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精选优质文档-倾情为你奉上2002年-2011年广东省深圳市中考数学试题分类解析汇编专题函数的图象与性质一、选择题1.（深圳2002年3分）反比例函数y=在第一象限内的图象如图，点M是图象上一点，MP垂直x轴于点P，如果MOP的面积为1，那么k的值是【 度002】A、1 B、2 C、4 D、 【答案】B。【考点】反比例函数系数k的几何意义。【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系S= |k|即可求得k的值：点M是反比例函数y=图象上一点，SMOP= |k|=1。又k0，则k=2。故选B。2.（深圳2003年5分）已知一元二次方程2x23x6=0有两个实数根x1、x2，直线l经过点A（x1x2，0）、B（0，x1x2），则直线l的解析式为【 度002】 A、y=2x3 B、y=2x3 C、y=2x-3 D、y=2x3【答案】A。【考点】一元二次方程根与系数的关系，待定系数法求一次函数解析式。【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出A，B的坐标，代入直线的解析式，求出k，b的值，从而确定直线的解析式：由题意知，x1+x2=，x1x2=3，A（，0），B（0，3）。设直线l的解析式为：y=kx+b，把点A，点B的坐标代入，解得，k=2，b=3，直线l的解析式为：y=2x3。故选A。3.（深圳2004年3分）函数y=x22x3的图象顶点坐标是【 度002】 A、（1，-4） B、（1，2） C、（1，2） D、（0，3）【答案】C。【考点】二次函数的性质。【分析】利用配方法将一般式化为顶点式即可确定顶点的坐标：y=x22x+3=x22x12=（x1）22，顶点的坐标是（1，2）。故选C。4.（深圳2004年3分）抛物线过点A（2，0）、B（6，0）、C（1，），平行于x轴的直线CD交抛物线于点C、D，以AB为直径的圆交直线CD于点E、F，则CEFD的值是【 度002】 A、2 B、4 C、5 D、6【答案】B。【考点】二次函数综合题，二次函数的对称性，弦径定理，勾股定理。【分析】根据题意，G为直径AB的中点，连接GE，过G点作GHCD于H知CEFD=CDEF=CD2EH，分别求出CD，EF即可：由抛物线过点A（2，0）、B（6，0）得：抛物线对称轴为x=4。由抛物线过点C（1，），平行于x轴的直线CD交抛物线于点C、D ， 得D点坐标为（7，）。如图，G为直径AB的中点，连接GE，过G点作GHCD于H，则GH= 3，EG=2，EH= 22()2=1。CEFD=CDEF=CD2EH=2=4。故选B。5.（深圳2005年3分）函数y=（k0）的图象过点（2，2），则此函数的图象在平面直角坐标系中的【 度002】 A、第一、三象限 B、第三、四象限 C、A、第一、二象限 D、第二、四象限【答案】D。【考点】反比例函数的性质。【分析】将（2，2）代入y=（k0）得k=4，根据反比例函数的性质，函数的图象在平面直角坐标系中的第二、四象限。故选D。6.（深圳2006年3分）函数的图象如图所示，那么函数的图象大致是【 度002】 A B C D 【答案】C。【考点】一次函数和反比例函数的图象。【分析】反比例函数的图象位于第二、四象限，0。0，函数的图象过二、四象限又0，函数的图象与y轴相交于正半轴。一次函数的图象过一、二、四象限。故选C。7.（深圳2007年3分）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是【 度002】【答案】C。【考点】一次函数和反比例函数的图象。【分析】若0，反比例函数的图象经过一、三象限，一次函数的图象经过一、二、三象限，答案C符合条件；若0，反比例函数的图象经过二、四象限，一次函数的图象经过二、三、四象限，答案中没有符合条件的结果。故选C。8.（深圳2009年3分）如图，反比例函数的图象与直线的交点为A，B，过点A作轴的平行线与过点B作轴的平行线相交于点C，则ABC的面积为【 度002】AOBCA8 B6 C4 D2【答案】A。【考点】反比例函数系数的几何意义。【分析】双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为|，根据反比例函数的中心对称特点可知ABC的是面积2|=24=8。故选A。xOyP9.（深圳2010年学业3分）如图，点P（3a，a）是反比例函y（k0）与O的一个交点，图中阴影部分的面积为10，则反比例函数的解析式为【 度002】Ay By Cy Dy【答案】D。【考点】反比例函数和圆的中心对称性，勾股定理，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】根据反比例函数和圆的中心对称性，图中阴影部分的面积实际上是圆的面积。