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期末复习专题三：全等三角形与轴对称全等三角形1. 全等三角形的概念及性质；2. 三角形全等的判定；3. 角平分线的性质及判定。知识点一：证明三角形全等的思路通过对问题的分析，将解决的问题归结到证明某两个三角形的全等后，采用哪个全等判定定理加以证明，可以按下图思路进行分析：切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。例1. 如图，四点共线，。求证：。知识点二：构造全等三角形例2. 如图，在中，是ABC的平分线，垂足为。求证：。例3. 如图，在中，。为延长线上一点，点在上，连接和。求证：。知识点三：常见辅助线的作法1. 连接四边形的对角线例4. 如图，/，/，求证：。2. 作垂线，利用角平分线的知识例5. 如图，分别是外角和的平分线，它们交于点。求证：为的平分线。例6. 如图，是的边上的点，且，是的中线。求证：。解答过程：延长至点，使，连接在与中(SAS)，又，在与中(SAS)又。4. “截长补短”构造全等三角形例7. 如图，在中，为上任意一点。求证：。解答过程：法一：在上截取，连接在与中(SAS)在中，即ABACPBPC。法二：延长至，使，连接在与中(SAS)在中， 。5.怎样的两个图形才成轴对称呢？什么样的图形是轴对称图形呢？探索一：下列哪些图形是轴对称图形？它们的对称轴在哪里？探索二：下图是轴对称图形，但是其对称轴另一侧的部分被遮挡住了，该怎样将它补充完整呢？探索三：如图，存在一个三角形与已知三角形关于已知直线对称，该怎样画出这个三角形呢？轴对称及作轴对称图形点击一: 什么是轴对称？什么是轴对称图形？它们之间有什么区别？有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点两个图形关于直线对称也叫做轴对称如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴轴对称是两个图形之间的关系，轴对称图形是一个图形具有的特征.毛点击二: 图形的轴对称有哪些性质？图形的轴对称主要有下列两条性质：如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称点击三：线段的垂直平分线有什么性质？线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合点击四：对称变换性质及坐标对称规律轴对称变换的性质：（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称 点。（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，y）；点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（x，y）；点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（x，y）点P（x，y）关于直线x=m对称的点的坐标是（2mx，y）；点P（x，y）关于直线y=n对称的点的坐标是（x，2ny）类型之一:例1：如图，已知：ABC，直线MN，求作A1B1C1，使A1B1C1与ABC关于MN对称 类型之二:例2： 如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC、BD，且ACBD，若A到河岸CD的中点的距离为500cm问：（1）牧童从A处牧牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？（2）最短路程是多少？ 类型之三:例3：在锐角AOB内有一定点P，试在OA、OB上确定两点C、D，使PCD的周长最短 练习：1、如图，已知：点D是ABC的边BC上一动点，且AB=AC，DA=DE，BAC=ADE=.如图1，当=60时，BCE= ；（图1） （图2） （图3）如图2，当=90时，试判断BCE的度数是否发生改变，若变化，请指出其变化范围；若不变化，请求出其值，并给出证明；如图3，当=120时，则BCE= ；2、在平面直角坐标系中，直线与轴交于A，与轴交于B，BCAB交轴于C.求ABC的面积.D为OA延长线上一动点，以BD为直角边做等腰直角三角形BDE，连结EA.求直线EA的解析式.点E是y轴正半轴上一点，且OAE=30，OF平分OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段AO上一动点，是判断是否存在这样的点M、N，使得OM+NM的值最小，若存在，请写出其最小值，并加以说明.3. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线与直线关于x轴对称，已知直线的解析式为，（1）求直线的解析式；（3分）（2）过A点在ABC的外部作一条直线，过点B作BE于E,过点C作CF于F分别，请画出图形并求证：BECFEF （3）ABC沿y轴向下平移，AB边交x轴于点P，过P点的直线与AC边的延长线相交于点Q，与y轴相交与点M，且BPCQ，在ABC平移的过程中，OM为定值；MC为定值。在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值。（6分）4. （本题12分）如图，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点.OA、OB的长度分别为a和b，且满足.判断AOB的形状.如图，正比例函数的图象与直线AB交于点Q，过A、B两点分别作AMOQ于M，BNOQ于N，若AM=9，BN=4，求MN的长.如图，E为AB上一动点，以AE为斜边作等腰直角ADE，P为BE的中点，连结PD、PO，试问：线段PD、PO是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明.1、如图，已知：点D是ABC的边BC上一动点，且AB=AC，DA=DE，BAC=ADE=.如图1，当=60时，BCE=120；如图2，当=90时，试判断BCE的度数是否发生改变，若变化，请指出其变化范围；若不变化，请求出其值，并给出证明；证明：如图，过D作DFBC，交CA或延长线于F.易证：DCEDAF，得BCE=DFA=45或135. 如图3，当=120时，则BCE=30或150；2、求ABC的面积=36；D为OA延长线上一动点，以BD为直角边做等腰直角三角形BDE，连结EA.求解：过E作EF轴于F，延长EA交轴于H.易证：OBDFDE；得：DF=BO=AO，EF=OD；AF=EF，EAF=45，AOH为等腰直角三角形.OA=OH，H（0，-6）直线EA的解析式为：；解：在线段OA上任取一点N，易知使OM+NM的值最小的是点O到点N关于直线AF对称点N之间线段的长.当点N运动时，ON最短为点O到直线AE的距离，即点O到直线AE的垂线段的长. OAE=30，OA=6，所以OM+NM的值为3.3. （1）A（3，0） B（0，3） C（0，3）2分3分（2）画图4分答：5分易证BEAAFC6分BEAF ，EAFC，BECFAFEAEF7分（3）对，OM38分 过Q点作QHy轴于H，则QCHPBO9分 QHPOOB=CH QHMPOM10分 HMOM OM=BC-(OB+CM)=BC-(CH+CM)=BC-OM OMBC312分4. 解：等腰直角三角形 1分 AOB=90 AOB为等腰直角三角形 4分MOA+MAO=90,MOA+MOB=90 MAO=MOBAMOQ，BNOQ AMO=BNO=90在MAO和BON中MAONOBOM=BN,AM=ON,OM=BNMN=ON-OM=AM-BN=5 8分 PO=PD且POPD 如图，延长DP到点C，使DP=PC,连结OP、OD、OC、BC在DEP和CBPDEPCBP CB=DE=DA,DEP=CBP=135在OAD和OBC OADOBCOD=OC,AOD=COBDOC为等腰直角三角形PO=PD，且POPD. 12分10
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