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2021年12月17日1时38分University Physics中国民用航空大学物理教研室本章主要内容本章主要内容参考系参考系 质点的位置矢量、位移和速度质点的位置矢量、位移和速度 加速度加速度 匀加速运动匀加速运动抛体运动抛体运动圆周运动圆周运动相对运动相对运动第一章 质点运动学第一章第一章 质点运动学质点运动学在是指力学中研究物体的运动状态及状态在是指力学中研究物体的运动状态及状态变化的描述方法。变化的描述方法。实际物体结构复杂，但都有一定的体积和形状。在实际物体结构复杂，但都有一定的体积和形状。在很多情况下，物体的体积和形状与所研究的问题无关。很多情况下，物体的体积和形状与所研究的问题无关。这时可将物体的大小形状忽略不计，引入一种理想模型，这时可将物体的大小形状忽略不计，引入一种理想模型，即即 具有一定质量的点。具有一定质量的点。1-1 质点的运动函数参考系参考系 坐标系坐标系物体的机械运动是指它的位置的变化，而描述物物体的机械运动是指它的位置的变化，而描述物体的位置及其变化（运动）具有体的位置及其变化（运动）具有相对性相对性。在描述物体运动时，必须指定其他物体或物体系在描述物体运动时，必须指定其他物体或物体系作为作为。为定量描述物体相对于所确定的参考物的位置，为定量描述物体相对于所确定的参考物的位置，需要在参考物上建立一个固定的需要在参考物上建立一个固定的空间坐标系空间坐标系。1-1 质点的运动函数笛卡儿坐标系笛卡儿坐标系球坐标系球坐标系柱坐标系柱坐标系常用的坐标系：常用的坐标系： 三维三维直角坐标系直角坐标系 二维二维直角坐标系直角坐标系笛卡儿坐标系笛卡儿坐标系极坐标系极坐标系本课程主要用三维或二维笛卡儿坐标系。本课程主要用三维或二维笛卡儿坐标系。xyOP),(zyxxyz三维笛卡儿坐标系三维笛卡儿坐标系jikxyO),(yxPxy二维笛卡儿坐标系二维笛卡儿坐标系ji 时刻对应一点；时间对应一段，即两个时刻的间隔时刻对应一点；时间对应一段，即两个时刻的间隔表示一段时间。在质点的运动过程中，时刻与质点的某表示一段时间。在质点的运动过程中，时刻与质点的某一位置对应；而时间与质点所经历的某一段路径对应。一位置对应；而时间与质点所经历的某一段路径对应。 描述质点的运动时，需要指出质点的描述质点的运动时，需要指出质点的时刻和时间时刻和时间。 例如：例如： 坐标轴坐标轴( (两个两个) )固定在地面上的参考系固定在地面上的参考系地面参考系地面参考系； 以实验室的墙壁地板为参考物以实验室的墙壁地板为参考物实验室参考系实验室参考系；1-1 质点的运动函数分解为三个矢量：分解为三个矢量：rkzj yi x，xyzOPr1.1. 1.1. 位置矢量位置矢量设质点在设质点在P点，相应的坐点，相应的坐标为标为( (x, ,y y, ,z z) )，自坐标原点，自坐标原点O向向P点引一矢量点引一矢量 OP。矢量矢量 OP 与质点的位置与质点的位置P对应，称为对应，称为（或简（或简称为称为位矢位矢和和矢径矢径），记为），记为 。),(zyxrxyzkzj yi xr1-1 质点的运动函数)(trr1.2. 1.2. 运动函数运动函数设质点设质点P的位置随时间的位置随时间t t 运动，运动，则坐标也随时间变化，即有函数关则坐标也随时间变化，即有函数关系：系：用来描述质点的位置随用来描述质点的位置随时间变化的函数或方程即为时间变化的函数或方程即为。)()()(tzztyytxxxyzOP),(zyxxyz用矢量表示：用矢量表示：矢量式矢量式 ktzjtyitxtr)()()()(分量式分量式 r1-2 位移和速度ABrrrxyzOAArrBr1.3. 1.3. 位移和路程位移和路程B设质点在设质点在t t 时刻在时刻在A点，点，经经 时间后（即时间后（即 时刻）时刻）到达到达B点。点。ttt矢量矢量 反映了质点的位反映了质点的位置变化，被称为置变化，被称为，记为：，记为：AB位移位移是矢量，只决定于始是矢量，只决定于始末位置；末位置；路程路程是质点运动经过是质点运动经过的路径的长度，的路径的长度，是标量，与始是标量，与始末之间的过程有关。末之间的过程有关。