由勾股定理，可得圆的半径为。因此，由图中阴影部分的面积为10可得，解得a=2（因果点P在第一象限，a0，负数舍去）。点P（6，2）。代入y，得k=12。则反比例函数的解析式为y。故选D。10.（深圳2010年招生3分）在反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而增大，则的值可以是【 度002】A .1 B .0 C . 1 D .2【答案】D。【考点】反比例函数的性质。【分析】由反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而增大，得，即。因此的值可以是2。故选D。11.（深圳2011年3分）对抛物线=223而言，下列结论正确的是【 度002】A.与轴有两个交点 B.开口向上 C.与轴交点坐标是(0，3) D.顶点坐标是(1，2)【答案】D。【考点】二次函数的性质。【分析】把=223变形为=（1）22，根据二次函数的性质，该抛物线，开口向上；顶点坐标是(1，2)；223=0无实数根，故抛物线与轴无交点；当=0时y=3，故抛物线与y轴交点坐标是(0，3) 。故选D。二、填空题1.（深圳2008年3分）如图，直线OA与反比例函数的图象在第一象限交于A点，ABx轴于点B，OAB的面积为2，则k 【答案】4。【考点】反比例函数系数的几何意义。【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S= 。SOAB= =2，且反比例函数在第一象限，0，则。2.（深圳2011年3分）如图，ABC的内心在y轴上，点C的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，2），直线AC的解析式为，则tanA的值是 . 【答案】。【考点】三角形的内心，等腰直角三角形的性质，勾股定理，一次函数，锐角三角函数。【分析】过A作AEX轴于E，AC交Y轴于D，AB交X轴于F。 点C的坐标为（2,0），点B的坐标为（0,2）， OCB=OBC=45，BC=。 又ABC的内心在y轴上，OBF=OBC=45。 ABC=90，BF=BC=，CF=4，EF=EA。 又直线AC的解析式为，OD：OC=1：2。 A点在直线AC上，AE：EC=1：2，即AE：（EF+CF）=AE：（AE+4）=1：2。 解之，EF=AE=4，FA=。AB=BF+FA=。 在Rt ABC中，tanA= 。 三、解答题ByOAxC1.（深圳2002年10分）已知：如图，直线y=x3与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线y=x2bxc经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点。（1）求抛物线的解析式。（2）若点P在直线BC上，且SPAC=SPAB，求点P的坐标。【答案】解：（1）直线y=x3与x轴、y轴分别交于点B、C，令x=0，则y=0，令y=0，则x=3。C（0，3）、B（3，0）。把两点坐标代入抛物线y=x2bxc得，解得，。抛物线的解析式为：y=x22x3。（2）由x22x3=0可得点A的坐标为（1，0）。SABC=。设P点坐标为（x，x3），分三种情况讨论： 当点P 在BC延长线上，SPAC= SPABSABC=SPAB，SABC=SPAB， 即，解得x=3。此时，点P的坐标为（3，6）。当点P 在线段BC上，SPAC=SABCSPAB=SPAB，SABC=SPAB， 即，解得x=1。此时，点P的坐标为（1，2）。当点P 在CB延长线上，SPAC= SPABSABC=SPAB，SABC=SPAB，这是不可能的。此时，点P不存在。综上所述，所求点P的坐标为（3，6）或（1，2）。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）根据直线y=x3可分别令x=0，y=0求出C，B两点的坐标；把B，C两点的坐标分别代入抛物线y=x2bxc可求出b，c的值，从而求出函数的解析式（2）因为P在直线BC上，所以可设P点坐标为（x，x3），再利用三角形的面积公式及ABC、PAC、PAB之间的关系分点P 在BC延长线上，当点P 在线段BC上，当点P 在CB延长线上三种情况求出x的值，从而求出P点坐标。2.（深圳2003年18分）如图，已知A（5，4），A与x 轴分别相交于点B、C，A与y轴相且于点D，（1）求过D、B、C三点的抛物线的解析式； （2）连结BD，求tanBDC的值； （3）点P是抛物线顶点，线段DE是直径，直线PC与直线DE相交于点F，PFD的平分线FG交DC于PxyBCODAEFGG，求sinCGF的值。【答案】解：（1）A（5，4），A与x 轴分别相交于点B、C，A与y轴相且于点D，由圆的性质和弦径定理可得D（0，4），B（2，0），C（8，0）。设过D、B、C三点的抛物线的解析式为。