关于初中生数学解题错误的分析的论文

关于中学生数学解题错误的分析 长港中学 谢风梅摘要 数学的中心问题是问题和解美国著名当代数学家和教育家G波利亚认为：“中学数学教学的首要任务就是加强解题的训练”.初中数学知识对学生的要求大幅提高，而学生个体之间在智力发展与学习方法上存在差异，故学生在解题过程中，难免会出现这样或那样的错误因此，我们对错误进行系统的分析是非常有必要的：首先，教师可以通过错误来发现学生的不足，从而采取相应的补救措施；其次，错误从一个特定的角度揭示了学生掌握知识的过程出现的问题；最后，错误对学生来说也是不可或缺的，是学生在学习过程中对所学知识不断尝试的暂时性结果关键词 学生；数学解题；错误 美国著名当代数学家和教育家G波利亚指出：“掌握数学意味着什么？这就是说善于解题，不仅善于解一些标准的题，而且善于解一些要求独立思考，思路合理，见解独到和有发现创造的题” 波利亚把“解题”作为培养学生的数学才能和教会他们思考的一种手段和途径.我国广大数学工作者也逐步认识到, 应将解题教学置于数学教学的中心地位，认为这是由数学教学的目的及解题本身的意义所决定.一、对待初中学生解题错误的态度 在初中数学教学中，教师害怕学生出现解题错误，对错误采取严厉禁止的态度是司空见惯的在这种惧怕心理支配下，教师只注重教给学生正确的结论，而不注重揭示知识形成的过程，害怕启发学生进行讨论会得出错误的结论,长此以往，学生只接受了正确的知识，但对错误的出现缺乏心理准备，看不出错误或看出错误.笔者在复习三角形“三线”（高线、角平分线、中线）这个知识点时曾发现，很多学生都认为这个知识点太简单，“三角形的三条高、三条角平分线以及三条中线分别相交于同一点”，“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合”早就滚瓜烂熟了，但是解题时还是出错了.例题： 已知：等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角等于_度. 错解：CDAB, CD=AC, =30 图 1分析：错误的原因就是学生没有认真理解“三线”这个知识点，他们认为三角形的“三线”都在三角形内部，所以由于思维定势，很快画出草图，“三线”这个知识点的重点，就是要注意到高线与角平分线以及中线不同之处在于：高线可能都在三角形内部（锐角三角形）也可能有两条在三角形外部（钝角三角形）还有可能有两条就是三角形的边（直角三角形）故正确的解为：解（1）当ABC是锐角三角形时， CDAB, CD=AC, =30（2）当ABC是钝角三角形时， 图 2CDAB, CD=AC , DAC=30, BAC=150, 图2顶角等于30或150 如果我们对“三线”这个知识点进一步理解，就会发现三角形的内心（即角平分线的交点）肯定在三角形内部，而三条高线所在直线的交点可能在三角形内部，也可能在外部或其中一个顶点上，进而我们又可以发现三角形的外心（即三边垂直平分线的交点）也有三种可能因此，揭示错误是为了最后消灭错误，我们所说的承受与宽容也是相对于这一过程而言的.1.学生要正视自己的解题错误 学生要正视自己解题的错误，我们在教学中，也总是会发现学生对待自身有问题出现时采取的态度不够科学有学生在解题时害怕出现错误，出现了错误时显得束手无策或又怨天由人，不闻不问这都是对待解题错误的消极方法这样会造成自己在做题时畏手畏脚，放不开自己的思路，故在做题时思维不能展开，做一个题是一个死题，不能灵活运用，不会举一反三，根本上不能理解题目的要求和目的，最终只为做一个题而做题科学的方法是从错误本身找出原因，或是依据公理、定理、定义找出错误的缘由，并克服它，记住它，从而又掌握了公理、定理等，还学会一种类型题目的做法，并使自己下一次做题时不再出现类似的错误其实，当出现了问题时，学生还应该知道，作为学生，在学习的阶段出现或多或少的错误，这是再正常不过的事情了，不要因此自卑，也不要害怕，要反复的寻找错误的原困可以通过询问老师、同学来获得帮助，学生不能学南郭先生，要有“打破沙锅问到底”的精神 事实上，错误是正确的先导，成功的开始有道是失败是成功之母学生所犯错误及其对错误的认识，是学生获得和巩固知识的重要途径. 