1-2 位移和速度kzzjyyixxrrrABABABAB)( )()( 位移的分量表达式：位移的分量表达式：位移位移 在在 x、y、z 轴上的投影分别为：轴上的投影分别为：rx = xB xAy = yB yAz = zB zA A ( xA ， yA，zA ) B ( xB ， yB ，zB ) xzOAArrBrBABrrrrr1-2 位移和速度2.1 2.1 平均速度平均速度xyzOABArrBrtrv平均速度是对一段时间而言的。它只能平均速度是对一段时间而言的。它只能粗略地粗略地表示质表示质 点位置变化的快慢程度和变化方向。点位置变化的快慢程度和变化方向。质点在质点在 时间间隔内时间间隔内的的定义为相应的定义为相应的位移位移 与该时间间隔的比与该时间间隔的比值。即值。即rtrtr / 平均速度是矢量，方向与平均速度是矢量，方向与 的相同，大小为的相同，大小为1-2 位移和速度dtrdtrvt0limxyzOAArrBr2.2 2.2 瞬时速度瞬时速度B质点在任意时刻质点在任意时刻t t 的的为为 时时间里平均速度在间里平均速度在 下下的极限值。即的极限值。即ttt0t速度是一个矢量。速度是一个矢量。1-2 位移和速度dtrdtrvt0limxyzOAArrBr2.2. 2.2. 瞬时速度瞬时速度B质点在任意时刻质点在任意时刻t t 的的为为 时时间里地平均速度在间里地平均速度在 下的极限值。即下的极限值。即ttt0t速度是一个矢量。速度是一个矢量。 某点瞬时速度的方向为位移矢量的极限方向，也某点瞬时速度的方向为位移矢量的极限方向，也就是该点处轨迹的就是该点处轨迹的。1-2 位移和速度kdtdzjdtdyidtdxdtrdvdtdzvdtdyvdtdxvzyxkvjvivzyx速度的分量表达式：速度的分量表达式：ktzjtyitxtr)()()()(，所以，所以因因1-2 位移和速度速度的大小和方向的表示：速度的大小和方向的表示：大小大小：222zyxvvvv速度的大小称为速度的大小称为。速率也可定义为：速率也可定义为：其中其中 s 为路程。当为路程。当0t时，有时，有 。rdtdsv 所以，所以，dtdststrvvtt00limlimABs = AB， = ABsrdtrddtrdvvdtrddtrdvv1-2 位移和速度222222222coscoscoszyxzzyxyzyxxvvvvvvvvvvvv方向：方向：速度与速度与 x、 y、z 轴的夹轴的夹角为角为 、，且有，且有其中其中cos、cos、cos 称称为为 x、 y、z 方向的方向的方向余弦方向余弦。注：注： cos、cos、cos 只有两个是独立的只有两个是独立的，因为，因为cos2 cos2 cos2 1。vxyz1-2 位移和速度22cosyxxvvv如果是如果是平面平面问题，用二维坐问题，用二维坐标系标系O-xy来描述来描述，速度的方向只，速度的方向只需要用一个角度来表示，通常选需要用一个角度来表示，通常选择速度与择速度与 x 轴的夹角轴的夹角，则有，则有cos2 cos2 1vxyO如果是如果是直线直线问题，用一维坐标系问题，用一维坐标系O-x来描述来描述，速度的方向可用，速度的方向可用 vx 的的符号符号来表来表示。示。xOvvvx 0 0vx 0 0，表示速度沿轴正方向；，表示速度沿轴正方向；当当 vx v)0(0v1-4 匀加速运动 抛体运动抛体运动特点：曲线运动；特点：曲线运动； 在铅直平面内（二维运动）；在铅直平面内（二维运动）； 匀加速运动匀加速运动( (忽略空气阻力忽略空气阻力) ) 。 ga恒矢量恒矢量sin ,cos ; 0000000vvvvyxyx设设t = 0 时，质点位于原点时，质点位于原点O，并以初速率，并以初速率v0和仰角和仰角 抛出，抛出，即即xyO0vgaayx , 0jgga查看Projectile Motion1-4 匀加速运动2220cos2tanxvgxy：速度函数速度函数：gtvgtvvvvvyyxxsin cos 0000运动函数：运动函数：20200021)sin(21 )cos( gttvgttvytvtvxyx20021 ,t gtvrt gvv相应的矢量式相应的矢量式：为二次曲线为二次曲线抛物线抛物线1-4 匀加速运动射程射程gvX2sin200vxyOXYgvY2sin220最大高度最大高度gvTsin20飞行时间飞行时间0tTt 1-4 匀加速运动说明：说明： 0vxyO抛体运动是水平方向的匀速直线运动和铅直方抛体运动是水平方向的匀速直线运动和铅直方向的匀加速直线运动的叠加，也可看作抛射方向的向的匀加速直线运动的叠加，也可看作抛射方向的匀速直线运动和铅直方向的自由落体运动（匀速加匀速直线运动和铅直方向的自由落体运动（匀速加直线）的叠加。