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精 品 数 学 课 件2019 届 北 师 大 版 5简单的幂函数问题问题引航引航1.1.幂函数的概念是什么幂函数的概念是什么? ?2.2.常见的幂函数有哪些常见的幂函数有哪些? ?它们在同一坐标系下的它们在同一坐标系下的图像如何画图像如何画? ?3.3.函数奇偶性的定义是什么函数奇偶性的定义是什么? ?4.4.函数奇偶性的应用有哪些方面函数奇偶性的应用有哪些方面? ?1.1.幂函数的定义幂函数的定义如果一个函数如果一个函数,_,_是自变量是自变量x,_x,_是常量是常量,即即_,_,这样这样的函数称为幂函数的函数称为幂函数. .底数底数指数指数y=xy=x2.2.奇、偶函数的定义奇、偶函数的定义对于函数对于函数y=f(x),xAy=f(x),xA-f(x)-f(x)原点原点y y轴轴f(x)f(x)奇偶性奇偶性3.3.五种常见幂函数的图像五种常见幂函数的图像1.1.判一判：判一判：( (正确的打正确的打“”, ,错误的打错误的打“”) )(1)(1)函数函数y=xy=x2 2+1+1是幂函数是幂函数.(.() )(2)(2)幂函数的图像必过点幂函数的图像必过点(0,0)(0,0)和和(1,1).(1,1).() )(3)(3)在函数在函数y=f(x)y=f(x)中中, ,若若f(-3)=f(3),f(-3)=f(3),则则y=f(x)y=f(x)是偶函数是偶函数.(.() )2.2.做一做：做一做：( (请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上) )(1)(1)已知点已知点 在幂函数在幂函数f(x)f(x)的图像上的图像上, ,则则f(x)f(x)的解析式的解析式为为_._.(2)(2)在在 中，奇函数是中，奇函数是_，偶函数是偶函数是_._.(3)(3)对于函数对于函数y=f(x)y=f(x)，若有，若有f(-x)+f(x)=0,f(-x)+f(x)=0,则则y=f(x)y=f(x)是是_函数函数( (填填“奇奇”或或“偶偶”).).3M(,3)313212yx ,yx ,yx,yx ,yx【解析解析】1.(1)1.(1)错误错误.y=x.y=x2 2是幂函数是幂函数,y=x,y=x2 2+1+1不符合幂函数不符合幂函数y=xy=x的特征的特征. .(2)(2)错误错误. .如如y=xy=x-1-1不过不过(0,0).(0,0).(3)(3)错误错误. .若为偶函数若为偶函数, ,要求对定义域内任意要求对定义域内任意x x均有均有f(-x)=f(x).f(-x)=f(x).答案：答案：(1)(1)(2)(2)(3)(3)2.(1)2.(1)设幂函数的解析式为设幂函数的解析式为f(x)=xf(x)=x, ,则则3= ,3= ,所以所以=-2,=-2,所以所以f(x)=xf(x)=x-2-2. .答案：答案：f(x)=xf(x)=x-2-2(2)(2)由它们的图像知由它们的图像知, ,奇函数有奇函数有y=x,y=xy=x,y=x-1-1,y=x,y=x3 3; ;偶函数有偶函数有y=xy=x2 2. .答案：答案：y=x,y=xy=x,y=x-1-1,y=x,y=x3 3y=xy=x2 2(3)(3)因为因为f(-x)+f(x)=0,f(-x)+f(x)=0,所以所以f(-x)=-f(x),f(-x)=-f(x),所以所以y=f(x)y=f(x)是奇函数是奇函数. .答案：答案：奇奇3()3【要点探究要点探究】知识点知识点1 1 幂函数的有关概念幂函数的有关概念1.1.幂函数解析式的三个特征幂函数解析式的三个特征(1)(1)指数为常数指数为常数.(2)(2)底数是自变量底数是自变量, ,自变量的系数为自变量的系数为1.1.(3)(3)只有一项只有一项, ,且且x x的系数为的系数为1.1.2.2.幂函数图像的特点幂函数图像的特点(1)(1)幂函数的图像随着常数幂函数的图像随着常数的取值不同所在象限的图像也不的取值不同所在象限的图像也不尽相同尽相同. .