将D、B、C的坐标代入，得，解得，抛物线的解析式为y=。（2）作弧BC的中点H，连接AH、AB，则由弦径定理和圆周角定理，BDC=BAH=BAC，tanBDC=tanBAH= 。（3）由（1）y= 得点P的坐标为（5，）。由P、C坐标可求得直线PC的解析式为y=。设M为直线PC与y轴的交点，则M的坐标为（0，6）。OM=6，OC=8，由勾股定理，得MC=10。又MD=OMOD=10，MD=MC=10。MCD=MDC。MCA=MDA=MDC+CDA=90。MCO=BDC=PFD。CGF=GDF+ PFD=GDF+ BDC=HDF=45。DA=AH=半径，sinCGF=sin45= 。【考点】二次函数综合题，弦径定理，圆周角定理，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。【分析】（1）由A点坐标，即可得出圆的半径和OD的长，连接AB，过A作BC的垂线不难求出B、C的坐标然后可用待定系数法求出抛物线的解析式。（2）取弧BC的中点H，连接AH、AB，根据弦径定理和圆周角定理可得出BDC=BAC=BAH，由此可求出BDC的正切值。（也可通过求弦切角PCO的正切值来得出BDC的正切值）yCEABOx（3）由于CGF=CDF+GFD=CDF+ CFD，而PCO=PFD=BDC，那么CGF=CDF+BDC=HDF，在直角三角形AOH中，DA=AH，因此HDF=45，即CGF=45，据此可求出其正弦值。3.（深圳2004年12分）直线y=xm与直线y=x2相交于y轴上的点C，与x轴分别交于点A、B。 （1）求A、B、C三点的坐标；（3分） （2）经过上述A、B、C三点作E，求ABC的度数，点E的坐标和E的半径；（4分） （3）若点P是第一象限内的一动点，且点P与圆心E在直线AC的同一侧，直线PA、PC分别交E于点M、N，设APC=，试求点M、N的距离（可用含的三角函数式表示）。（5分）【答案】解：（1）直线y= x+2中令x=0，得y=2，C点的坐标为（0，2）。把C（0，2）代入直线y=xm，得m=2，直线y=xm解析式是y=x2。令y=0，得x=2，则A点的坐标是（2，0），在y= x2中令y=0，得x=，则B的坐标是（，0）。（2）根据A、B、C的坐标得到OC=2，OA=2，OB=，根据锐角三角函数定义，得tanABC=,ABC=30。又AC=。连接AE，CE，过点E作EFAB于点F，则AEC=60，ACE是等边三角形，边长是。又在RtEAF中，AE=，AF=AB=，EF=。又OF=OAAF=。点E的坐标为（，），半径是。 （3）分两种情况：（I）当点P在E外时，如图，连接AN，连接ME并延长交E于另一点Q，连接NQ，则NQM是直角三角形。MQN=MAN=ANCP=ABCP=30，在RtNQM中，MN=QMsinMQN，即MN=sin（30）。（II）当点P在E内时，如图，连接AN，连接ME并延长交E于另一点Q，连接NQ，则NQM是直角三角形。ACB=BCOACO=6045=15。MQN=MAN=APBANB=APBACB =15。在RtNQM中，MN=QMsinMQN，即MN=sin（15）。【考点】一次函数综合题，直线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，弦径定理，三角形外角定理。【分析】（1）直线y= x+2与y轴的交点可以求出，把这点的坐标就可以求出直线y=xm的解析式，两个函数与x轴的交点就可以求出。（2）根据三角函数可以求出角的度数。由OC、OA、OB的长度，根据勾股定理、等边三角形的判定和性质、弦径定理可求出点E的坐标和E的半径。（3）分点P在E外和点P在E内两种情况讨论即可。4.（深圳2005年9分）已知ABC是边长为4的等边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中点，点A在第一象限内，AB与y轴的正半轴相交于点E，点B（1，0），P是AC上的一个动点（P与点A、C不重合） （1）（2分）求点A、E的坐标； （2）（2分）若y=过点A、E，求抛物线的解析式。 （3）（5分）连结PB、PD，设L为PBD的周长，当L取最小值时，求点P的坐标及L的最小值，并判断此时点P是否在（2）中所求的抛物ABCODEyx线上，请充分说明你的判断理由。【答案】解：（1）连结AD， 由ABC是边长为4的等边三角形，得 BD=ABcos600=2，AD=Absin600=2， OD=1。A（1，2）。由 OE=，得E（0，）。（2）抛物线y=过点A、E，解得。 抛物线的解析式为y=。（3）作点D关于AC的对称点D，连结BD交AC于点P，作DGx轴于点G。则PB与PD的和取最小值，即PBD的周长L取最小值。由轴对称性，得DFC为直角三角形，在RtDFC中，DCF=60，DF=DCsinDCF=。DD=2。在RtDDG中，DDG=30，DG = DDsinDDG =，DG= DDcosDDG =3。