11.2三角形全等的判定

一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图，你能制作一个与原来同样大小的新了，如图，你能制作一个与原来同样大小的新教具吗？怎样才能保证制作的新教具与原来的教具吗？怎样才能保证制作的新教具与原来的全等呢？全等呢？CBEAD1了解三角形的稳定性；了解三角形的稳定性；2掌握三角形全等的条件：边边边、边角掌握三角形全等的条件：边边边、边角边、角边角、角角边；边、角边角、角角边；3能运用全等三角形的条件，解决简单的能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题推理证明问题1培养空间观念，推理能力，发展有培养空间观念，推理能力，发展有条理地表达能力；条理地表达能力；2经历探索三角形全等条件的过程，经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程体会利用操作、归纳获得数学结论的过程1经历和体验数学活动的过程以及数学经历和体验数学活动的过程以及数学在现实生活中的应用，树立学好数学的信心；在现实生活中的应用，树立学好数学的信心；2通过课堂学习培养敢于实践，勇于发通过课堂学习培养敢于实践，勇于发现，大胆探索，合作创新的精神；现，大胆探索，合作创新的精神；3在探索直角三角形全等条件及其运用在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理单的推理1运用直角三角形全等的条件解决一些实运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题；际问题；2三角形全等的条件三角形全等的条件1寻求三角形全等的条件；寻求三角形全等的条件；2灵活运用三角形全等条件；灵活运用三角形全等条件；3熟练运用直角三角形全等的条件解决一熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题些实际问题判断两个三角形全等的推理过程，叫做判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等证明三角形全等已知已知ABC，画一个，画一个DEF，使，使 DE=AB，EF=BC，DF=AC1画线段画线段DE=AB；2分别以分别以D、E为圆心，线段为圆心，线段AC、 BC为半径画弧，两弧交于点为半径画弧，两弧交于点F；3连接线段连接线段DF、EFDEABCFABCABC证明：证明：D是是BC的中点，的中点，BD=CD在在ABD和和ACD中，中， AB=AC， AD=AD（公共边），（公共边）， BD=CD，ABD ACD（SSS）ABCD例例1 已知已知ABC是一个钢架，是一个钢架，AB=AC，AD是连结点是连结点A与与BC中点中点D的支架求证：的支架求证：ABD ACD.在在ABC中，中，AB=AC，D是是BC中点，中点，点点E在在AD上找出图上找出图中全等的三角形，并说中全等的三角形，并说明它们为什么是全等的？明它们为什么是全等的？DBCAE1已知：如图，已知：如图，ABAD，CB=CD 求证：求证： B= D在在ABC和和ADC中，中， ABC ADC（SSS） B= D（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等）证明：连结证明：连结AC，BCDAABAD，CBCD，ACAC（公共边），（公共边），证明：证明：BE=CF（已知），（已知），即即 BC=EF在在ABC和和DEF中，中，AB=DE（已知），（已知），AC=BF（已知），（已知），BC=EF（已证），（已证），ABC DEF（SSS）A=D（全等三角形对应角相等）（全等三角形对应角相等）FABECD BE+EC=CF+EC，2如图，已知点如图，已知点B、E、C、F在同一条直线在同一条直线 上，上，AB=DE，AC=DF，BE=CF求证：求证： A=D 已知已知ABC，画一个，画一个 ABC ，使，使 AB =AB，BC =BC， B =BABC1画画B =B；2在射线在射线BO上截取上截取BC=BC，在射线在射线BF上截取上截取BA=BA3连接连接AC以点以点B为圆心，任意长为半径画弧，为圆心，任意长为半径画弧，分别交分别交BA、BC于点于点M、N；画一条射线画一条射线BO，以点，以点B为圆心，为圆心，BM长为半径画弧，交长为半径画弧，交BO 于点于点P；以点以点P为圆心，为圆心，MN长为半径画弧，长为半径画弧，与上步骤所画的弧交于点与上步骤所画的弧交于点Q；过点过点Q画射线画射线BF，则，则OBF =BABCABCMNOPQF作一角等于已知角作一角等于已知角ABC（DEF（例例2如图，有一池塘，要测池塘两端如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和和B的点的点C，连接，连接AC并延长到并延长到D，使，使CD=CA连连接接BC并延长到并延长到E，使，使CE=CB连接连接DE，那么量，那么量出出DE的长就是的长就是A、B的距离为什么？的距离为什么？ABCDE证明：证明：在在ABC和和DEC中，中，CA=CD，ACB=DCE，CB=CE，ABC DEC（SAS），），AB=DE证明：证明：在在ABC 和和ADC中，中，AB = AD （已知），（已知），CB = CD（已知），（已知），AC = AC （公共边）（公共边） ABC ADC（SSS），）， BAO = DAO （全等三角形的对应角（全等三角形的对应角相等）相等）如右图，已知：如右图，已知：AB=AD，CB=CD求证：求证：ACBDACBDO在在ABO 和和ADO中，中，AB = AD （已知），（已知）， BAO = DAO （已证），（已证），AO= AO （公共边），（公共边）， ABO ADO（SAS），）， AOB = AOD （全等三角形的对应（全等三角形的对应角相等）角相等） AOB = AOD=90 ACBD（垂直定义）（垂直定义） 又又AOB + AOD =180（邻补角定义），（邻补角定义），306030606030两个角及这两个角及这两角的夹边分两角的夹边分别对应相等别对应相等两个角及其两个角及其中一角的对边中一角的对边分别对应相等分别对应相等已知：任意已知：任意ABC，画一个，画一个ABC，使，使AB =AB，A =A，B=B画法：画法：1画画AB=AB，2在在AB的同旁画的同旁画DAB =A ，E BA =B，AD、BE交于点交于点CABC就是所要画的三角就是所要画的三角形形ABCABCDE用符号语言表达为：用符号语言表达为：在在ABC与与DEF中，中，AB=DE，A=D，B=E， ABC DEF（ASA）ABDECF证明：证明： 在在ABC中，中， C=180AB在在DEF中，中，F=180- D- E又又 A=D，B=E， C= F在在ABC和和DEF中，中， B=E， BC=EF， C=F， ABC DEF（ASA）ABDECFABDECF AD = AE（全等三角形的对应边相等），（全等三角形的对应边相等），又又 AB = AC（已知（已知 ），）， AB AD = AC AE即：即：BD = CEABEOCD证明：在证明：在ABE 和和ACD中中 A =A（公共角），（公共角）， AB = AC（ 已知已知 ），）， B =C（ 已知已知 ），）， ABE ACD（ASA），），例例3 已知：点已知：点D在在AB上，点上，点E在在AC上，上，BE和和CD相交于点相交于点O，AB=AC，B=C求证：求证：BD = CEDCBAEF1已知：如图，点已知：如图，点B，F，C，E在同一条直在同一条直 线，线，FB=CE，ABED，ACFD， 求证：求证：AB=DE，AC=DF 证明：证明：FB=CE（已知），（已知），BC=EF ABED，ACFD（已知），（已知），B=E，ACB=DFE（两直线平行，（两直线平行，内错角相等）内错角相等） 在在ABC与与DEF中，中，BC=EF（已证），（已证），B=E（已证），（已证），ACB=DFE（已证），（已证）， ABC DEF（ASA），）， AB=DE，AC=DF（全等三角形对应边相（全等三角形对应边相等）等）DCBAEF2已知：如右图，已知：如右图，AB、CD相交于点相交于点O， ACDB，OC = OD， E、F为为 AB上两上两 点，且点，且AE = BF求证：求证：CE=DFODBACEF证明：在证明：在AOC 和和BOD中，中， ACDB，A = B （ 两直线平等，内两直线平等，内错角相等错角相等 ）又又 AOC = BOD（对顶角相等），（对顶角相等），A = B （ 已证已证 ），），OC = OD（已知），（已知）， AOC BOD（AAS） AC = BD在在AEC 和和BFD中，中， AC = BD（已证），（已证），A = B （已证），（已证），AE = BF（已知），（已知）， AEC BFD（ASA），）， CE = DFODBACEF3已知：已知：AB DE， AB=DE， 1=2 求证：求证：BG=DF （中考题）（中考题）ABFEDGC12提示：证提示：证ABF和和EDG全等全等CBA一同学不小心打破了一块三角形的一同学不小心打破了一块三角形的玻璃，如图：他应该拿哪一块回玻璃店玻璃，如图：他应该拿哪一块回玻璃店做一块与原玻璃一模一样的？做一块与原玻璃一模一样的？判定一般三角形全等的方法有哪几种？判定一般三角形全等的方法有哪几种？若这两个三角形是直角三角形，那么这些判若这两个三角形是直角三角形，那么这些判定方法适用吗？判定直角三角形全等有特殊定方法适用吗？判定直角三角形全等有特殊方法吗？方法吗？答：答：SSS，SAS，ASA，AASABCRtABC RtABC 画法：画法：1画画MCN=902在射线在射线CM上取上取BC =BC3以为以为B圆心，圆心，AB为半径画弧，为半径画弧，交射线交射线CN于点于点A4连接连接ABABCMNBACDEF如图，具有下列条件的如图，具有下列条件的RtABC与与RtDEF（其中（其中CF90）是否全等，）是否全等，在（）里填写理由；如果不全等，在（）在（）里填写理由；如果不全等，在（）里打里打“”： （1）ACDF，AD （ ） （2）ACDF，BCEF （ ） （3）ABDE，BE （ ） （4）AD，BE （ ）ASASASAASACBDEF1直角三角形是特殊的三角形，所以不直角三角形是特殊的三角形，所以不仅可以应用一般三角形判定全等的方法，还仅可以应用一般三角形判定全等的方法，还有直角三角形特殊的判定方法有直角三角形特殊的判定方法“HL”公公理理2使用使用“HL”公理时，必须先得出两个公理时，必须先得出两个直角三角形，然后证明斜边和一直角边对应相直角三角形，然后证明斜边和一直角边对应相等等4直角三角形全等的判定方法有五项直角三角形全等的判定方法有五项依据：依据：“SAS”、“ASA”、“ AAS”、“SSS”、“HL”其中，其中，“HL”公理只适用于公理只适用于判定直角三角形全等判定直角三角形全等3两个直角三角形中，由于有直角相等两个直角三角形中，由于有直角相等的条件，所以判定两个直角三角形全等只须找的条件，所以判定两个直角三角形全等只须找两个条件（两个条件中至少有一个条件是一对两个条件（两个条件中至少有一个条件是一对边相等）边相等）三边对应相等三边对应相等 （SSS）一锐角和它的邻边对应相等一锐角和它的邻边对应相等 （ASA）一锐角和它的对边对应相等一锐角和它的对边对应相等 （AAS）两直角边对应相等两直角边对应相等 （SAS）斜边和一条直角边对应相等斜边和一条直角边对应相等 （HL）判断判断三角三角形全形全等的等的条件条件ABCDABC DCB (SSS) 1如图，如图，AB=CD，AC=BD，ABC和和DCB 是否全等？试说明理由是否全等？试说明理由 解：解：ABC DCB理由如下：在理由如下：在ABC和和DCB中，中， AB = CD， AC = DB， BC= CB，2如图，如图，D、F是线段是线段BC上的两点，上的两点，AB=EC， AF=ED，要使，要使ABF ECD ，还需要条，还需要条 件件_BF=CD 或或 BD=CFAEBDCF3已知：如图，已知：如图，AB=CB，ABD = CBD 问问AD=CD，BD 平分平分ADC吗？吗？