直线）的叠加。任何一个复杂的运动可看作两个或多个方向的任何一个复杂的运动可看作两个或多个方向的简单分运动的叠加。简单分运动的叠加。20021)sin( )cos( gttvytvx2021t gtvrr1-4 匀加速运动 考虑空气阻尼考虑空气阻尼0vxyO一般阻尼力总是与速度反向，大小与速率有关，一般阻尼力总是与速度反向，大小与速率有关，故运动规律十分复杂。故运动规律十分复杂。动力学问题动力学问题弹道学弹道学 例例 沿斜坡的抛体运动：沿斜坡的抛体运动：v0 = 110 km/h , = 110 km/h , = 45 = 45, ,求：求：L = = ？xy0vLOxy解：解： 方法一方法一 沿水平方向取沿水平方向取x 轴。轴。tvx0221gty因因 = 45, ,故落地时有故落地时有 x = y ，此时有，此时有gvx202m2693600101108 . 92222cos2320gvxL 方法二方法二 沿斜面方向取沿斜面方向取x 轴。轴。cos00vvxsin00vvysingaxcosgay45cos)2(20gttvx45cos)2(20gttvygvLxgvty20022 2 0gvt/20t avv020021tatvrraatvv020021attvxx, , 0gaayxgtvgtvvvvvyyxxsin cos 000020200021)sin(21 )cos( gttvgttvytvtvxyx1-5 圆周运动1. 1. 圆周运动的加速度圆周运动的加速度质点作圆周运动时，不论速率是否变，速度方向不断变质点作圆周运动时，不论速率是否变，速度方向不断变化，因此，圆周运动的加速度总是存在的。化，因此，圆周运动的加速度总是存在的。加速度定义：加速度定义：tvat0lim21vvvAvv1v2vtvtvtt2010limlimRABvvA1vvvvvRABvABA21 ,OBAvBv1-5 圆周运动第一项大小：第一项大小：tdtdvnRva2第二项大小：第二项大小：tvtvatt2010limlimvvvvvRABvABA21 ,RvRvtABtvAAtt2010limlim 方向指向圆心方向指向圆心（ 的极限方向）的极限方向）1vdtdvtvtvtt020limlim方向沿圆周切线方向沿圆周切线（ 的极限方向）的极限方向）2v引入引入法向单位矢量法向单位矢量 和和切向单位矢量切向单位矢量 ，加速度表示为：，加速度表示为：tn 分量分量normal acceleration分量分量tangential accelerationRvan2dtdvat1-5 圆周运动说明：说明： 切向加速度反映了速度大小的变化，法向加速度切向加速度反映了速度大小的变化，法向加速度反映速度方向的变化。匀速率圆周运动只有法向反映速度方向的变化。匀速率圆周运动只有法向加速度，且大小不变方向总是指向圆心，因此也加速度，且大小不变方向总是指向圆心，因此也称称。 tana曲率圆曲率圆 曲率半径曲率半径 切向加速度和法向加速度可切向加速度和法向加速度可以推广到任意曲线运动：以推广到任意曲线运动：dtdvat2van 圆周运动的总加速度：圆周运动的总加速度：tanaa22ntaaatnaatantadtdvdtvdaa1-5 圆周运动2. 2. 角速度和角加速度角速度和角加速度用极坐标表示圆周运动的运动函数：用极坐标表示圆周运动的运动函数：常数常数 Rr)(tOr质点的位置只需用一个坐标质点的位置只需用一个坐标 就可表示。就可表示。因此，用角量描述圆周运动更为简便。因此，用角量描述圆周运动更为简便。可以引入角速度和角加速度来描述可以引入角速度和角加速度来描述作圆周运动质点的位置和速度变化。作圆周运动质点的位置和速度变化。