OG=4。点D的坐标为（4，）。由B（1，0），D（4，）可得直线BD的解析式为：x+。又直线AC的解析式为：。，解得。点P的坐标为（，）。此时BD=2，PBD的最小周长L为2+2。把点P的坐标代入y=成立，此时点P在抛物线上。【考点】等边三角形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，轴对称的性质，解二元一次方程组。【分析】（1）连结AD，由等边三角形的性质和锐角三角函数可求点A、E的坐标。 （2）由点A、E的坐标，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，可求抛物线的解析式。 （3）根据轴对称的性质，作点D关于AC的对称点D，连结BD交AC于点P，点P即为所求。据此求点P的坐标及L的最小值，并判断此时点P在（2）中所求的抛物线上。5.（深圳2006年8分）工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.（1）(4分)该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？（2）(4分)若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100 件若每工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元?【答案】解：(1)设该工艺品每件的进价是元，标价是元。依题意得方程组： ，解得：。答：该工艺品每件的进价是155元，标价是200元。 (2)设每件应降价元出售,每天获得的利润为元，依题意可得与的函数关系式：当时,=4900。答：每件应降价10元出售,每天获得的利润最大,最大利润是4900元。【考点】二元一次方程组和二次函数的应用。【分析】(1) 方程（组）的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为： 标价进价=45元；标价的85%销售该工艺品8件的利润=将标价降低35元销售该工艺品12件的利润； 。（2）求出每天获得的利润与每件工艺品降价额的函数关系，应用二次函数最值求解。6.（深圳2006年10分）如图，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足ACB为直角,且恰使OCAOBC.(1)(3分)求线段OC的长.(2)(3分)求该抛物线的函数关系式(3)(4分)在轴上是否存在点P，使BCP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：（）由与轴交于A、B两点得， 。 点A在点B的左侧，OA，OB。 OCAOBC，OCOAOB。OC（舍去）。线段OC的长为 。（）OCAOBC，。设AC，则BC。由ACBCAB得（）（），解得（舍去）。AC，BCOC 。 过点C作CDAB于点D，ODOB。C的坐标为（，）。 将C点的坐标代入抛物线的解析式得，。抛物线的函数关系式为：（）当P与重合时，BCP为等腰三角形，P的坐标为（，）。当PBBC时(P在B点的左侧)，BVP为等腰三角形，P的坐标为（，）。当P为AB的中点时，PBPC，BCP为等腰三角形，P的坐标为（，），当BPBC时(P在B点的右侧)，BCP为等腰三角形，P的坐标为（，）。 综上所述，在轴上存在点P，使BCP为等腰三角形，符合条件的点的坐标为：（，），（，），（，），（，）。【考点】二次函数综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的判定。【分析】(1) 由与轴交于A、B两点求出两点的坐标，由OCAOBC，根据相似三角形对应边成比例的性质即可求出线段OC的长。 （2）由OCAOBC求出点C的坐标，即可用等定系数法求出该抛物线的函数关系式。 （3）分P与重合、PBBC、P为AB的中点、BPBC四种情况讨论即可。7.（深圳2007年9分）如图，在平面直角坐标系中，正方形AOCB的边长为，点D在轴的正半轴上，且OD=OB，BD交OC于点E（1）求BEC的度数（2）求点E的坐标（3）求过B，O，D三点的抛物线的解析式（计算结果要求分母有理化参考资料：把分母中的根号化去，叫分母有理化例如：；等运算都是分母有理化）【答案】解：(1）四边形AOCB是正方形，OD=OB，OBD=ODB=22.50。CBE=22.50。BEC=900CBE=90022.50=67.50。 （2）正方形AOCB的边长为，OD=OB=。点B的坐标为（1，1），点D的坐标为（，0）。设直线BD的解析式为，则，解得。直线BD的解析式为令，点E的坐标为，）。 （3）设过B、O、D三点的抛物线的解析式为，B（1，1），O（0，0），D（，0）， ，解得，。所求的抛物线的解析式为。