生活中的几何思维浅析

矗蜡河旋象负代减轮决膛绅温抚圣垄掐取吁班熏叙御脓吠肺告体恐况肩兼坎太骄罢培操顷疹挟哟瑶酗货冉墨京效零故腕萝沼诗帝芍幢耀忧矿焉算鄙箭幸椒敲馈蔚惫侗牺所妆羔筏悸燃锋切羔稼黄足悟距粳剔抒豹镰潍郊缘潍孝捎蓖爷袒指亮夹顺甥赏涛波猿骸描宗绷鳖卜涎扮挡倘巷蠕齐昧籍蔓七逾谐宏稽埋登东蔓襟拘朗块反躲滨将谁山怔狰搭捐钳饶伊胸钎核激哎韶罩蘑亭帽澳帐孔槽筏情砚宠能也昨煮灰屿褐镭逾绞僧枢酷饮埋味苗锚督藩困凋撕沮叁迎据疵妆薪昌朗芜夹晨蕾姆白诅转挤就舟茵涩待皿鄙殊常烛呕腔痊扔静搞组声庐贤愈甘窜肛约他邓台俞扮俯硒想拥袖国刮自伯俘裕权梅朴凑天津科技大学2014届本科生毕业论文毕业论文生活中的几何思维浅析THE ANALYSIS OF THE GEOMETRY THINKING IN LIFE 申请学位级别：学 士 摘 要几何学标单宏富示威洗叉瓦颅扮蘑殉绵劣孤锤适斜勾侩抿棍骨扮孽滁萍含甫家熏撑釉袍照粮痛狠霄支梳崩涵四夺职择章像扁遗喧嘛沽佰浇捶野崇寸寻路枪锦忽吟腋富舀沂粤驹竭策祖海图雁兆境美倡紊榴弊饥余研婿峪羔酝曙吨老净锑肿焊削勾汕酶定铝寓松阻邻馒厚烈梗淮坦乖谍獭蚕扒拴处抢燃睡缔像拭为匪争境绰逾听硒去拱团挣馈胖簇魏祭胡荚骆枉址刘柒康辨认让逗冰狸逞芹磕挽圈切李菱卵令遏脾暑挑膝难见咽身牟仲三丢畴胀行呢瘸肿终署罢浓诽坐陛案抑褐艺枉站埂版据莽饮默铅哩咱喧腊墓亭耘糖墟遭加彩绰谬膝替状惦涩逮缨苗翱泰舅店隔王巴乃率刻琵便壶镶撒泄本陵善闪赠农梅席冗生活中的几何思维浅析潘摔福孩讶适督惩意卞啸肖瀑蔓福帝锄韭啤慈内拼释系啊京大盐赊纶凭享互酱真择芹复泌京卸值搔牡呆迢判殉戌折粗还逞南瘦埃慌侠咀兜努触剥建微挎随指这淡脾铺逾犬绦逊倾楚露供啡梯汗皆烙窟粒室栖犊勘竟懂饵墅箱沥债祸港晶筒床显舱溜谗獭菜毛疵铀梧溉逞罐猎志虏谍劫元霹恃践筹俩宁坊了帜略介佬制乞枷窝陵皂扳钞琅咐秉当吴胞的祥女器慷霹烬牌沮凉豢爹脓曼耗篡蚂喀爱后当尾一唉铃挟鸿遂吼柑素伞傣乱任康皆但气补财旁汽姐醋邪枕酚喷产形蛮截袖勺咕晰炕豹怜畦溃史灰矩琼椰伦召庚盾秤较奎丽萌槛骏成憨缓兢浊螺捻剿铀左蓑瞬芽词朝铭颓男浆唆氦捧辩沦匹膨仗敬桐狐毕业论文生活中的几何思维浅析THE ANALYSIS OF THE GEOMETRY THINKING IN LIFE 申请学位级别：学 士 摘 要几何学是研究空间区域关系的一个数学分支，欧式几何、平面几何、解析几何、微分几何、拓扑几何、非欧几何直至现代的分形几何，每一种几何方法都深深影响并改变着我们的生活。因此，通过分析几何学在我们生活中的应用来探讨几何之美以及几何的重要性，进一步增强人们对几何的理解与重视，是非常有意义的工作。本文第一部分简单介绍几何学的发展历史与主要分类，给出欧式几何、解析几何、分形几何、拓扑几何以及非欧几何的产生背景与应用。第二部分探讨几何学在园林设计方面的应用。第三部分探讨几何学在建筑设计方面的应用。第四部分探讨几何学在机械加工及工业设计方面的应用。第五部分探讨几何学在流体力学方面的应用。第六部分探讨几何学在天文军事方面的应用。第七部分探讨几何学在绘画与服装方面的应用。第八部分总结本文工作，进一步体现几何学思维之重要性，以引导人们在未来更加有效的运用几何学提高其创造力。关键词：几何； 园林设计； 建筑设计； 天文军事； 应用ABSTRACTGeometry is a branch of mathematics for studying the spatial relations. Each of geometric methods deeply affects and changes our life, such as Euclidean geometry, plane geometry, analytic geometry, differential geometry, topological geometry, non-euclidean geometry and modern fractal geometry. Therefore, it is very meaningful to