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掌握两直线平行与垂直的条件、点到直线的距离公式、中心对称和轴对称的概念，能根据直线的方程判断两直线的位置关系，会求两相交直线的交点坐标和两平行直线间的距离，能把握对称的实质，并能应用对称性解题1212121201()11.2122.2allA AB Bakak 由，若两直解方法 ：方法 ：析：求得线垂直且斜率存在，则，即，得1221020 12A1 B. C. D. 2331.laxylxya 如果直线 ：与直线 ：互相垂直，那么 的值等于-1,0220 A210 B210C 220 D2102.(2010)xyxyxyxyxy 过点且与直线平行的直线方程是安徽卷11,02112210.xyyx过点且斜率为 的直线方程即为，解析： 22lgsinlgsinlgsinsinsinsinsin A3.(2010)BCDABCABCabcABCxAyAaxByCc不等边的三个浙江台内角， ， 所对的边分别为 ， ， ，且，成等差数列，则直线与直线的位置关系是平行 垂直重合 相州模拟交但不垂直22lgsinlgsinlgsinsinsinsinC22.ABCBACsin Asin AsinAasin BsinA sinCsinCc因为，成等差数列，所以由正弦定理可知，故两直线位置关系是重合解 ，析：故选120.(1,1)210323200.xxyAxyyAyxx 由已知及对称几何性质可设所求直线的方程为又由得点又点 在直线上，从而，故对称的直线方程为解析： 2101 .4.xyx 直线关于直线对称的直线方程是002200()0() . .5xyaxbyabxayb 已知点，在直线， 为常数上，则的最小值为220000002222222200.()()()0()0 xaybxyabxyaxbyxaybabaabaxbybab 可看作点，与点 ， 的距离，而点，在直线上，所以的最小值为点 ，到直线的距离，为解析： 1111112222221212211212211212122112121200.1/_0(0)2_.30.14lyk xbA xB yClyk xbA xB yCllbbA CACBCB CllllABA Bllkkbb平面内的两条直线的位置若直线 ：或；直线 ：或且或且或或与 相交与 重合且关系12211221122100(0)ABA BACA CBCB C或且或 000000112212()010.20.3_.00_ .2_P xylAxByCAxByCAxByCdlAxByClAxByClld设点，直线 ：，则点在直线上：点在直线外：点到直线的距离特别地，若 ：，：，则 与 间的距点与直线的位置关系离 000,000000001()()2200()()2()3(P xyM abPMPPPaxbyabP xyPxyP xylykxbP xyPPlPPl 中心对称：求，关于点，对称的点 的基本方法是转化为是线段的中点求，即特例：当，时，关于原点的对称点为，轴对称：求已知点，关于已知直线 ：的对称点， 的基本方法是转化为求方程组的解，即由线段的中心对称与轴对中点p称 . 12567010( ) ()()()( ) ()_.() ()()()() ()kbP xyxyP xyPxyP xyyxyxP xyyxbyxbP ybxbPybxbP xyxaybP 特例：当， 或时，分别有以下规律：，关于 轴、 轴对称的点分别为， ，关于直线，对称的点分别为，关于直线，对称的点分别为，关于直线，对称的点分别为8(2),21,0axyP xbyk ， ，注意：当时，不具有上述规律 1(24)0CF xyfCCCfCCC曲线 ：，经过上述规律进行变换 ，得曲线 ，则为 关于 对称的曲线若 的方程与 的方程相同，则证明曲线自身具有对称变换对称性()0()0()0()0()0()0()0()0()(2)0CF xyxyCF xyFxyFxyyxyxyxbyxbCF yxFyxF ybxbFybxbxaybM abCFaxyF 特例：曲线 ：，关于 轴、 轴、原点对称的曲线的方程分别为，；关于直线，对称的曲线的方程分别是，；关于直线，点，对称的曲线的方程分别为，,202,20.xbyFaxby，1212211212120120003401|00|022|12222()()kkABA Bk kAxByCA AB BAByyCCkxxAByyxxkbP yxPyx ；【要点指南、，】， 121211240101( 31)2/1.laxbylaxybablllll已知两条直线 ：和 ：，求满足下列条件的 、 的值，且 过点， ；，且坐标原点到这两条直线例的距离相等题型一题型一 两条直线的位置关系两条直线的位置关系 22212111221221121211.0101.0.