式计算，式中的是指从该点到液面的竖直距离，而不是到液面的距离。对于连通管来说，凡是在相连通的同种液体的相同高度处其压强必相等，若不是同种液体，或者虽是同种液体，但中间夹有其他种液体或气体时，上述关系就不一定能成立。对于盛有多层不同液体的容器内的压强应分层计算，然后叠加起来。（二）浮力液体对物体的浮力表示为，式中的为物体浸没于液体部分的体积，为液体的密度。液体对浸在其中的物体的浮力来自于液体的静压强，而液体的静压强则来自于液体的重量，当液体作加速运动时，其视重改变了，液体内的静压强以及液体对浸在其中的物体的浮力也随之而改变。例：木块漂浮于水面上，若把它们放于以加速度上升的升降机中，由于液体、木块超重的倍数相同（液体的超重相当于液体的密度变为原来的倍），因而木块浸入水中的体积将不发生变化。（三）浮体平衡的稳定性浮在流体表面的浮体，所受浮力与重力大小相等、方向相反，处于平衡状态，浮体平衡的稳定性，将因所受扰动方式的不同而异。显然，浮体对铅垂方向的扰动，其平衡是稳定的，对于水平方向的扰动，其平衡是随遇的。浮体对于过质心的水平对称轴的旋转扰动，其平衡的稳定性视具体情况而定。以浮于水面的船体为例：当船体向右倾斜（即船体绕过质心的水平对称轴转动一小角度）时，其浮心B将向右偏离，浮力与重力构成一对力偶，力偶矩将促使船体恢复到原来的方向，如图所示，可见船体对这种扰动，其平衡是稳定的，但如果船体的重心太高，船体倾斜所造成的力偶矩也可能使船体倾斜加剧，这时船体的平衡就是不稳定的，如图所示。第五讲 质点运动的基本概念【赛点知识】力学中研究的运动，是指物体位置的变动，称为机械运动。这是最简单、最基本的运动形式，它存在一切运动形式之中。如何描述运动使之可以量化处理需要一些基本的运动学概念。一、参考系机械运动时物体位置在空间中的变动，但是任何物体的位置及其变动只有相对于现实选定的物体或彼此无相对运动的物体群才有明确的意义。这种被选作运动依据的物体或物体群成为参考物。与参考物固连的三维空间称为参考空间。另外，位置变动总是伴随着时间的变动，所谓考察物体的运动，也就是考察物体的位置变动与时间的关系。参考空间与固连的时钟的组合称为参考系。一般来说，研究运动学的问题，只要描述方便，参考系可以随便选取。但是在考虑动力学问题时，参考系的选择就受到一定限制，因为有些重要的动力学规律（如牛顿三定律）只对特定的参考系（惯性系）成立。参考系选定后，为了定量地标定物体相对于参考系的位置，还必须在参考系上建立适当的坐标系。所谓坐标系就是固定在参考空间的一组坐标轴和用来确定物体位置的一组坐标。常用的坐标系有直角坐标系、极坐标系、球坐标系和柱坐标系。物体的运动完全由参考系选择决定，与坐标系的选取无关。坐标系的不同，只是描述运动的变量不同而已，对应的物体的运动状态相同。二、质点实际物体都有一定的大小、形状和内部结构。在考察物体运动时，我们仅考察物体的整体运动，或物体本身的大小比所考察运动的线度小得多，就可以不计物体各部分运动状况的差别把它抽象成一个点，称为质点。质点是一种理想模型，它突出了物体具有质量和占有位置这两个主要因素，而忽略了形状、大小及内部结构等次要因素。运动学中的质点概念使量化物体位置成为可能，而更复杂的物体运动可以看成质点的组合。三、位移和路程在直角坐标系中质点的位置可以用从坐标原点O指向质点P位置的有向线段来表示，的长度给出质点到O点的距离，的方向可用方向余弦，和决定，由于故有向线段是由，及的长度中任意三个参量决定。有向线段是一个特殊的矢量，称为位置矢量，简称位矢，用表示。当质点运动时，位矢的大小和方向都随时间变化，表示某时刻质点的位置，即位矢在一段时间内的变化量称为位移，用表示：如图所示，位移既有大小又有方向，是一个矢量，所以上述运算遵循矢量运算法则。路程是物体通过的实际轨迹的长度。路程只有大小，没有方向。可以这样认为，一段时间内的位移是每瞬间内位移的矢量和，而路程是这些瞬间位移大小的标量和，即：，要注意的是位移反映的是物体的运动，所以位移总和某段时间相对应，如图所示中是表示时间内的运动量的大小和方向，而是表示瞬间的运动量的大小和方向。