(2)(2)幂函数的图像一定会出现在第一象限幂函数的图像一定会出现在第一象限, ,一定不会出现在第四一定不会出现在第四象限象限, ,是否出现在第二、三象限是否出现在第二、三象限, ,要看函数的奇偶性要看函数的奇偶性. .(3)(3)幂函数的图像最多只能出现在两个象限内幂函数的图像最多只能出现在两个象限内. .(4)(4)如果幂函数的图像与坐标轴相交如果幂函数的图像与坐标轴相交, ,则交点一定是原点则交点一定是原点. .【知识拓展知识拓展】幂函数的性质幂函数的性质所有的幂函数在所有的幂函数在(0,+)(0,+)上都有定义上都有定义, ,且图像都过且图像都过(1,1)(1,1)点点. .当当为奇数时为奇数时, ,幂函数为奇函数幂函数为奇函数; ;当当为偶数时为偶数时, ,幂函数为偶函数幂函数为偶函数. .一般一般, ,当当00时时, ,幂函数幂函数y=xy=x有下列性质：有下列性质：(1)(1)图像都过图像都过(1,1)(1,1)点点. .(2)(2)在第一象限内函数值随在第一象限内函数值随x x的增大而增大的增大而增大. .(3)(3)在第一象限内在第一象限内, ,当当11时时, ,图像是向下凸的图像是向下凸的; ;当当0101时时, ,图图像是向上凸的像是向上凸的. .(4)(4)在第一象限内在第一象限内, ,过点过点(1,1)(1,1)后图像向右上方无限伸展后图像向右上方无限伸展. .当当00,y0,在第一象限内有定在第一象限内有定义义, ,根据函数的定义可知根据函数的定义可知, ,在第四象限内必没有图像在第四象限内必没有图像. .(2)(2)函数函数y=xy=x0 0是幂函数吗是幂函数吗? ?提示：提示：是幂函数是幂函数. .符合幂函数的特征符合幂函数的特征. .【即时练即时练】1.1.函数函数y=(ay=(a2 2-3)x-3)xa a是幂函数，则是幂函数，则a=_.a=_.2.2.幂函数幂函数 的定义域为的定义域为_，在定义域内是，在定义域内是_ _ ( (填填“增加的增加的”或或“减少的减少的”).).【解析解析】(1)(1)因为因为y=(ay=(a2 2-3)x-3)xa a是幂函数是幂函数, ,所以所以a a2 2-3=1,-3=1,所以所以a=a=2.2.答案：答案：2 232yx(2)(2)因为因为由由x x3 300得得x0,x0,所以定义域为所以定义域为0 0，+),+),又又 所以在定义域内是增加的所以在定义域内是增加的. .答案：答案：0 0，+) +) 增加的增加的332yxx ,31,2知识点知识点2 2 函数的奇偶性函数的奇偶性1.1.函数具有奇偶性需具备的首要条件函数具有奇偶性需具备的首要条件从函数奇偶性的定义来看从函数奇偶性的定义来看, ,奇、偶函数的定义域一定关于原点奇、偶函数的定义域一定关于原点对称对称, ,否则此函数是非奇非偶函数否则此函数是非奇非偶函数. .所以若一个函数具有奇偶性所以若一个函数具有奇偶性, ,则其定义域一定关于原点对称则其定义域一定关于原点对称. .2.2.奇偶函数的性质奇偶函数的性质(1)(1)若图像关于原点对称若图像关于原点对称y=f(x)y=f(x)是奇函数是奇函数. .(2)(2)若图像关于若图像关于y y轴对称轴对称y=f(x)y=f(x)是偶函数是偶函数. .3.3.函数奇偶性的分类函数奇偶性的分类(1)(1)奇函数：定义域关于原点对称奇函数：定义域关于原点对称, ,且且f(-x)=-f(x).f(-x)=-f(x).(2)(2)偶函数：定义域关于原点对称偶函数：定义域关于原点对称, ,且且f(-x)=f(x).f(-x)=f(x).(3)(3)既是奇函数又是偶函数：如果对于函数定义域内任一个既是奇函数又是偶函数：如果对于函数定义域内任一个x,f(-x)=f(x)x,f(-x)=f(x)与与f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)同时成立同时成立, ,那么函数那么函数f(x)f(x)既是奇函既是奇函数又是偶函数数又是偶函数. .