( 31)3403410()0.110111.(lkakaalllkblabbakkkkakakllbakkabl 由已知可得 的斜率必存在，所以若，则，因为，直线 的斜率 必不存在，即又因为 过点， ，所以，即不合题意 ，所以此种情况不存在，即若，即 、 都存在因为，所以，即又因为解：过点析31)340.22.baab， ，所以由解得，联立， 2121121212/1/22432222222.3lllalkkabllllyaabbbbab 因为 的斜率存在，所以直线的斜率存在，所以，即又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，且，所以 、 在 轴上的截距互为相反数，即，则联立解得或，所以 、解析：和或分别为和的值 0 ykxbAxByCAB在运用直线的斜截式时，要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况运用直线的一般式时，要特别注意 、 为零时的特殊情况另外求解与两直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两直线平行或垂直的充要条件；若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法评析：去研究 1212121802101/l211.lmxynlxmymnlllly 已知两直线 ：和：，试确定 、 的值，使：；且 在 轴上的截距为素材 ： 11122218 2044242/ .081.4481022280101882.mm mmmmn mnnmmmllnnnmnllmnllly 解析： 即，时，或，时，由，得由，得或，当且仅当，即时，又即，时，且 在 轴上以的截距为，所， 22.122PPlPl已知点，-1求过点 且与原点距离为的直线 的方程；求过点 且与原点距离最大的直线 的方程，最大例距离是多少？题型二题型二 有关距离问题有关距离问题设出直线方程，利用点到直线的距离公式求出系分析： 数即可 2.12210| 21|324123412003.11400.lklxlklyk xkxykkkkyl xyxlx 当 的斜率 不存在时显然成立，此时 的方程为当 的斜率 存在时，设 ：，即，由点到直线的距离公式得，解得，所以 ：故所求 的方程解析： 为或 112.122250250| 5|.525lOPlOPPOPPOlOPk kkklyxxyxyPO 数形结合可得，过点 且与原点距离最大的直线是过点 且与垂直的直线由，得，所以由直线方程的点斜式得直线 的方程为，即，即直线是过点 且与原点 距离最大的直线，最大距离为解析： 000000000000 1.21()2()3()4().P xyxdyP xyydxP xyxyadyaP xyyxbdxb点到直线的距离公式和两平行直线间的距离公式是常用的公式，应熟练掌握点到几种特殊直线的距离：点，到 轴的距离；点，到 轴的距离；点，到与 轴平行的直线的距离；点，到与 轴平行的直线的离：距评析302.032xyPxy在直线上求一点 ，使它到原素点的距离与到直线材的距离相等222( 3)| 332|313 1()()555 5135132PtttttttP 设点 的坐标为， ，则，解析： ，或解得，所以点 的为，坐标 123 240203.3450lxylxyPlxyl求经过两直线 ：和：的交点 ，且与直线：垂直的直线例的方程题型三题型三 两直线的交点问题两直线的交点问题 l求 的方程：思路一：求交点，定斜率，用点斜式求解思路二：利用直线系方分析：程求解3123240020240,234232420(1)(2)420.3(1)4 (2)01 4360. 121lxxyxxyyPllklyxllllxyl xyl xlylllllly 由方程组，解得，即因为，所以，所以直线 的方程为，因为直线 过直线 和 的交点，所以可设直线 的方方法 ：方法 ：解析：即程为，即因为 与 垂直，所以，所以，1291460.830lxxyy所以直线为即的方程， 111122221211122221200 0()lA xB yClA xB yCllA xB yCl A xB yCll求与已知两直线的交点有关的问题，可有以下两种解法：先求出两直线的交点，将问题转化为过定点的直线，然后再依其他条件求解运用过两直线交点的直线系方程：若两直线 ：， ：有交点，则过 与 交点的直线系方程为为待定常数，不包括直线，设出方程后再利用其他评析：条件求解3.l本例中，若把条件中的“垂直”改为“平行”，素材求直线 