用矩形板材加工圆盘的不同方法数学建模考试小论文大学开放性作业

生产中的数学用矩形板材加工圆盘的不同方法作者 05级班级 学号 目 录目 录2摘要3一、引言3二、模型3（一）问题的化简和假设3（二）模型的建立3三、分析4（一）方案一4（二）方案二5（三）比较方案一与方案二6（四）方案三7四、结论8（一）方案一的初等数学模型结论8（二）方案二的初等数学模型结论8（三）方案三的初等数学模型结论8五、进一步的探讨9六、参考文献9摘要本文将从如何利用不同形状的原材料加工出尽可能多的圆盘的分析出发，研究怎样合理的利用原材料才能既满足人们的要求，又能尽可能的节约能源。经调查，矩形板材是现在市场上供应最普遍的原材料。若用矩形板材作原材料，首先考虑圆盘中心按正方形排列从矩形板材上切割加工圆盘的方案，然后再考虑圆盘中心按六角形排列从矩形板材上切割加工圆盘的方案，最后再考虑将两种方案混合使用从矩形板材上切割加工圆盘，比较在不同的情况下三种方案哪种更节约。 关键词：加工圆盘的最优方法，初等数学模型，圆盘，矩形板材一、引言数学作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和人们生活的实际需要密切相关的。作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学建模同样有着广泛的应用。如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、确定性模型就能达到建模目的时，我们基本上可以用初等数学方法来构造和求解模型。用很简单的数学方法已经可以解决一些饶有兴趣的实际问题。衡量一个模型的优劣全在于它的应用效果，而不是采用了多么高深的数学方法。进一步说，如果对于某个实际问题我们用初等的方法和所谓高等的方法建立了两个模型，它们的应用效果相差无几，那么受到人们欢迎并采用的，一定是前者而不是后者。我在现实生活中发现许多物品的构成元素中都有圆盘，于是我想到了怎样才能用最少的原材料用加工出最多的圆盘，以适应当今提倡的节约型社会的需要，达到物尽其用。二、模型（一）问题的化简和假设经调查，矩形板材是现在市场上供应最普遍的原材料，所以这个问题可简化为：用已知尺寸的矩形加工半径一定的圆盘，为了使问题更易解，设圆盘半径单位为1。（二）模型的建立于是可以建立初等数学模型。模型可归纳为一道我们中学时就会解的数学题目，即“如何在一个矩形上画出更多半径相等的圆?”。我们可以利用几何学知识结合函数知识来解这道题。为了能在一个矩形上画出更多半径相等的圆，我首先想到的是圆盘之间及圆盘与板材之间均可相切。我想到了以下的三种方案：方案一：圆盘中心按正方形排列从矩形板材上切割加工圆盘。方案二：圆盘中心按六角形排列从矩形板材上切割加工圆盘。方案三：将两种方案混合使用从矩形板材上切割加工圆盘。建立这个初等数学模型的目的是比较在不同的情况下这三种方案哪种更节约。这个初等数学模型的主要数学符号说明如下： 1、 矩形板材长为a ，宽为b ，取整后长为a，宽为b 。2、 圆盘的行数为m 。3、 方案一的圆盘的总数为N1 。4、 方案二的圆盘的总数为N2 。5、 方案三的圆盘的总数为N3 。三、分析（一）方案一圆盘中心按正方形排列，像图1那样排列，设圆盘的半径为1， 按图1所示计算圆盘的个数。ba图1图1中a=6.03，b=3.58，计算出圆盘总数N1= 12.7/26.33/218，12.7/2和6.33/2的计算结果都取整数。计算结果符合图1所示。（二）方案二圆盘中心按六角形排列，像图2、图3、图4那样排列，设圆盘半径为1。（1）当圆盘第一行为奇数时，按图2计算。ba图2a=11.11，b=6.33，a取整数11后为奇数，计算出圆盘的行数m=（6.33-2）/+13.49，m取整数3圆盘总数N2=3（11-1）/2=15计算结果符合图2所示。（2）当圆盘第一行为偶数时，还要分两种情况考虑。当圆盘的行数为奇数时，圆盘像图3 那样排列，按图3计算。ba图3图3中a=12.7，b=6.33，a取整数12后为偶数圆盘行数m= （6.33-2）/+13.49，m取整数3圆盘总数N2= 3（12-1）/2+1/2=17计算结果符合图3所示。