dtdtt0lim：220limdtddtdtt：与角速度对应速率与角速度对应速率v 也称为也称为1-5 圆周运动角量与线量的关系：角量与线量的关系：RvRatRRvan22用笛卡儿坐标表示匀角速圆周运动：用笛卡儿坐标表示匀角速圆周运动：)cos(0tRx)sin(0tRy0ORyx),(00yx关于角速度和角加速关于角速度和角加速度的积分关系：度的积分关系：tdt00tdt00t0对于角加速恒定的圆周运动对于角加速恒定的圆周运动20021tt求求:(1):(1)质点原来的质点原来的转动角速度转动角速度 与线速度与线速度 .(2).(2)从开始减速开始计时从开始减速开始计时, ,当当t=80s时质时质点的角加速度点的角加速度 , ,切向加速度切向加速度 , ,法向加速度法向加速度 和总加速度和总加速度 . . tanaa00vtanavPRa质点原来转动的线速度为质点原来转动的线速度为:)/(8 .1860180220sradn质点原来的转动角速度为质点原来的转动角速度为:)/(42. 95 . 08 .1800smRv角加速度恒定角加速度恒定,t0根据根据:所以所以:20/209. 0605 . 18 .180sradtA切向加速度为切向加速度为:)/(105. 05 . 0209. 02smRat切向加速度的大小是恒定的切向加速度的大小是恒定的,方向与速度方向与速度v的方向相反的方向相反法向加速度为法向加速度为:Ran280)/(08. 280209. 08 .18,080sradt)/(16. 25 . 008. 222sman方向指向圆心方向指向圆心质点的总加速度的大小为质点的总加速度的大小为:)/(16. 2222smaaatn质点的总加速度的方向为质点的总加速度的方向为:设总加速度的方向与半径的夹角为设总加速度的方向与半径的夹角为 ,0486. 016. 2105. 0tanntaa78. 2)0486. 0arctan(vPnataaR1-6 相对运动ABt车物r相对不同参考系，物体的运动状态不同，但运动状态相对不同参考系，物体的运动状态不同，但运动状态之间存在一定的联系之间存在一定的联系。地车r地物rABtt车物r设有两个相对平动的参考系（地面和车），物体从车设有两个相对平动的参考系（地面和车），物体从车内内A点移到点移到B点，经点，经 t 时间。考察相应的位移：时间。考察相应的位移：trtrtr0地车车物地物rrr0rrr或或0tuvvuvv 变换变换反变换反变换yyu1-6 相对运动uvv速度变换：速度变换：dtuddtvddtvd加速度变换：加速度变换：0aaa 特别地，当特别地，当 常量时，常量时， ，有，有即相对作匀速直线运动的两参照系中观察，质点的加速度是即相对作匀速直线运动的两参照系中观察，质点的加速度是00dtudauaa地车r地物r车物rAABBtrtrtr00rrr不同参照系看相同？不同参照系看相同？问题问题：相等的。相等的。1-6 相对运动 Galileo速度变换的适用条件：速度变换的适用条件： 低速（低速（ ） 参照系相对运动为参照系相对运动为平动平动（无转动）（无转动）cu 高速下用相对论速度变换式高速下用相对论速度变换式变换变换不同参照系不同参照系合成合成同一参照系同一参照系 速度变换不同于速度合成速度变换不同于速度合成说明说明： Galileo速度变换是基于长度量和时间间隔测量的绝速度变换是基于长度量和时间间隔测量的绝对性的基础上的。对性的基础上的。 长度和时间间隔的测量值与参照系无关，即时间长度和时间间隔的测量值与参照系无关，即时间和空间具有绝对意义和空间具有绝对意义绝对时间绝对时间和和绝对空间绝对空间解解:利用速度变换式，利用速度变换式，车地雨车雨地uvviu20车地在地面参考系观察在地面参考系观察:jv10雨地雨车vsm/4 .22201022 例例 雨天一辆客车在水平马路上以雨天一辆客车在水平马路上以 的速度向东开行，雨滴的速度向东开行，雨滴smv/20车smvd/10在空中以在空中以 的速度竖直下落。求雨滴相对车箱的速度。的速度竖直下落。求雨滴相对车箱的速度。xxyyoodv2arctan, 21020tan即雨车viu20车地jv10雨地雨车v
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