四、速度物体以恒定快慢程度在一直线上运动，称为匀速直线运动。匀速直线运动是最简单的一种运动。在匀速直线运动中，任意时间内的位移和所用时间的比值都为常量，可以用来描述运动的快慢叫做匀速直线运动的速度。非匀速直线运动或曲线运动质点在任意到的比值不再为常量，仍用某段时间间隔内的位移和该段时间间隔的比值来描述该段运动的大致快慢程度，称为该时间间隔中质点的平均速度，用表示。方向沿位移方向，这实际上是用一段匀速运动对原运动的等效替代。当考察的时间间隔足够小时，此时间内各质点运动的快慢和方向可能存在的差别也必然非常小，以致可以忽略不计，于是当时，上述平均速度的极限就可以精确描写时刻质点运动的快慢和方向，此极限称为时刻的瞬时速度，简称速度，用表示：五、加速度一般情况下质点的速度往往随时间变化，与速度的定义类似我们可以先寻找最简单的变速运动匀变速直线运动。由于速度随时间线性变化则平均速度为：则其运动位移、时间、速度及加速度有如下关系：注意上述运算遵循矢量运算法则，由于是一直线上的矢量，故可设定正方向后以标量的代数和形式运算。同样也可以得出平均加速度和瞬时加速度，分别为：，如图所示。六、运动图像图像是描述各种运动的另一种重要形式，匀变速直线运动的图像如图所示，图像中的斜率和面积也有重要含义，合理运用可以很直观地反映运动。对于平面曲线运动及空间曲线运动则需要对运动在坐标系中分解，各方向分运动分别描述。第六讲 相对运动和运动的合成与分解【赛点知识】一、运动的合成与分解运动的合成与分解是指位移、速度及加速度的合成与分解。因为都是矢量，其运算都遵守矢量运算法则，即平行四边形定则或三角形法则。一个物体同时参与两个运动，其表现结果就是合运动，分运动和合运动是同时存在的，解题时要注意利用等时性。各分运动是相互独立的，某一分运动并不因为其他的分运动的存在和变化而受到影响，分运动的变化只会使合运动发生变化。已知两个分运动，其合运动是惟一的，而将一个已知运动分解成两个分运动，可以有无数解，需从题中寻找隐含条件来确定分解方式。把矢量向某个方向投影时，必须就另一分量也作出交待。二、相对运动运动的合成包括位移、速度、加速度的合成，遵从矢量合成法则。通常，将相对观察者静止的参照系称为静止参照系，将相对观察者的参照系称为运动参照系。物体相对于静止参照系的运动称为绝对运动，相对应的速度和加速度称为绝对速度和绝对加速度；物体相对于运动参照系的运动称为相对运动，相对应的速度和加速度称为相对速度和相对加速度。而运动参照系相对于静止参照系的运动称为牵连运动，相对应的速度和加速度称为牵连速度和牵连加速度。以速度为例，这三种速度的矢量关系为：位移、加速度之间也存在类似关系，但要注意具体运算是按平行四边形法则或三角形法则进行的。三、负矢量、矢量减法和相对速度负矢量是跟对应矢量大小相同、方向相反的矢量。有了负矢量的定义，我们就可以从矢量相加法则推出矢量相减的法则。现在我们来求两个运动物体之间的相对速度。如图所示，如果某甲有一个向东的速度，则在甲看来，所有物体相对于他都向西运动，速率为，即所有物体有一个速度。当某乙实际上运动速度为时，在甲看来乙同时具有两个速度和，因而甲观察到的乙相对于甲的相对速度为：同理，乙观察到的甲相对于乙的相对速度为：凡是涉及相对速度的问题都可用这些公式处理。四、刚体的平面运动刚体的平面运动是一种较为复杂的运动。但从理论上讲，任何刚体的平面运动都可看作是随某一点的平动与绕该点的转动的合运动。这一点我们称为基点。基点是可任意选取的，不会影响解题的结果，平动部分与基点的选取有关，转动部分与基点的选取无关。如图所示可知，选A为基点，则B点的速度即由平动速度与转动速度合成而得，即由图可看出，总是垂直于AB连线的。也就是说它在AB连线上的投影为零，所以和在AB连结的投影必相等。