ABCD证明：在证明：在ABD与与CBD中，中，AB=CB，ABD=CBD，BD=BD，ABD CBD（SAS）AD=CD，ADB=CDB，即，即BD平平分分ADC4如图，点如图，点E、F在在BC上，上，BE=CF，AB= DC，B=C，求证：，求证：A=D证明：证明：BF=BE+EF，CE=CF+FE，而而BE=CF，BF=CE在在ABF和和DCE中，中，BF=CE，B=C，AB=DC，BAD BAC （SAS），），A=DADBEFC5如图，如图，B点在点在A点的正北方向两车从路段点的正北方向两车从路段 AB的一端的一端A出发，分别向东、向西进行相出发，分别向东、向西进行相 同的距离，到达同的距离，到达C、D两地此时两地此时C、D到到B 的距离相等吗？的距离相等吗？BDAC证明：证明：在在BAD和和BAC中，中，BA=BA，BAD=BAC，AD=AC，则则BAD BAC（SAS）BD=BC，C、D到到B的距离相等的距离相等6已知：如图，在已知：如图，在ABC和和ABC中，中， CD、CD分别是高，并且分别是高，并且AC=AC， CD=CD，ACBACB 求证：求证：ABC ABCC A DBC A DB证明：证明： CD、CD分别是高，分别是高， ADC= ADC=90在在Rt ADC与与Rt ADC中，中，ACAC，CDCD， Rt ADCRt ADC（HL），）， A A在在ABC与与ABC中，中， A A， ACAC， ACBACB， ABC ABC（ASA） C A DBC A DB7如图：已知如图：已知ABC A1B1C1，AD、A1D1分分 别是别是BAC和和B1 A1 C1的角平分线求证：的角平分线求证： AD= A1D1 证明：证明： ABC A1B1C1 ，AB=A1B1，B=B1，BAC=B1A1C1（全等三角形的性质）（全等三角形的性质）又又 AD、A1D1分别是分别是BAC和和B1 A1 C1的的角平分线，角平分线，BAD=B1A1C1在在BAD和和B1A1D1中，中， B=B1， AB=A1B1， BAD=B1A1C1， BAD B1A1D1（ASA），）， AD= A1D1A1B1D1C1ABDC证明：证明： ABCD （已知）（已知）, B=D（两直线平行，内错角相（两直线平行，内错角相等）等）.在在ABE和和CDF中中, B=D（已证）（已证）, AB=CD（已知）（已知）, A=C （已知）（已知）, ABE CDF（ASA）, AB=AD.8如图，已知：如图，已知：ABCD，AB=CD，点，点B、 E、F、D在同一直线上，在同一直线上，A=C， 求证：求证：AE=CFBAEFDC9如图，如图，ABBC，ADDC，1=2， 求证：求证：AB=AD证明：证明：ABBC，ADDC（已知）（已知）, B=D=90.在在ABC和和ADC中中, 1=2 , B=D, AC=AC（公共边）（公共边）,ABC ADC（AAS）, AB=AD.ABCD（1 210如图，如图，C是路段是路段AB的中点，两人从的中点，两人从C同同 时出发，以相同的速度分别沿着两条直时出发，以相同的速度分别沿着两条直 线行走，并同时到达线行走，并同时到达D、E 两地两地DA AB，EBAB D、E与路段与路段AB的距离的距离 相等吗？为什么？相等吗？为什么？ ADCBE证明证明 DAAB，EBABA=B=90在在RtACD与与 RtBCE 中中 AC=BC CD=CE RtACD RtBCE（HL）AD=BE即即D、E与路段与路段AB的距离相等的距离相等1在在ABC和和ACD中，中， AB=AD，CB=CD，AC=AC， ABC ADC（SSS）2C是是AB的中点，的中点， AC=CB 在在ACD和和CBE中，中， AC=CB， AD=CE， CD=BE， ACD CBE（SSS）3可先证明可先证明ABE ACD4只要测量只要测量AB证明证明AOB AOB5可先证明可先证明ABC ABD6可先证明可先证明ACD BCE7可先证明可先证明ABD ACD8可先证明可先证明ABC DCB，得，得ABC =DCB；再证；再证ABD=ACD9可先证明可先证明ABC DEF10可先证明可先证明AOB COD，得，得 B=D11 可先证明可先证明ABC DEF12可先证明可先证明ADE CFE13ABD ACD，ABE ACE， BDE CDE