的方程330,23/43242420(1)(2)420.123480.3422/.34574280.1lPl lklyxlxyl xyl xlyll llxyxy 先求出交点为，又，所以，故直线 的方程为，设直线 的方程为，即因为，所以，解得所解析：即方法 ：方法 ：程为以 的方12 2402.04lxylxyl求直线 ：关于直线：例对称的直线 的方程题型四题型四 对称问题对称问题12402012 8()3 3 xyxyllA解方程组，得直线 与直线 的交点，法： 方解析：1222,0()2202222,44 122 8()2,43 342824623320.lBBlC xyxyxCyyxlACyxlxy 在直线 上取一点，设点 关于直线 对称的点为， ，则，解得，即又直线 过， 和两点，故由两点式得直解析：即线 的方程为， 0010000000000001200()()().222022221()24022240 2 .M xyllN xyMNxxyyyyMNxxxxyyxyyyyxlxxM xylxyyx 设，是直线 上任意一点，它关于直线 的对称点为， ，则线段的中点坐标为，直线的斜率为由题意，得，解得因为，是直线 上任意一方解析：所以点，所以法 ：直线，即的260.xy方程为1212122112 1()2llllllBllCllllAlBllMN由平面几何知识知，若直线 、 关于直线对称，则有如下性质：若直线 与直线 相交，则交点在直线 上；若 在直线 上，则其关于直线 的对称点 在直线 上本题方法 就是利用上述两条性质，找出确定直线 的两个点 直线 与直线 的交点 和直线 上的特殊点 关于直线 的对称点，由两点式得到直线 的方程；方法 则是用运动的观点，直接求轨迹方程把握两点：线段的评析：中点在直llMN线 上，直线 与直线垂直2310( 1.24)lxyAl 求直线 ：关于点素，材对称的直线 的方程2222/230(1)( 12)| 26| 26 1|922393.230l llxyCCAllCxyCl 因为，所以可设 的方程为，因为点，到两直线 ， 的距离相等，所以，得，所以 的方程为解析： 点线对称是直线的方程中很经典的一个问题它还包括点关于点的对称和线关于线的对称等，而轴对称性质和中点坐标公式是解决这类问题的主评析：要途径 1112233123102000()2 3 4.120300nnnnnnnnlxyCClxyClxyClxyCCCCCnnCxyCxyxyCxyCxy已知 条直线， ：， ：， ：， ，：其中，这条平行直线中，每相邻两条直线之间的距离顺次为 、 、 、求；求与 轴、 轴围成的图形的面积；求与及 轴、 轴围成图形备选例题的面积 22122*2221.21()411121222011141222nnnnnnnOMNnnOlOln nOldnCdlxyCxMyNnnMNSOMOn nCnnSnNC N原点 到 的距离为，原点 到 的距离为， ，原点 到 的距离为，因为，所以设直线 ：交 轴于，交 轴于 ，则的面积，所以解析：12221|2CCdABxy判断两直线平行或垂直时，不要忘记两条直线中有一条或两条直线均无斜率的情形另外，两直线斜率相等，包括平行或重合两种情况，应注意区分在运用公式求两平行直线间的距离时，一定两直线平行与垂要把 ， 项直的判定两平行线间的距相应系数化成离相等的系数 11112222121112221221220000100.0()/2()3/lA xB yClA xB yCllA xB yCA xB yCllllllxyyyk xx直线系是具有某一共同性质的直线的全体，巧妙地使用直线系，可以减少运算量，简化运算过程设 ：， ：若与 相交，则方程表示过 与 交直线系问点的直线系 不包括；若，则上述形式的方程表示与 平行的直线系过定点，的旋转直线系方程为题000()()()kxxkyk xb bRR不包括直线，斜率为 的平行直线系方程为 14().2()1.xxyy关于对称问题，有如下规律：中心对称 关于某个点对称解题方法：中点坐标公式特殊地，关于原点对称，是以代换 ，以代换轴对称 关于某直线对称斜率之积等于解题方法：中点在对称轴对称问题上关于2030axyxay讨论直线与的位置关系1212111.kakakkaa 因为两直线的斜率分别是，所以，所以两直错： 线垂直解0a上述解题过程中忽略了对实数 是否为错解分析：的讨论12023101ayxakkaa 若，则两直线方程分别为或，显然两直线垂直若，由，则正解：综上所知，两两直线垂直直线垂直
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