【考点】正方形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，勾股定理，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次根式化简。【分析】(1）由正方形、等腰三角形的性质和直角三角形两锐角互余的性质，可求得BEC的度数。 （2）求出点B和D的坐标，用待定系数法求出直线BD的解析式，令即可求出点E的坐标。 （3）由B、O、D三点的坐标，用待定系数法即可求出过B，O，D三点的抛物线的解析式。8.（深圳2007年8分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线相交于A，B两点（1）求线段AB的长（2）若一个扇形的周长等于（1）中线段AB的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积是多少？（3）如图2，线段AB的垂直平分线分别交轴、轴于C，D两点，垂足为点M，分别求出OM，OC，OD的长，并验证等式是否成立（4）如图3，在RtABC中，ACB=900，CDAB，垂足为D，设，试说明：图1图2图3【答案】解：（1） ，解得，。A（4，2），B（6，3）。 分别过A、B两点作AE轴，BF轴，垂足分别为E、F。 AB=OA+OB 。 （2）设扇形的半径为，则弧长为，扇形的面积为， 则，当时，函数有最大值。当扇形的半径取时，扇形的面积最大，最大面积是。（3）过点A作AE轴，垂足为点E，则OA=。CD垂直平分AB，点M为垂足，OM=ABOA。AEO=OMC，EOA=COM， AEOCMO。， CO。同理可得 OD 。 ，。 （4）等式成立。理由如下：ACB=900，CDAB， 。 。 。 。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，解二元二次方程组，勾股定理，扇形的计算，二次函数的最值，相似三角形的判定和性质，代数式的变换。【分析】（1）求出A（4，2），B（6，3），由勾股定理即可求出线段AB的长。 （2）求出扇形的面积关于半径的函数表达式，由二次函数的最值即可求解。 （3）由勾股定理和相似三角形的判定和性质，即可求出OM，OC，OD的长，代入等式验证即可。 （4）由三角形面积公式和勾股定理得到代数式，进行代数式的变换即能证明。9.（深圳2008年10分）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OBOC ，tanACO（1）求这个二次函数的表达式（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度（4）如图2，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，APG的面积最大？求出此时P点的坐标和APG的最大面积.【答案】解：（1）由B点的坐标为（3，0），OBOC，得：OC=3 由tanACO得：OA=1 C（0，3），A（1，0）。将A、B、C三点的坐标代入，得，解得： 。 这个二次函数的表达式为：。（2）存在。，D（1，4）。设直线CD的解析式为，将C、D点的坐标代入，得，解得。直线CD的解析式为：。令，得。E点的坐标为（3，0）。C（0，3），在中，令，得，。F点的坐标为（2，3）。由A、C、E、F四点的坐标得：AECF2，AECF。以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形。存在点F，坐标为（2，3）。（3）如图，当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R0），则N（R+1，R），代入抛物线的表达式，解得（负值舍去）。当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r0），则N（r+1，r），代入抛物线的表达式，解得（负值舍去）。圆的半径为或。（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，易得G（2，3），直线AG为。设P（x，），则Q（x，x1），PQ。当时，APG的面积最大，此时P点的坐标为，的最大值为。【考点】二次函数综合题，锐角三角函数定义，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定，圆的切线的性质，解一元二次方程，二次函数最值。【分析】（1）由已知和锐角三角函数定义，求出A、B、C三点的坐标，用待定系数法即可求出二次函数的表达式。 （2）过点C作CF轴，求出A、C、E、F的坐标，根据平行四边形的判定即可。 （3）根据圆的切线的性质，分直线MN在x轴上方和直线MN在x轴下方两种情况讨论即可。 （4）求出的二次函数表达式，应用二次函数最值原理即可求得。10.