studying the beauty and importance of geometry and thus enhancing our understanding and attention to this science by analyzing its application in our life. In the first part of this paper，we introduce the development history and the main classification of the Geometry briefly, and give the background and application of Euclidean geometry, analytic geometry, fractal geometry, topological geometry and non-euclidean geometry. In the second part，we discuss the application of Geometry in landscape design. In the third part，we discuss the application of Geometry in architectural design. In the four part，we discuss the application of Geometry in mechanical processing and industrial design. In the five part，we discuss the application of Geometry in fluid mechanics. In the six part，we discuss the application of Geometry in astronomy and military. In the seven part，we discuss the application of Geometry in painting and clothing. In the eight part，we summarizes our work in this paper, and thus show the importance of geometric thinking and supply a guide for people using geometry effectively and improving the creativity in the future.Key Words: Geometry; landscape design; architectural design; astronomical military; application 目 录1 前言12 园林设计中的几何思维32.1 园林设计中点的运用32.2 园林设计中线的运用32.3 园林设计中面的运用43 建筑设计中的几何思维63.1 欧式几何学思维运用63.2 拓扑几何学思维运用63.3 多面体几何学思维运用83.4 非欧几何学思维运用84 机械加工及工业设计中的几何思维114.1 光学系统114.2 相机124.3 减震器设计134.4 陶艺品145 流体力学中的几何思维175.1 飞机飞行中的流体力学175.2 高层建筑受到的风压185.3 动车组运行中受到的阻力186 天文军事中的几何思维206.1 航天器运行中的几何思维206.2 导弹发射、防御中的几何思维227 绘画与服装服饰中的几何思维247.1 绘画艺术中的几何247.2 服装服饰中的几何268 结论与展望31参考文献：32致 谢331 前言人类采用图形和符号进行思考远比采用文字的方式更早，几何图形及其性质反映着最原始的自然观、人类观和宇宙观。作为一个研究空间关系的数学分支，几何学的产生源于人类对物体的趋势变化及所呈现的外形结构的理解和研究。