故可得结论：当刚体做平面转动时，其上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。五、轮的直轨道滚动半径为的轮在固定的直轨道上滚动时，轮的中心点O相对直轨道作直线运动，速度记为，此轮绕O转动角速度便为：轮缘上任何一点P绕O作圆周运动，速度为，其大小为，方向随时在变，点P相对直轨道的速度便为：需要注意的是，大小虽同为，但方向一般不同。仅当P转到最高位置时两者方向一致，此时达极大值。P转到最低位置时，即与直轨道接触时，彼此方向相反，。六、轮的圆轨道滚动轮沿着固定圆轨道滚动时，设轮心O的圆运动角速度为，轮绕O转动角速度为，如图所示，轮上点P相对圆轨道的速度为：式中，为点O相对圆轨道速度，为P相对O的速度。两者大小为：，式中，分别为圆轨道和轮的半径。当P与圆轨道接触时，如图所示，必有，且与反向，因此，大小必相同，即得：便有：。第七讲 抛体运动【赛点知识】抛体问题大概是大家进入高中以来第一个碰到的稍复杂的问题，之前的匀速直线运动和匀加速直线运动都只是在一维理想情况下的简单问题，而抛体问题就扩展到二维空间。二维空间的运算不再是一维空间中的代数运算，而是矢量运算。用现在的匀速直线运动和匀加速直线运动的知识就可以处理抛体问题，由于抛体运动是匀变速平面曲线运动，基本的处理方式是在平面直角坐标系中对运动分解，这也是处理曲线运动的一种最基本的方法。先来看相对简单的竖直抛体运动。竖直抛体运动竖直抛体运动是抛体运动中比较简单的一种，即竖直向下或者竖直向上的抛体运动。处理这个问题和前面的一维情况下的匀变速直线运动一样，这里加速度是，竖直向下。不过这样处理问题的前提是不考虑空气阻力。大家很容易就能得到竖直上抛的运动方程：，这里的是抛出后时刻的速度，都是以向上为正。运动关于速度为零的点（最高点）对称。下抛运动的处理方法完全类似，只不过是将正方向取为下而已。平抛运动平抛运动就是以一定的初速度沿水平方向抛出去后物体所做的运动。平抛运动是曲线运动，要用到前面的运动的合成与分解的方法。我们可以看到平抛运动可以分解成水平的匀速直线运动和竖直的自由落体运动的合成。上面已经说过运动的分解是任意的，我们可以沿不同分运动数，不同方向、大小作不同的分解，但是对于平抛运动的相对较简单的方法就是沿水平和竖直两个方向的分解，如图所示。则各运动分量为：，合速度和合位移（大小，方向）由两个方向的分量矢量相加得到：，很容易可以发现和之间的关系：以及平抛运动的轨迹方程：抛物线上某点的切线方向就表示在这点物体的速度方向。而式与抛物线上某点的切线的斜率有关，感兴趣的同学可以自己推导一下。由轨迹方程可以求出一定高度平抛运动的抛程（取时间为正的根）。斜抛运动斜抛运动是以一定的初速度（方向用角度表示）抛出去的物体所做的运动。按照平抛运动的分解规则，斜抛运动也可以分解为水平和竖直两个方向的分运动，水平方向仍然是匀速直线运动，竖直方向则具有初速度的匀变速直线运动。按照上述分解方法分析初速度为（大小为，方向用仰角表示）的斜抛运动，如图所示：，由上面两组公式和矢量合成法则就可以得到时刻的速度和位移矢量。斜抛运动的轨迹方程也可以由此得到：对轨迹方程求的最大值就得到射高：物体达到最高点的条件是，故可得到达到最高点的时刻：，求时的值就得到斜抛运动的射程（到达和抛出点等高时和抛出点的水平距离）：而由运动的对称性可得到到达射程点的时刻：从射程的表达式可以看出在时射程有最大值，而且有互余的两仰角，若速度的大小相同那么对应的射程也相同。对于高为抛射点的最大射程类似求解，不过在数学处理上会烦一些，大家可以试着求出表达式。这个结论在我们日常生产中有一定应用，比如推铅球、投垒球、掷标枪等。平抛运动和竖直抛体运动只是斜抛运动一定初速角度的特例。以上是关于斜抛运动的水平竖直分解的有关内容，以下介绍一下应用斜交分解较简单的情况。举一个例子：在斜面底端作斜抛运动，求物体触到斜面前离开斜面的最大距离。这里斜面的倾角用表示，那么简单的处理方式就是按照角度进行正交分解，如图所示：，。