2.教师要正视学生解题的错误在初中数学教学中，教师害怕学生出现解题错误，对错误采取严厉禁止的态度是司空见惯的在这种惧怕心理支配下，教师只注重教给学生正确的结论，忽视揭示知识形成的过程，害怕因启发学生进行讨论会得出错误的结论长此以往，学生虽片面接受了正确的知识，但对错误的出现缺乏心理准备，看不出错误或看出错误但改不对，甚而弄不清错误的缘由持这种态度的教师只关心学生用对知识而忽视学生会用知识因此，揭示错误是为了尽量减少错误，我们所说的承受与宽容也是相对于这一过程而言的在教学中给学生展示的这一尝试、修正的过程，是与学生独立解题的过程相吻合的从而学生在教师教学过程中学到的不仅仅是正确的结论，而且领略了探索、尝试的过程，这对学生知识的完善和能力的提高会产生有益的影响，使学生学会分析，自己发现错误，改正错误教师只有具备这样的承受心理与宽容态度，才会耐心寻找学生解题错误的原因，并做出适当的处理.二、初中学生解题错误的原因 学生顺利正确地完成解题，表明其在分析问题，提取、运用相应知识的环节上没有受到干扰或者说克服了干扰在上述环节上不能排除干扰，就会出现解题错误我认为中学生解题的错误来源于以下几个方面：1.对概念或基本的数学事实缺乏准确理解例如: m为非负数，试判断方程 4mx-4mx+m-3= 0的根的情况解： m为非负数， m0 而=(-4m)-4*4m(m-3)=48m0原方程有两个不相等的实数根这里，学生把“非负数”理解为“正数”这是常见的错误而当m=0时，方程变为-3=0，无实数根，这点应补充说明诸如一些学生把“不大于”理解为“小于”，把两线“不平行”理解为两线“相交”，把“点不在圆内”理解为“点在圆外”等等2.忽视定理、公式、法则成立的条件例如：已知 =k ,求 k 的值解：由条件，运用等比性质得：=k k=2这里在运用等比性质时，忽视了x+y+z0条件，而产生漏解错误事实上，x+y+z=0时，k=-13.忽视隐含条件例如：sin取何值时，一元二次方程(3sin)x-4cosx+2=0有两实根?解：=(-4cos)-4*(3sin)*2=8(2cos-3sin)=-8(2sin+3sin-2)0时，原方程有两实数根，有 -2sin 学生在解答时忽视了隐含条件sin-1和sin0，所以正确答案变为 -1sin0 或 0sin 4.不良解题习惯的影响例如：若5m和7m是同类项，求 x 解：根据同类项的意义，有3x-1=x-3, 解得x=-1学生往往解到此了事，认为答案已求出实际上应该反思一下，答案是否符合题意应进行检验事实上，当x=-1时，则3x-1=x-3= -4，这样5m与7m显然与同类项的定义不符，5m和7m不是整式因此就不能有同类项的说法可见，有时在求得答案后对其结论进行检验是必不可少的.5.知识学习和掌握环节上出现的错误如在学习概念时，学生没有正确理解概念，不能把握准概念，不能灵活运用概念，没有理解概念的内涵和外延概念的内涵，对于概念的内涵，为突出本质属性，需作逐字逐句的深入浅出的分析，要突出关键词在本质属性中的地位对于外延，必须将它的每一项都了解到，又必须强调这其中的每一项都是等地位的学习要有阶段性，不要急于求成，不然会事倍功半，如在学习“绝对值”这个概念时，只要求掌握正数，负数，零的绝对值是什么，就可以了，不要急于提高深化，设计做如下的练习：“字母a(a0)的绝对值是多少？”这个问题要等到对绝对值概念完全掌握了后方可着手来试探着来做.又如在掌握环节上，在七年级数学下册3的因式分解中我们有两个公式：（1）a2-b2=(a+b)(a-b)是平方差公式，（2）a2-2ab+b2=(a-b)2是完全平方公式在这两个公式的讲授过程当中，我深有体会，有的学生把平方差当成完全平方，把完全平方当成平方差，没有真正掌握，相互混为一体，如在对3x2-3y2分解因式时，写成的3x2-3y2=3(x+y)2的不在少数并且是有的同学在纠正了错误后仍然是再次出错，而错误的根源是没有真正掌握公式概念在以后的做题过程中反复出现，不断的犯错所以首先我们应该注重知识的学习和掌握过程，这是知识留在我们脑海里的“第一印象”.6.