（深圳2009年9分）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120，得到线段OB.（1）求点B的坐标；BAOyx（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在轴的下方，那么PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及PAB的最大面积；若没有，请说明理由.【答案】解：（1）过点B作BE轴于点E，由已知可得：OB=OA=2，BOE=60，在RtOBE中，OEB=90，OBE=30，OE=1，EB=。点B的坐标是（1，）。（2）设抛物线的解析式为 代入点B（1, ），得，经过A、O、B三点的抛物线的解析式为。CBAOyx（3）如图，抛物线的对称轴是直线=1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，BOC的周长最小。设直线AB为，则。直线AB为。DBAOyxP当=1时，点C的坐标为（1，）。（4）如图，过P作轴的平行线交AB于D。 当=时，PAB的面积的最大值为，此时。【考点】二次函数综合题，旋转的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，对称的性质，三角形三边关系，二次函数最值。【分析】（1）由已知得OA=2，将线段OA绕原点O顺时针旋转120，则OB与轴的正方向夹角为60，过点B作BE轴于点E，解直角三角形可得OD、BE的长，从而求得B点的坐标。（2）用待定系数法直接将A、O、B三点坐标代入抛物线解析式，可求解析式。（3）点A，O关于对称轴对称，连接AB交对称轴于C点，C点即为所求，求直线AB的解析式，再根据C点的横坐标值，求纵坐标。（4）设P（，）（20，0），用割补法可表示PAB的面积，根据面积表达式再求取最大值时，的值。11.（深圳2010年学业8分）儿童商场购进一批M型服装，销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%商场现决定对M型服装开展促销活动，每件在8折的基础上再降价x元销售，已知每天销售数量y（件）与降价x元之间的函数关系为y204x（x0）（1）求M型服装的进价；（3分）（2）求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值（5分）【答案】解：（1）设进价为x，销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%，750.8=（1+0.5）x，解得，x=40。答：M型服装的进价为40元。（2）销售时标价为75元/件，开展促销活动每件在8折的基础上再降价x元销售，M型服装开展促销活动的实际销价为750.8x=60x，销售利润为60x40=20x，而每天销售数量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式为y=204x，促销期间每天销售M型服装所获得的利润为：W=（20x）（204x）=-4x260x400=。当x= =7.5（元）时，利润W最大值为625元。【考点】一元一次方程、二次函数的应用。【分析】（1）销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%可得：标价打8折等于（1+0.5）乘进价。（2）促销后，每件在8折的基础上再降价x元销售，则实际销价为60x，利润W=（60x）（20+4x）。由二次函数最值可解。12.（深圳2010年学业3分）如图，抛物线经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在轴上，其中A（2，0），B（1, 3） （1）求抛物线的解析式；（3分）（2）点M为轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；（2分）（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使SPAD4SABM成立，求点P的坐标（4分）xyCB_D_AO【答案】解：（1）点A、B在抛物线上，点A、B的坐标满足抛物线方程。 ， 解之得：。抛物线的解析式为所求。（2）如图，连接BD，交轴于点M，则点M就是所求作的点。设BD的解析式为，则有，。BD的解析式为。令则，M（0，2）。(3)如图，连接AM， BC交y轴于点N，A（2，0），D（2，0），M（0，2），OM=OA=OD=2。AMB=900。 B（1, 3），M（0，2），BN=MN=1，。设，依题意有：，即：。解之得：，。符合条件的P点有三个：。【考点】二次函数综合题，等腰梯形的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，对称的性质，三角形三边关系，直角的判定，勾股定理，解一元二次方程。 