既是奇函数且是偶函数的表达式是唯一的：既是奇函数且是偶函数的表达式是唯一的：f(x)=0,xA,f(x)=0,xA,定义定义域域A A是关于原点对称的非空数集是关于原点对称的非空数集. .(4)(4)既不是奇函数也不是偶函数：定义域不关于原点对称或定既不是奇函数也不是偶函数：定义域不关于原点对称或定义域虽关于原点对称义域虽关于原点对称, ,但但f(-x)-f(x)f(-x)-f(x)且且f(-x)f(x).f(-x)f(x).【微思考微思考】在在y=f(x),xRy=f(x),xR中中, ,满足满足f(-x)=-f(x),f(-x)=-f(x),则则f(0)f(0)的值是多少的值是多少, ,为什为什么么? ?提示：提示：f(0)=0.f(0)=0.因为因为f(-0)=-f(0),f(-0)=-f(0),即即f(0)+f(0)=0,f(0)+f(0)=0,所以所以f(0)=0.f(0)=0.【即时练即时练】1.1.函数函数y=f(x)y=f(x)是偶函数，图像上有一点为是偶函数，图像上有一点为(a,f(a),(a,f(a),则图像必则图像必过点过点( )( )A.(a,f(-a) B.(-a,f(a)A.(a,f(-a) B.(-a,f(a)C.(-a,-f(a) D. C.(-a,-f(a) D. 2.(20142.(2014黄冈高一检测黄冈高一检测) )函数函数f(x)=x+af(x)=x+a2 2-1-1是定义在区间是定义在区间(-a(-a2 2, ,2a+3)2a+3)上的奇函数，则上的奇函数，则a a2 2 015015=_.=_.1(a,)f(a)【解析解析】1.1.选选B.B.因为偶函数的图像关于因为偶函数的图像关于y y轴对称，轴对称，(a,f(a)(a,f(a)关关于于y y轴的对称点是轴的对称点是(-a,f(a),(-a,f(a),故选故选B.B.2.2.因为因为f(x)=x+af(x)=x+a2 2-1-1是奇函数，且是奇函数，且x(-ax(-a2 2,2a+3),2a+3),所以所以 即即a=-1,a=-1,所以所以a a2 2 015015=(-1)=(-1)2 2 015015=-1.=-1.答案：答案：-1-1222a3a ,a10, 【题型示范题型示范】类型一类型一 幂函数的定义、性质及应用幂函数的定义、性质及应用【典例典例1 1】(1)(2014(1)(2014西安高一检测西安高一检测) )下面的函数中是幂函数的是下面的函数中是幂函数的是( )( )A.A. B. B. C. C. D. D.11323324yx2.yx .y2x .yx .yx1.(2)(2014(2)(2014宜春高一检测宜春高一检测) )已知幂函数已知幂函数f(x)=(mf(x)=(m2 2-m-1)x-m-1)x3-2m3-2m在区在区间间(0,+)(0,+)上是减少的上是减少的. .求函数求函数f(x)f(x)的解析式的解析式. .若函数若函数 的定义域和值域均为的定义域和值域均为1,b1,b，求求b b的值的值. . 212bg x5fxf x【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中判断所给函数是否是幂函数的依据是中判断所给函数是否是幂函数的依据是什么什么? ?2.2.题题(2)(2)中已知的幂函数在中已知的幂函数在(0,+)(0,+)上是减少的上是减少的, ,则应满足什么则应满足什么条件条件? ?【探究提示探究提示】1.1.依据幂函数的一般形式依据幂函数的一般形式y=xy=x. .2.2.满足的条件是满足的条件是m m2 2-m-1=1,3-2m0.-m-1=1,3-2m1,b1,所以所以g(x)g(x)在在1,b1,b上是减少的上是减少的, ,所以所以 即即 所以所以b=2.b=2.故故b b的值为的值为2.2. 222212bg x5x2bx5xb5b ,fxf x g 1b,g b1,2212b5b,b2b51,【延伸探究延伸探究】在在(2)(2)中中“若若f(x)f(x)在区间在区间(0,+)(0,+)上是增加的上是增加的”, ,则求则求f(x)f(x)的解析式的解析式. .试画出试画出y=f(x)y=f(x)的图像的图像. .