在解题过程中，观察、分析问题时出现了误差在解题时，我们有的学生往往由于观察不够仔细或是对题意理解不够透彻，又或是受定势思维的影响，往往在做题时出现了本来不应该出现的错误如：在做14-14517，有同学先做减法再做乘法，这就是不够仔细观察的原因了又如在绝对值这一节中，对-a认定它一定是负值的学生有不少，而没有观察它的取值范围进而对a=-a(a0)不理解于是影响一系列这种类型的题的准确性，如化简当x0,y0时，化简：-2x+3y-x+-5y=3x+8y这样的错误等等.7.在提取运用相应的知识环节出现了错误在实践生活生产中，我们运用的数学知识非常之多，但如若我们运用不当，那将会出现生产上的失误，造成一定的损失如小到在我们的生活中买鸡蛋，若一个鸡蛋048元，买32个鸡蛋需要多少钱？这一类计算，如若出现在我们的练习题当中，学生们必会有不同的做法，但怎样的方法才是最简单的同时又最不容易出错的呢？我想必会有人告诉我是用04830+0482但为什么不用053200232呢？因为第一个算式小数位太多了，容易出错.8.在相应知识环节上出现干扰，也会导致解题错误初中学生的解题错误干扰主要来自两个方面：一是小学数学的干扰，二是初中数学前后知识的干扰 .三、减少初中学生解题错误的方法由上所述，学生不能顺利正确地完成解题，产生解题错误，表明其在解题过程中受到干扰因此，减少初中数学解题错误的方法是预防和排除干扰为此，要抓好课前、课内、 课后三个环节.1.课前准备要有预见性 预防错误的发生，是减少初中学生数学解题错误的主要方法讲课之前，教师如果能预见到学生学习本课内容可能产生的错误，就能够在课内讲解时有意识地指出并加以强调，从而有效地控制错误的发生例如，讲解方程 -=1之前，要预见到本题要用分数的基本性质与等式的性质，两者有可能混淆，因而要在复习提问时准备一些分数的基本性质与等式的性质的练习，帮助学生弄清两者的不同，避免产生混乱与错误因此备课时，要仔细研究教科书正文中的防错文字、例题后的注意、小结与复习中的应该注意的几个问题等，同时还要揣摸学生学习本课内容的心理过程，授业解惑，使学生预先明了容易出错之处，防患于未然如果学生出现问题而未察觉，错误没有得到及时的纠正，则遗患无穷，不仅影响当时的学习，还会影响以后的学习因此，预见错误并有效防范能够为揭示错误、消灭错误打下基础.2.课内讲解要有针对性 在课内讲解时，要对学生可能出现的问题进行针对性的讲解对于容易混淆的概念，要引导学生用对比的方法，弄清它们的区别和联系课内条件允许的话，可由个别学生分析解答例题，再由学生订正，教师予以总结并给学生展示揭示错误、排除错误的手段，使学生会识别错误、改正错误要通过课堂提问及时了解学生情况，对学生的错误回答，要分析其原因，进行针对性讲解，利用反面知识巩固正面知识课堂练习是发现学生错误的另一条途径，出现问题，及时解决总之，要通过课堂教学，不仅教会学生知识，而且要使学生学会识别对错，知错能改如前面提到的平方差公式和完全平方公式的区别，教师在讲解时，要分别讲解各自的概念和适用范围，并还要进行对比讲解，平方差式是a2-b2=(a+b)(a-b)，是两个式子的平方的差，是个二项式的因式分解而完全平方公式a2-2ab+b2=(a-b)2是一个三项式的因式分解，所得的是差的平方把这两个式子分别列出加以比较区别，这样出错的机率就会大大减少了. 3.课后讲评要有总结性要认真分析学生作业中的问题，总结出典型错误，加以评述通过讲评，进行适当的复习与总结，也使学生再经历一次尝试与修正的过程，增强识别、改正错误的能力如上面讲到的绝对值的问题当中，首先对绝对值的概念掌握了解了以后，我们加深了它的应用，如习题-2x+3y-x+-5y=？当x0,y0时在做这个题目时，我们要总结x,y在几种情况下的解当x0，当y0时值，总结得到-2x=-2x，3y=3y，x=-x，-5y=5y故当x0,y0时：-2x+3y-x+-5y=-x+8y.四.