当圆盘的行数为偶数时，圆盘像图4那样排列，按图4计算。ba图4图4中a=12.7，b=7.7，a取整数12后为偶数圆盘行数m= （7.7-2）/+14.29，m取整数4圆盘总数N2=4（12-1）/2=22计算结果符合图4所示。（三）比较方案一与方案二比较不同尺寸的矩形板材用方案一和方案二加工出的圆盘的个数。计算结果如表1所示：表1 ba35810142042/24/48/710/914/1320/1973/36/612/1115/1421/2030/29105/510/1020/1825/2335/3350/48157/814/1628/2835/3649/5270/762010/1120/2240/3950/5070/72100/105注：方案一/方案二在实际情况中，可像上表一样计算出结果，选用不同的用矩形板材切割圆盘的方案。但当矩形的长和宽相等时，这两种方案都不够合理，于是我想到了第三种方案，即把方案一和方案二相结合。（四）方案三当矩形的长和宽相等时，将方案一和方案二混合使用从矩形板材上切割加工圆盘。若a=b=20，可采用圆盘中心3行正方形加8行六角形的方法，如图5所示（图5：实际图形=1：2）。按图5计算。ba图5图5中a=b=20前三行的圆盘总数为：N3= 20/26/2=30后九行的圆盘行数为：m= （16-2）/+19.08,取整后为9后九行的圆盘总数为N3= 9（20-1）/2+1/2=86圆盘总数为N 3=N3+N3-10=30+86-10=106四、结论（一）方案一的初等数学模型结论圆盘中心按正方形排列，由于本模型已经设圆盘的半径为1，所以圆盘总数为：N=a/2b/2 ,a/2和b/2的计算结果都取整数（二）方案二的初等数学模型结论圆盘中心按六角形排列，由于本模型已经设圆盘的半径为1，行数m满足2+(m-1)b，于是m=+1。列数以图中第一行计数，a取整数。（1）若第一行a为奇数，则各行圆盘数相同为（a-1）/2，圆盘总数N2=m（a-1）/2（2）若第一行a为偶数，则奇数行原盘数为a/2，偶数行圆盘数为a/2-1。m为偶数时，圆盘总数N2=（a/2）(m/2)+(a/2-1)(m/2)= m（a-1）/2m为奇数时，圆盘总数为N2= m(a-1)/2+1/2 综上所述，圆盘总数N2=m(a-1)/2 m为偶数，第一行a为奇数或偶数m(a-1)/2+1/2 m为奇数，第一行a为偶数(（三）方案三的初等数学模型结论设矩形板材的长和宽都为a，则用圆盘中心按正方形方法排列的宽度b=(3/10)a ，b取整数则用圆盘中心按正方形方法排列的圆盘总数N3=a/2b/2= a/2(3/10)a/2按正方形排列的圆盘的最后一行加上按六角形排列的圆盘的行数的和m=+1=+1 ，m取整数当a取整数后为偶数时按正方形排列的圆盘的最后一行加上按六角形排列的圆盘的总数为N3 = m(a-1)/2+1/2=+1(a-1)/2+1/2当a取整数后为奇数时按正方形排列的圆盘的最后一行加上按六角形排列的圆盘的总数为N3 = m(a-1)/2=+1(a-1)/2综上所述，（1）当a取整后为奇数时圆盘总数为N 3=N3+N3-a= a/2(3/10)a/2+ +1(a-1)/2-a（2）当a取整后为偶数时当a取整后为奇数时圆盘总数为N 3=N3+N3-a= a/2(3/10)a/2+ +1(a-1)/2+1/2-a具体选用那种方案，可根据矩形的长和宽分别计算出方案一、方案二、方案三的结果而定。五、进一步的探讨利用这个模型可以用一块矩形板材裁剪出更多的圆盘，做到最少的浪费原材料。大到工业生产，小到家庭装璜，都可以结合实际情况利用这个模型规化采购原材料。我们还可以用这个模型举一反三，考虑如何利用矩形板材加工出尽可能多的裁剪出其它生产生活需要的物品，比如各种外包装的纸盒，切割磁砖等。六、参考文献1姜启源、谢金星、叶俊 ，数学模型（第三版），高等教育出版社，北京，2003.2姜启源、谢金星、叶俊 ，数学模型（第三版）习题参考解答，高等教育出版社，北京，2003.9 / 9文档可自由编辑打印