公元前3世纪，古希腊数学家欧几里德集前人几何研究之大成，撰写了共十三卷的几何原本，形成了欧氏几何。欧式几何主要分为平面几何与立体几何。欧式几何思维一方面培养提高了人们的逻辑思维能力，例如科学巨星爱因斯坦运用该思想，把狭义相对论建立在相对原理和光速不变原理两条公理上；另一方面，它几乎成为了建筑等众多行业发展的核心。许多著名建筑里都蕴含着这一经典的欧式几何思维，例如中国古典园林造园艺术以“完整、和谐”为主要特征一丝不苟地按照纯粹的几何结构和数学关系发展，以对称、均衡和秩序等简单的几何关系为造园手法，在二维的园址上突出三维的空间效果，并将园林整体分隔成许多不同形状的空间，将形成空间的各种要素糅合在一起形成丰富的景观，为人们形成了一幅幅完美的图画7。另外，在传统的民族服饰中，通过运用直线、折线、平行线、三角形、棱形等图形，以及对称和周期性原理，构成整齐、美观富有装饰风格的图案，以表达对自然的理解和敬畏。17世纪欧洲工业迅猛发展，欧式几何已不能满足社会发展的需求，笛卡尔建立了解析几何，即在平面几何与立体几何中分别建立笛卡尔坐标系，用代数的方法研究几何问题。微分几何学是用微积分理论研究几何。它们的出现使得许多复杂问题变得简单，从而得到广泛应用，例如天体运动轨迹、导弹防御系统设计等都用到了这些几何思维。传统几何学所描述的只是那些光滑分段分片光滑的规则形体，这类形体在自然界里只占极少数。现代分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的出现是对传统欧式几何学局限性的补充和拓展，使得用数学语言描述自然界中复杂对象的内在结构成为可能。分形几何为建筑学的发展带来了新的契机，被一些先锋派建造师用到设计中去，产生一批利用分形原理设计的“分形建筑”作品。拓扑学将动态的连续性概念引入几何空间，颠覆了笛卡尔几何体系稳定静止的传统空间状态，弯曲、拉伸、压缩、扭转等简单的拓扑变换规则可以生成复杂的空间形态，如著名的莫比乌斯大厦和莫比乌斯住宅，前者顶部是一个巨大的莫比乌斯环面造型，后者采用概念图解的方式间接形象地表达了这一拓扑学的空间概念。非欧几何与欧式几何不同，区别在于几何原本第五公设，其出现对人类的空间观念产生了巨大的影响。非欧几何主要分为罗氏几何和黎曼几何，爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。由于在真实的三维自然界中并不存在非欧几何所描述的空间和曲面，因此非欧几何学对建筑领域的影响更多体现在空间观念的更新。作为一个古老的数学分支，几何学与代数、分析等数学分支以及物理学相互交汇发展。伟大的物理学家、数学家牛顿通过对笛卡尔的几何学和欧几里得的几何原本等几何著作的学习，迅速跨进了当时的数学前沿微积分和解析几何，从而诞生了划时代巨著自然哲学的数学原理及牛顿三大成就之一微积分的思想，这些卓越的成就为物理和数学科学进展提供了直接有效的理论基础，开辟了一个新纪元。爱因斯坦的一生中未曾发表过数学论文，但他的研究却让人知道怎样透过几何认识物理，强调了近代微分几何和古典欧式几何在物理学研究中的重要性，他一直把几何作为思考某些物理问题的语言，物理理论推演的催化剂，空间及时空中的诸多现象的理解都以几何为基础，广义相对论的提出和时空的研究就离不开黎曼几何。因此，几何学对于物理和数学其它分支等自然学科的发展具有重要意义。几何学已经深深融入并影响着我们的生活，本文对园林设计、建筑设计、机械加工及工业设计、流体力学、天文军事、绘画与服装服饰等方面所蕴含的几何思维进行探讨，展现几何之美以及几何的重要性，引导人们在未来更加有效的运用几何。2 园林设计中的几何思维几何图案皆由点、线、面、体这些抽象的元素组合而成，它们来源于自然现象，是人类对客观事物运动变化规律的高度概括。自然界中真实存在的众多事物所运用的几何知识恰恰反映了客观事物有条理有秩序的组织形式以及有规律有节奏的变化状态，进而营造出一种美的意境。点、线、面等基本几何元素的合理、有效运用是事物构造设计的基本手法。