【解析解析】由本例由本例(2)(2)知知,m=-1,m=-1,所以所以f(x)=xf(x)=x5 5. .列表：列表：x x -2-2-1-1 0 0 1 12 2y y -32-32 -1-1 0 0 1 1 3232 描点描点, ,连线：连线：【方法技巧方法技巧】1.1.幂函数解析式的求法幂函数解析式的求法一般使用待定系数法一般使用待定系数法, ,即根据幂函数的定义即根据幂函数的定义, ,只要求出指数只要求出指数的的值即可值即可. .2.2.幂函数幂函数y=xy=x在第一象限内图像的画法在第一象限内图像的画法(1)(1)当当00时时, ,其图像可以类似其图像可以类似y=xy=x-1-1画出画出. .(2)(2)当当01011时时, ,其图像可以类似其图像可以类似y=xy=x2 2画出画出. .12yx【变式训练变式训练】1.1.下列函数是幂函数的为下列函数是幂函数的为( )( )2.2.函数函数 的图像是的图像是( )( )1x2122A.yx B.y3xC.yx1 D.yx13yx【解析解析】1.1.选选D.y=xD.y=xx x的指数不是常数的指数不是常数; ; 中中 的系数不的系数不是是1; 1; 中不是只有中不是只有 这一项这一项. .2.2.选选B.B.函数函数y= y= 是幂函数是幂函数, ,幂函数在第一象限内的图像恒过定幂函数在第一象限内的图像恒过定点点(1,1),(1,1),排除排除A,D. A,D. 当当x1x1时时,x ,x ,故幂函数故幂函数y= y= 的图像在直的图像在直线线y=xy=x的下方的下方, ,排除排除C.C.12y3x12x12yx112x13x13x13x【补偿训练补偿训练】如果幂函数如果幂函数y=(my=(m2 2-3m+3)x-3m+3)xm-2m-2的图像不过原点的图像不过原点, ,求求m m的值的值. .【解析解析】由幂函数的定义由幂函数的定义, ,得得m m2 2-3m+3=1,-3m+3=1,解得解得m=1m=1或或m=2.m=2.又图像不过原点又图像不过原点, ,所以所以m-20,m-20,解得解得m2.m2.经检验经检验m=1m=1或或m=2m=2皆适合皆适合, ,故故m=1m=1或或m=2.m=2.类型二类型二 函数奇偶性的判定函数奇偶性的判定【典例典例2 2】(1)(1)下列表示具有奇偶性的函数图像可能是下列表示具有奇偶性的函数图像可能是( () )(2)(2)判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性： 22222f xx22x;f x1xx1;1xf x;x221x1 x02f x1x1 x0.2， ， 【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中函数的图像具有什么特征才具有奇偶中函数的图像具有什么特征才具有奇偶性性? ?2.2.题题(2)(2)中判断函数的奇偶性首先判断什么中判断函数的奇偶性首先判断什么, ,再验证什么再验证什么? ?【探究提示探究提示】1.1.函数的图像关于原点或函数的图像关于原点或y y轴对称才具有奇偶性轴对称才具有奇偶性. .2.2.判断函数的奇偶性首先判断定义域是否关于原点对称判断函数的奇偶性首先判断定义域是否关于原点对称, ,再验再验证证f(-x)f(-x)与与f(x)f(x)的关系的关系. .【自主解答自主解答】(1)(1)选选B.B.只有只有B B项的图像具有关于项的图像具有关于y y轴对称的特点轴对称的特点. .(2)(2)f(x)f(x)的定义域为的定义域为2,2,不关于原点对称不关于原点对称, ,所以函数所以函数f(x)f(x)既不是奇函数也不是偶函数既不是奇函数也不是偶函数. .f(x)f(x)的定义域为的定义域为-1,1,-1,1,且且f(x)=0,f(x)=0,f(-1)=0,f(1)=0,f(-1)=0,f(1)=0,所以所以f(-1)=-f(1),f(-1)=-f(1),且且f(-1)=f(1),f(-1)=f(1),所以函数所以函数f(x)f(x)既是奇函数也是偶函数既是奇函数也是偶函数. .f(x)f(x)的定义域为的定义域为-1,0)(0,1-1,0)(0,1, ,则则所以所以f(x)f(x)是奇函数是奇函数. .