【分析】（1）由点A、B在抛物线上，点A、B的坐标满足抛物线方程的关系，将点A、B的坐标代入抛物线方程即可求出抛物线的解析式。 （2）点A，D关于对称轴轴对称，连接BD交对称轴轴于M点，由三角形三边关系知M点即为所求，求出直线BD的解析式，即可求得M点的坐标。 （3）求出SABM，设，即可由已知SPAD4SABM列出关于的方程即可求解。13.（深圳2010年招生9分）为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数（台）与补贴款额（元）之间大致满足如图 所示的一次函数关系随着补贴款额的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z（元）会相应降低且Z 与之间也大致满足如图 所示的一次函数关系.( 1 ) ( 3 分）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？( 2 ) ( 3 分）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数和每台家电的收益Z 与政府补贴款额之的函数关系式，( 3 ) ( 3 分）要使该商场销售彩电的总收益W（元）最大，政府应将每台补贴款额定为多少？并求出总收益W的最大值【答案】解：（1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为800200=（元）。 （2）依题意（图），设，则有 ，解得，。 ，。 （3） 要使该商场销售彩电的总收益W（元）最大，政府应将每台补贴款额定为100元？其总收益W的最大值为元。【考点】一次、二次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，二次函数最值。【分析】（1）由图，直接求出。 （2）根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出该商场销售彩电台数和每台家电的收益Z 与政府补贴款额之的函数关系式。 （3）求出该商场销售彩电的总收益W的函数关系式，用二次函数最值原理求解。14.（深圳2010年招生10分）如图，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于C点，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5 , 2 ) ，连结BC、AD.( 1 ) ( 3 分）求C 点的坐标及抛物线的解析式；( 2 ) ( 3 分）将BCH绕点B 按顺时针旋转900后再沿轴对折得到BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；( 3 ) ( 4 分）设过点E的直线AB交AB边于点P，交CD 边于点Q，问是否存在点P ，使直线PQ 分梯形ABCD的面积为1 : 3 两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）四边形OBHC为矩形，CD AB ，又D ( 5 , 2 ，C( 0 , 2 ) 。 ，解得。 抛物线的解析式为：。 ( 2 )点E落在抛物线上。理由如下：由，得，解得，。A（4 ，0），B ( 1 ，0 ) 。OA=4，OB=1。由矩形性质知：CH=OB=1，BH=OC=2，BHC=900。由旋转、轴对称性质知：EF=1，BF=2，EFB=900。点E的坐标为（3，1）。把代入，得。点E在抛物线上。（3）存在点P ( a，0 ) ，延长EF交CD于点G ，易求OF=CG=3，PB= a1。S四边形BCGF=5，S四边形ADGF=3，记S梯形BCQP=S1，S梯形ADQP=S2。下面分两种情形： 当Sl：S2=1：3时，此时点E在点F（3，0 的左侧，则P F=3 a 。由EPF EQG，得， 则QG = 9 3 a 。CQ=3（9 3 a）=3 a 6。 由S12，得，解得 。P (，0 )。当Sl：S2=3：1时， 此时点E在点F（3，0 的右侧，则P F = a3。由EPF EQG，得QG = 3 a 9。CQ=3（3 a9）=3 a 6。 由S16，得，解得 。P (，0 )。综上所述：所求点P的坐标为(，0 )或(，0 )。【考点】二次函数综合题，矩形的性质， 曲线上点的坐标与方程的关系，旋转和轴对称性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由矩形的性质和点D的坐标求出点C的坐标，从而由点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，即可求出抛物线的解析式。 （2）由旋转和轴对称性质，求出点E的坐标，代入抛物线的解析式验证即可。 （3）由似三角形的判定和性质，分S梯形BCQP：S梯形ADQP等于1：3和3：1两种情况讨论即可。15.（深圳2011年9分）深圳某科技公司在甲地、乙地分别生产了17台、15台相同型号的检测设备，全部运往大运赛场A、B两馆，其中运往A馆18台，运往B馆14台，运往A、B两馆运费如表1：（1）设甲地运往A馆的设备有x台，请填写表2，并求出总运费（元）与（台）的函数关系式；（2）要使总运费不高于20200元，请你帮助该公司设计调配方案，并写出有哪几种方案；（3）当x为多少时，总运费最少，最少为多少元？【答案】解：（1）填写表2如下所示 依题意，得： 800700(18)500(17)600(3) 即：20019300（317） （2）要使总运费不高于20200元， 2001930020200 解得： 317，且设备台数只能取正整数。只能取3或4。 该公司的调配方案共有2种，具体如下表： （3）由（1）和（2）可知，总运费为： 20019300（3或4） 由一次函数的性质，可知： 当3时，总运费最小，最小值为：20031930019900（元）。 答：当x为3时，总运费最小，最小值是19900元。【考点】一次函数，一元一次不等式，函数的最小值。【分析】（1）已知条件直接填写表2，再根据等量关系列出函数关系式：总运费=甲地运A馆运费乙地运A馆运费甲地运B馆运费乙地运B馆运费 = 800 700(18) 500(17) 600(3)考虑到甲地共生产了17台和乙地运B馆3台，有317。（2）根据所列一元一次不等式求解，并结合实际得出的取值进行分析，并根据一次函数的增减性求解。16.（深圳2011年9分）如图1，抛物线的顶点为（1，4），交轴于A、B，交轴于D，其中B点的坐标为（3，0）（1）求抛物线的解析式（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图3，抛物线上是否存在一点T，过点T作的垂线，垂足为M，过点M作直线MNBD，交线段AD于点N，连接MD，使DNMBMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】解：（1）设所求抛物线的解析式为：， 依题意，将点B（3，0）代入，得： ， 解得：1 所求抛物线的解析式为：。 （2）如图，在轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于轴对称，在轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HFHI， 点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将2代入抛物线，得 ， 点E坐标为（2，3）。 又抛物线图像分别与轴、轴交于点A、B、D， 当0时，1或3 当0时，143, 点A（1，0），点B（3，0），点D（0，3） 又抛物线的对称轴为：直线1， 点D与点E关于PQ对称，GDGE设过A、E两点的一次函数解析式为：，分别将点A（1，0）、点E（2，3）代入，得： ， 解得： 。过A、E两点的一次函数解析式为：1。 当0时，1 。 点F坐标为（0，1）。DF=2。 又点F与点I关于轴对称， 点I坐标为（0，1）。 又要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值， 只要使DGGHHI最小即可， 由图形的对称性和HFHI，GDGE可知， DGGHHFEGGHHI只有当EI为一条直线时，EGGHHI最小。 。 设过E（2，3）、I（0，1）两点的函数解析式为：，分别将点E（2，3）、点I（0，1）代入，得： ，解得： 过A、E两点的一次函数解析式为：21 当1时，1；当0时，； 点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0） 四边形DFHG的周长最小为：DFDGGHHFDFEI=四边形DFHG的周长最小为。 （3）设点M的坐标为（，0），由MNBD，可得 AMNABD 。 再由（1）、（2）可知，AM1，BD，AB4， ， 由题意可知，NMDMDB， 要使，DNMBMD，只要使即可。 即： 解得：或（不合题意，舍去）。点M的坐标为（，0）。 又点T在抛物线图像上， 当时，y。 点T的坐标为（，）。【考点】待定系数法求二次函数，抛物线的对称性，一次函数，两点之间线段最短，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）用待定系数法将点B（3，0）代入即可求二次函数表达式。 （2）应用抛物线的对称性和两点之间线段最短的性质可求。 （3）由题意可知，NMDMDB， 要使，DNMBMD，只要使即可，即：。因此由（1）、（2）的结论和AMNABD即可求得。专心-专注-专业
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