对于错误的应对策略有以下分析1、知识性错误及对策1、知识性错误的概念知识性错误是指对概念及性质的认识模糊不清导致的错误；忽视公式，定理，法则的使用条件而导致的错误；忽视隐含条件导致错误；遗漏或随意添加条件导致的错误.2、对策：正确看待学生的习题错误，合理利用学生习题错误资源错题和知识点是现象和本质的关系纠错是学习中不可缺少的一个环节，通过纠错可以帮助学生不断完善认识和理解概念，提高其解题的“免疫”力一个正确的认识、念头和做法，无不经历多次与错误的周旋，所以在学习中要为学生开辟好纠错的各种途径.2、逻辑性错误及对策1、逻辑性错误的概念逻辑性错误主要表现为思维混乱，推理不严，表达不清数学推理必须严密周全，否则得出的结论就不准确有些学生思维发展水平低，思维离不开具体的直观对象的支撑；概括能力弱，对具体事物、表象进行提升有障碍；推理能力弱，数学知识、能力、方法准备不足，推理思路不明；思维品质差，解决数学问题时，往往只作肤浅的思考.2、对策：开发典型试题，培养学生应变能力 ，降低盲目解题出现的错误教材中的例题和习题是经过编者的精心挑选的，具有典型性、示范性，同时也给教师留下了广阔的创造空间，只要我们认真专研，许多例题、习题都可以拓展延伸，类比迁移，减少盲目解题出现的错误.3、策略性错误及对策1、策略性错误的概念策略性错误是指解题思路阻塞或一种策略产生错误导向，或是一种策略明显增加了过程的难度和复杂性，由于时间的限制，问题最终得不到解决.2、对策：多角度思考问题，多途径解决问题数学教学的一个很重要的任务，就是教学生学会如何解数学习题，学会“数学的思维” “是什么促使你这样想、这样做的？”，“是怎样想到这个解法的？”“为什么要这样做？”等层面的问题都属于思维策略问题思维策略能力是解题能力的核心光有基础知识、具体方法和经验是不够的，为判断用什么方法、用什么知识必须对问题解剖、识别、加工、组织并创造条件，即必须具有定的思维策略能力有时解题受阻的原因并非知识缺乏，而在于没有正确的解题策略，导致盲目解题，致使解题陷入混乱招致失败 .4、心理性错误及对策1、心理性错误的概念心理性错误主要表现为缺乏坚强的意志和信心，具有依赖心理，缺乏主动钻研精神；急功近利，急于求成，盲目下笔，导致解题出错的急躁心理现象数学解题除需扎实的数学知识、基本技能和较强数学思维能力之外，还需要有良好的心理素质，否则既使知识技能掌握得不错，也可能因为心理障碍而产生错误.2、对策：尊重差异，实施分层教学，为学困生创设成功机会学生的个体差异表现为认知方式与思维策略的不同，以及认知水平和学习能力的差异教师要及时了解并尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要教学中尊重学生在解决问题过程中所表现出的不同水平问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等要尽可能地让所有学生都能主动参与，提出各自解决问题的策略，并引导学生在与他人的交流中选择合适的策略对学习有困难的学生，教师要给予及时的关照与帮助，要鼓励他们主动参与数学学习活动，尝试着用自己的方式去解决问题，发表自己的看法设计问题时要从学生认知实际出发，设置多个台阶，分步到位，情境启发，诱导学生尝试探索.结束语:学生的作业正确与错误交织，对错误正确对待、认真分析、有效控制，就能够使学生的学习顺利进行，能力逐渐提高通过改进我们的教学，我们可以有效地帮助学生减少出错的频率，但无法消除学生错误的出现因此，教师要正视学生的错误，将纠正学生错误看作是自己教学的一部分，针对不同的学生、不同的错误，开出不同的处方，然后对症下药，将纠错工作进行到底.参考文献： 1波利亚：怎样解题M，科学出版社，1982 2杨裕前 董林伟：七年级数学(上册)M，江苏科学技术出版社，2004年7月3杨裕前 董林伟：七年级数学(下册)M，江苏科学技术出版社，2005年1月4佚名 中学生数学解题误区 数学论文 2005-4-145张玉明 中考数学复习中的一个误区 中小学数学 2006年，1-2期6苏芳 影响学生缜密思考的主要因数 中小学数学 2002年第3期6