方法一：作出函数的图像，如图所示方法一：作出函数的图像，如图所示. .又函数的图像关于原点对称，所以又函数的图像关于原点对称，所以f(x)f(x)是奇函数是奇函数. . 221x1xf x,x22x 221x1xfxf x ,xx 方法二：方法二：f(x)f(x)的定义域为的定义域为(-,0)(0,+)(-,0)(0,+)，关于原点对称，关于原点对称, ,当当x x0 0时，时，-x-x0 0，f(-x)=- (-x)f(-x)=- (-x)2 2-1-1= = 当当x x0 0时，时，-x-x0,0,f(-x)= (-x)f(-x)= (-x)2 2+1= x+1= x2 2+1+1= =综上所述，对于任意综上所述，对于任意x(-,0)(0,+)x(-,0)(0,+)都有都有f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)，所以所以f(x)f(x)为奇函数为奇函数. .12 21(x1)f x .2 1212 21(x1)f x .2 【方法技巧方法技巧】1.1.判断函数奇偶性的常用方法判断函数奇偶性的常用方法(1)(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区域，则立定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区域，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区域，再判断是关于原点对称的区域，再判断f(-x)f(-x)是否等于是否等于f(x),f(x),或判断或判断f(x)f(x)f(-x)f(-x)是否等于零、是否等于零、 是否等于是否等于1 1等等. .(2)(2)图像法：函数是奇图像法：函数是奇( (偶偶) )函数的充要条件是它的图像关于原函数的充要条件是它的图像关于原点点( (或或y y轴轴) )对称对称. . f xf( x)(3)(3)性质法：性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. .提醒：提醒：上面所说的函数都定义在同一个关于原点对称的区间上上面所说的函数都定义在同一个关于原点对称的区间上. .2.2.用定义判断函数奇偶性的步骤用定义判断函数奇偶性的步骤【变式训练变式训练】判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=(1)f(x)=(2)f(x)=2-|x|.(2)f(x)=2-|x|.(3)f(x)=(x-2)(3)f(x)=(x-2)2 2. .(4)f(x)=(4)f(x)=1x.xx.x1【解析解析】(1)(1)因为函数因为函数f(x)f(x)的定义域是的定义域是x|x0,x|x0,关于原点对关于原点对称，又称，又所以所以f(x)f(x)为奇函数为奇函数. .(2)(2)因为函数因为函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为R R，关于原点对称，关于原点对称，又又f(-x)=2-|-x|=2-|x|=f(x),f(-x)=2-|-x|=2-|x|=f(x),所以所以f(x)f(x)为偶函数为偶函数. . 11fxx(x)f xxx ，(3)f(x)(3)f(x)的定义域是的定义域是R,R,关于原点对称关于原点对称,f(-x)=(-x-2),f(-x)=(-x-2)2 2=(x+2)=(x+2)2 2, ,所以所以f(-x)f(x),f(-x)-f(x),f(-x)f(x),f(-x)-f(x),因此函数因此函数f(x)f(x)是非奇非偶函数是非奇非偶函数. .(4)(4)函数函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为x|x1,x|x1,显然不关于原点对称显然不关于原点对称, ,所以所以f(x)f(x)是非奇非偶函数是非奇非偶函数. .