前面的问题的解答是的表达式关于的最大值。所以说分解是任意的，按照对具体问题的解决难易来决定，但是对于绝大多数的抛体问题，分运动数量为2，而且为正交分解（两分运动互相垂直），因为我们在矢量合成的运算时，也是通过正交分解来求合矢量的大小和方向的，采用直角分解主要由我们描述矢量的方式决定。以上的内容都是在理想条件下的抛体运动描述，可是实际的情况要复杂得多，空气阻力对抛体运动有不可忽略的影响，我们将考虑空气阻力的抛体运动的运动轨迹称作弹道曲线，关于弹道曲线的拟合研究对早期惯性制导的导弹精确度有重要贡献。第八讲 圆周运动【赛点知识】直角坐标系中，任意空间曲线运动都可以分解为直线运动来研究，原则上解决所有的曲线运动问题。但对于很多非匀变速曲线运动往往这种分解显得极不方便，若是涉及复杂的数学计算，会使问题极难求解。圆周运动的研究方式事实上给我们提供了研究一般曲线运动的另一类运动分解方式。质点的平面曲线运动轨迹一般为光滑曲线，所谓光滑曲线就是处处无突变性拐角的曲线。如果轨迹曲线中有突变性拐角，总可将其分解为若干段，使得每一段内均无这样的拐角。例如从地面斜抛出去的小球，落地后又弹上去，以后还会屡次落地，形成有突变性拐角的曲线轨道，落地点为一系列的拐角点。这样的曲线显然可分解为若干段光滑的抛物线，分段点取在落地点即可。将一段光滑的平面曲线分解为一系列无限小的弧线，数学上可知对于曲线上任意S处附近的无限小弧线都可以找到一个对应的圆，使得这一小段弧线成为该圆上的一小段圆弧，如图所示。此圆称为曲线在S处的曲率圆，圆半径称为S处的曲率半径。小，曲线在S处弯曲程度高；大，弯曲程度低。直线可视为曲率半径处处为无穷大的特殊曲线。根据上面的讨论，点P的平面曲线运动可分解为一系列的圆弧运动，从而将平面曲线运动约化为圆周运动。质点在半径为的圆周上运动时，可以用图中的转角来确定它的位置。设时间内转过的角量为，可引入平均角速度：进而取，得瞬时角速度，记为：需要注意的是在这里平均角速度和角速度都是矢量，方向由右手螺旋确定。点P的速度沿圆周的切线方向，大小为：式中为时间内转过的小圆弧弧长，如图所示。据此有：乃至为常量的圆周运动，称为匀速圆周运动。这一称谓可理解为是“匀角速圆周运动”或“匀速率圆周运动”的简化。点P作匀速圆周运动时，的大小不变，但方向始终在变化，在时间内由变为，则速度增加应为：参考图示，在由，构成的矢量等腰三角形中，当时，的方向垂直于且与矢径反平行，即指向圆心，大小为：于是圆运动加速度为：方向：指向圆心；大小：。既然指向圆心，故也称为向心加速度，改述为：。因，又有：。可以看出不改变的大小，但它起着改变方向的作用。乃至均随时间变化的圆周运动，称为变速圆周运动，可为此种运动引入角加速度，定义为：质点作变速圆周运动时，的方向和大小都在变化，在时间内，设由变为，速度增量：可如图所示分解为：。相当于匀速圆周运动中的，的方向与平行，大小为：点P加速度矢量可分解为：式中第一项与匀速圆周运动中的完全一致，第二项沿切线方向，称为切向加速度。于是可表述为：方向：指向圆心；大小方向：沿切线方向；大小这里的起着改变方向的作用，起着改变大小的作用。顺便一提，由于，与之间的差别以及与的差别可略。故分别可用，代替，此即表达式中的，量。为常量的圆周运动，称为匀变速圆周运动，或称为匀加速圆周运动。若设时，则任意时刻有：对于有：，第九讲 牛顿运动定律【赛点知识】一、牛顿第一定律任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体作用的力迫使它改变这种状态为止。这是牛顿第一定律的内容。牛顿第一定律是质点动力学的出发点。物体保持静止或匀速直线运动状态的性质称为惯性。牛顿第一定律又称为惯性定律。惯性是物体固有的属性，可用质量来量度。无论是静止还是匀速直线运动状态，其速度都是不变的。速度不变的运动也就是没有加速度的运动，所以物体如果不受其他物体的作用，就作没有加速度的运动。牛顿第一定律指出了力是改变物体运动状态的原因。