【补偿训练补偿训练】判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=(1)f(x)=(2)f(x)=x(2)f(x)=x3 3-2x.-2x.(3)f(x)=(3)f(x)=(4)f(x)=|x+1|-|x-1|.(4)f(x)=|x+1|-|x-1|.22x2x.x142xx1.【解析解析】(1)(1)函数的定义域为函数的定义域为x|x-1,x|x-1,不关于原点对称不关于原点对称, ,所以所以f(x)f(x)既不是奇函数也不是偶函数既不是奇函数也不是偶函数. .(2)(2)函数的定义域为函数的定义域为R,R,f(-x)=(-x)f(-x)=(-x)3 3-2(-x)=2x-x-2(-x)=2x-x3 3=-f(x),=-f(x),所以所以f(x)f(x)是奇函数是奇函数. .(3)(3)函数的定义域为函数的定义域为R,R,所以所以f(x)f(x)是偶函数是偶函数. . 4242fxxx1xx1f x , (4)(4)函数的定义域为函数的定义域为R,R,f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-f(x),f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-f(x),所以所以f(x)f(x)是奇函数是奇函数. .类型三类型三 奇偶性的应用奇偶性的应用【典例典例3 3】(1)(2014(1)(2014西安高一检测西安高一检测) )设设f(x)f(x)是是R R上的奇函数，当上的奇函数，当x0 x0时，时，f(x)=xf(x)=x2 2+2 012x,+2 012x,则当则当x0 x0时，时，f(x)=_.f(x)=_.(2)(2014(2)(2014北京高一检测北京高一检测) )已知函数已知函数 是定义域为是定义域为-1,1-1,1的奇函数，且的奇函数，且f(1)=f(1)=求求f(x)f(x)的解析式的解析式. .证明证明f(x)f(x)在在-1,1-1,1上是增加的上是增加的. .若实数若实数t t满足满足f(2t-1)+f(t-1)0,f(2t-1)+f(t-1)0,求实数求实数t t的取值范围的取值范围. . 2axbf x1x1.2【解题探究解题探究】1.1.表示出表示出f(-x)f(-x)的表达式后的表达式后, ,如何求如何求f(x)?f(x)?2.2.对于定义域为对于定义域为-1,1-1,1的奇函数的奇函数f(x),f(0)f(x),f(0)的值是多少的值是多少? ?【探究提示探究提示】1.1.利用奇函数的定义利用奇函数的定义f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)求解求解. .2.f(0)2.f(0)的值为的值为0.0.【自主解答自主解答】(1)(1)设设x0,x0,-x0,所以所以f(-x)=(-x)f(-x)=(-x)2 2+2012(-x)=x+2012(-x)=x2 2-2012x.-2012x.又又f(-x)=-f(x),f(-x)=-f(x),所以所以-f(x)=x-f(x)=x2 2-2012x,-2012x,所以所以f(x)=-xf(x)=-x2 2+2012x.+2012x.答案：答案：-x-x2 2+2012x+2012x(2)(2)因为因为f(-x)=-f(x),f(-x)=-f(x),所以所以f(0)=0,f(0)=0,所以所以b=0.b=0.又又 所以所以a=1,a=1,所以所以设设x x1 1,x,x2 20,10,1且且x x1 1xx2 2, ,则则f(xf(x2 2)-f(x)-f(x1 1)= )= = = a1f 1,1 12 2xf x.1x222121211222222112xxxx xxx x1x1x1x(1x)211212211222221212xxx xxxxx1x x.1x1x1x1x因为因为x x1 1x0.0.又又x x1 1,x,x2 20,10,1, ,所以所以1-x1-x1 1x x2 20,0,所以所以f(xf(x2 2)f(x)f(x1 1),),所以所以y=f(x)y=f(x)在在0,10,1上是增加的上是增加的. .又又f(-x)=-f(x),f(-x)=-f(x),所以所以y=f(x)y=f(x)在在-1,0-1,0上也是增加的，上也是增加的，所以所以y=f(x)y=f(x)在在-1,1-1,1上是增加的上是增加的. .因为因为f(2t-1)+f(t-1)0,f(2t-1)+f(t-1)0,所以所以f(2t-1)-f(t-1)=f(1-t),f(2t-1)0 x0上是增函数上是增函数, ,则则 ( () )A.f(3)f(-4)f(-)A.f(3)f(-4)f(-) B.f(-)f(-4)f(3) B.f(-)f(-4)f(3)C.f(3)f(-)f(-4)C.f(3)f(-)f(-4) D.f(-4)f(-)f(3) D.f(-4)f(-)f(3)【解析解析】选选C.C.因为因为f(x)f(x)在实数集在实数集R R上是偶函数上是偶函数, ,所以所以f(-)=f(),f(-4)=f(4).f(-)=f(),f(-4)=f(4).而而34,34,且且f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数, ,所以所以f(3)f()f(4),f(3)f()f(4),即即f(3)f(-)f(-4).f(3)f(-)0 x0时时, ,其解析式为其解析式为f(x)=xf(x)=x3 3+x+1,+x+1,则当则当x0 x0时时f(x)f(x)的解析式为的解析式为. .【解析解析】设设x0,x0,-x0,f(-x)=(-x)f(-x)=(-x)3 3+(-x)+1=-x+(-x)+1=-x3 3-x+1,-x+1,又又f(-x)=-f(x),f(-x)=-f(x),所以所以-f(x)=-x-f(x)=-x3 3-x+1,-x+1,所以所以f(x)=xf(x)=x3 3+x-1.+x-1.答案：答案：f(x)=xf(x)=x3 3+x-1+x-1【规范解答规范解答】函数奇偶性与单调性的综合应用函数奇偶性与单调性的综合应用【典例典例】(12(12分分)(2014)(2014延安高一检测延安高一检测) )函数函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为x|x0,x|x0,且满足对于定义域内任意的且满足对于定义域内任意的x x1 1,x,x2 2都有等式都有等式f(xf(x1 1x x2 2)=f(x)=f(x1 1)+f(x)+f(x2 2) )成立成立. .(1)(1)求求f(1)f(1)的值的值. .(2)(2)判断判断f(x)f(x)的奇偶性并证明的奇偶性并证明. .(3)(3)若若f(4)=1,f(4)=1,且且f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数, ,解关于解关于x x的不等式的不等式f(3x+1)+f(-6)3.f(3x+1)+f(-6)3.【审题审题】抓信息抓信息, ,找思路找思路【解题解题】明步骤，得高分明步骤，得高分【点题点题】警误区，促提升警误区，促提升失分点失分点1 1：在处若不能根据：在处若不能根据f(xf(x1 1x x2 2)=f(x)=f(x1 1)+f(x)+f(x2 2) )进行灵活进行灵活恰当地赋值，则不能求出恰当地赋值，则不能求出f(1),f(-x)f(1),f(-x)，从而本题不得分，从而本题不得分. .失分点失分点2 2：在处有两点会导致失分：一是不会利用条件式求：在处有两点会导致失分：一是不会利用条件式求出出f(64)=3f(64)=3；二是无法联系抽象不等式的解法，想不到把；二是无法联系抽象不等式的解法，想不到把3 3化为化为f(64),f(64),从而本题仅得从而本题仅得7 7分分. .失分点失分点3 3：处若忽视定义域会导致错解；另外若不会应用偶：处若忽视定义域会导致错解；另外若不会应用偶函数性质函数性质f(x)=f(|x|)f(x)=f(|x|)导致无法去掉函数符号，求不出最后答导致无法去掉函数符号，求不出最后答案，从而本题仅得案，从而本题仅得8 8分分. .