牛顿第一定律只在一类特殊的参照系中成立，此参照系称为惯性参照系，简称惯性系。相对某一惯性系作匀速运动的参照系必定也是惯性系。牛顿第一定律不成立的参照系称为非惯性参照系，简称非惯性系。非惯性系相对惯性系必做变速运动。地球是较好的惯性系，太阳是精度非常高的惯性系。二、牛顿第二定律物体所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与合外力的方向相同，其数学表达式为。牛顿第二定律包含了对质量的量度定义和力的大小的量度定义。对牛顿第二定律的理解应注意：（1）矢量性：牛顿第二定律的表达式是矢量式，加速度的方向仅由合外力的方向决定。（2）瞬时性：力和加速度是瞬时对应关系，加速度随力的变化而立即变化。即某时刻的力决定了这一时刻的加速度。这种瞬时关系不仅是指力与加速度大小之间的瞬时对应关系，也表明了加速度与该时刻力的方向完全一致。（3）独立性：当物体受到几个力作用时，各个力产生的加速度都满足。各加速度的矢量和由物体所受合外力决定。牛顿第二定律在直角坐标系中可分解为：，（4）牛顿第二定律只在惯性系中成立。且物体作低速运动（物体的速度远小于光速）。三、牛顿第三定律两物体间的作用力和反作用力总是大小相等、方向相反并沿同一直线。对牛顿第三定律的理解应注意：（1）作用力和反作用力一定是同种性质的力。（2）作用力和反作用力成对出现，同时存在，同时消失。（3）作用力和反作用力作用在不同的物体上，因此，谈作用力和反作用力的合力没有意义。四、物体作曲线运动的条件物体作曲线运动的条件是，物体的初速度不为零，受到合外力与初速度不共线，指向曲线的“凹侧”，该时刻物体受到的合外力与速度的夹角，满足的条件。五、物体作匀速圆周运动的条件物体作匀速圆周运动的条件是物体受到始终与速度方向垂直，沿半径指向圆心，大小恒定的力作用。由牛顿第二定律可知，其大小为。作变速圆周运动的条件是，合外力的法线和切线方向都有分量。法向分量产生向心加速度：切向分量产生切向加速度：与变速圆周运动类似，在一般曲线运动中，合外力在法线方向和切线方向都有分量。法向分量的大小为：，为曲线在该处的曲率半径，切向分量的大小为：。第十讲 非惯性参照系与惯性力【赛点知识】应用牛顿定律时，选用的参照系应该是惯性系，在非惯性系中，为了能得到形式上与牛顿第二定律一致的动力学方程，引入惯性力的概念，引入惯性力必须满足：式中是质点真实受到的力，是质点相对非惯性系的加速度。真实力与参照系的选择无关，惯性力是虚构的力，不是真实力，惯性力不是自然界中物体间的相互作用，因此不属于牛顿第三定律涉及的范围之内，它没有施力物体，不存在与之对应的反作用力。一、平动加速系统中的惯性力设平动非惯性系相对于惯性系的加速度为，质点相对于惯性系的加速度为，由相对运动知识可知，质点相对于平动非惯性系的加速度质点受到的真实力为，对于惯性系有对于非惯性系有得在平动非惯性系中，惯性力由非惯性系相对惯性系的加速度及质点的质量确定，与质点的位置及质点相对于非惯性系速度无关。二、匀速转动系统中的惯性力圆盘以加速度绕竖直轴匀速转动，在圆盘上用长为的细线将质量为的质点系于盘心且质点相对于圆盘静止，即随盘一起作匀速圆周运动。以惯性系观察，质点在线的拉力作用下作匀速圆周运动，符合牛顿第二定律，以圆盘为参照系观察，质点受到拉力作用而保持静止，不符合牛顿定律。要在非惯性系中保持牛顿第二定律形式不变，在质点静止于此参照系的情况下，引入惯性力：式中，为转轴向质点所引矢量，与转轴垂直。由于这个惯性力的方向沿半径背离圆心，通常称为惯性离心力，由此得出：若质点静止于匀速转动的非惯性参照系中，则作用于此质点的真实力与惯性离心力的合力等于零。惯性离心力的大小，除与转动系统的角速度和质点的质量有关外，还与质点的位置有关。必须提出的是，如果质点相对于匀速转动的系统在运动，则若想在形式上用牛顿第二定律来分析质点的运动，仅加惯性离心力是不够的，还须加其他惯性力，这里不作进一步讨论。