【悟题悟题】提措施，导方向提措施，导方向1.1.赋值法的应用赋值法的应用抽象函数的求值与性质讨论，往往需要恰当地赋值，此时要明抽象函数的求值与性质讨论，往往需要恰当地赋值，此时要明确利用哪些式子说明问题，如本例中判断函数奇偶性，看确利用哪些式子说明问题，如本例中判断函数奇偶性，看f(-x)f(-x)与与f(x)f(x)的关系，关键是出现的关系，关键是出现f(-x)f(-x)与与f(x)f(x)之后，不要出现多余之后，不要出现多余变量变量. .2.2.抽象函数不等式的解法抽象函数不等式的解法求解抽象函数不等式，主要是利用函数的单调性，把函数符号求解抽象函数不等式，主要是利用函数的单调性，把函数符号去掉，转化为自变量的不等式，如本例中利用去掉，转化为自变量的不等式，如本例中利用(0,+)(0,+)上的增上的增函数，把函数，把f(|-6(3x+1)|)f(64)f(|-6(3x+1)|)f(64)转化为转化为|-6(3x+1)|64.|-6(3x+1)|64.3.3.偶函数的一个重要性质偶函数的一个重要性质根据偶函数的定义，可得根据偶函数的定义，可得f(x)=f(|x|)f(x)=f(|x|)，从而把自变量都集中，从而把自变量都集中在区间在区间(0(0，+)+)上，应用单调性时，就可以避免分自变量在不上，应用单调性时，就可以避免分自变量在不同区间内的烦琐讨论，把同区间内的烦琐讨论，把f(-6(3x+1)f(-6(3x+1)写成写成f(|-6(3x+1)|)f(|-6(3x+1)|)避免避免对对-6(3x+1)-6(3x+1)的符号讨论的符号讨论. .【类题试解类题试解】已知函数已知函数y=f(x)y=f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数上的奇函数, ,且当且当x0 x0时时,f(x)=-x,f(x)=-x2 2+ax.+ax.(1)(1)当当a=-2a=-2时时, ,求函数求函数f(x)f(x)的解析式的解析式. .(2)(2)若函数若函数f(x)f(x)为单调减函数为单调减函数, ,直接写出直接写出a a的范围的范围( (不必证明不必证明););若对任意实数若对任意实数m,f(m-1)+f(mm,f(m-1)+f(m2 2+t)0+t)0恒成立恒成立, ,求实数求实数t t的取值范的取值范围围. .【解析解析】(1)(1)当当x0 x0,-x0,又因为又因为f(x)f(x)为奇函数，所以为奇函数，所以f(x)=f(x)=-f(-x)=x-f(-x)=x2 2-2x,-2x,所以所以 (2)(2)当当a0a0时，对称轴时，对称轴 所以所以f(x)=-xf(x)=-x2 2+ax+ax在在0,+)0,+)上是减少的上是减少的, ,由于奇函数关于原点对称的区间上单调性相同，所以由于奇函数关于原点对称的区间上单调性相同，所以f(x)f(x)在在(-,0)(-,0)上是减少的上是减少的. . 22x2x,x0,f xx2x,x0.ax0,2又在又在(-,0)(-,0)上上f(x)0,f(x)0,在在(0,+)(0,+)上上f(x)0,f(x)0a0时，时，f(x)f(x)在在 上是增加的，上是增加的，在在 上是减少的，不合题意上是减少的，不合题意. .所以函数所以函数f(x)f(x)为单调减函数为单调减函数时，时，a a的范围为的范围为a0.a0.因为因为f(m-1)+f(mf(m-1)+f(m2 2+t)0,+t)0,所以所以f(m-1)-f(mf(m-1)-f(m2 2+t).+t).又因为又因为f(x)f(x)是奇函数，所以是奇函数，所以f(m-1)f(-t-mf(m-1)-t-mm-1-t-m2 2恒成立恒成立, ,所以所以t-mt-m2 2-m+1= -m+1= 恒成立恒成立, ,所以所以a(0)2，a( ,)2215(m)245t.4
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