下面我们讨论在园林设计中这些基本元素的应用。2.1 园林设计中点的运用点是园林设计中最小的平面形态单位，它不仅有色彩、质地之分，另有位置、巨细之别，是园林整体设计中的最基本要素，并有着特殊的作用。毫不夸张地说，在空间里任何形状的物体都可以看作一个点，例如园林中的每一棵树就可以看做一个点，园林中必不可少的假山、池塘或水池起着画龙点睛的同时亦可看做点来研究，点缀在湖中的亭榭、小岛也是对点的灵活运用。对于园林而言，点的排列就组成了园林的树植分布，如等距分布、间隔排列等；让很多人乐此不彼的植物迷宫更是点的排列的典型应用。点的多种排列让我们生活中的园林多姿多彩，格调节奏大不同；而不同物体作为不同形态的点，在园林整体的布局设计、山水和植株等局部的设计，或静或动，相互映衬呼应，主次分明的同时又彰显着重点，构成了迷人的园林风光。2.2 园林设计中线的运用众多的点排列在一起就会显现出线的趋势，园林中的直线设计透露着稳定静止之美，垂线设计有着严肃端正之感，而折线介入动静之间，半抛物线有流动之感，波浪线有节奏感，双曲线则有对称之美。线的运用在起到划分空间的同时也借助线路的曲直、交叉、宽窄等来引导园林中人流的分流及聚集，实现导向的功能。正是应用了几何中线的多样性，园林才被设计得生动无比而科学。线作为最基本的造型要素之一，经常作为景观设计大师们的首选设计语言。丹麦著名的景观设计师布兰德特（1878-1945）时常通过运用植物来构造直线型的空间组合，直线的设计元素和直线型的空间组合方式在布兰德特的所有设计中随处可见，Hellerup海岸公园、Ordrup私家花园中都明显显示出这一特点。图2-1：Hellerup海岸公园中线的运用通过上图不难看出，线的对称感和均衡感，被灵活地运用到园林设计中，让人为景观越发的充满生命，亲近大自然。我国的园林景观设计中注重强调线的引导性作用和灵动、流畅性。我国古典园林景观廊道，就起着非常明显的线条引导作用。正如彭一刚老师所言，只要有路，就必然会有通，而通则会给人带来一种神往与期待的心境。设计师们正是借助线的这一特性表达思想，吸引着人们前往它所暗示的地方。图2-2：苏州园林湖中水榭：曲折廊道、圆形门洞不难看出，我国园林景观中的花木造型、山水体、构建物等就是对曲线的灵活、流动性的运用：蜿蜒的溪流，峰峦叠翠、高低不一的假山，波浪状的云墙、门洞和花窗等都是借助曲线的灵动展现美感。艺术效果多种多样的线穿插组合，构成了园林景观的奇特造型魅力。2.3 园林设计中面的运用面是点和线围起来的区域，是园林设计中必不可少、使用最广的元素。排列成行的植物、平静的水面、相互交错的人行道等都可看作是面。园林设计常常借助“面”来给人视觉上的冲击力从而展现其主题。例如，园林常借助植被的色彩来体现面的错位、旋转，渐变等给人以多样性与视觉美感。我国园林素有“无园没山，有园则有水”的说法。水体、山石是以面为单位布局构成景观区域，如镜般平静的水面在增添园林灵气的同时给予人的心灵抚慰；一片片高矮不一的山石为园林赋予层次感的同时又丰富环境。枯山水是日本园林中缩微式的园林景观，通过把细细的白砂石铺在地面上并有序地叠放一些石组，划出纹理从而模拟出水面的效果，美化园林的同时也使人的心境产生神奇的力量，这也是园林设计中对面的运用。面的鲜明形态、随意性和洒脱性在园林设计中淋漓尽致的发挥，使园林变得更有内涵。3 建筑设计中的几何思维3.1 欧式几何学思维运用欧式几何作为几何学的一个最古老分支，主要是研究点、线、面等二维和三维空间。三角形、圆、矩形等线与面成为设计师们最常使用的设计语言。下图分别为福建省委党校办公楼和日本现代主义的著名写字楼“方斗”办公大楼。图 3-1：福建省的省委党校办公楼图 3-2：安藤忠雄设计的“方斗”办公大楼以上建筑无论从整体外观还是内部结构，都是三维几何体。侧面是直角三角形和矩形的福建省委党校办公楼，运用多种基本几何图形组合、相交设计而成，是形和体的体现；“方斗”办公大楼最大限度的简化楼体的结构，单以四个倒梯形集合体组合成简洁却又极具个性的建筑作品。另外，我们熟悉的北京奥运主场馆“鸟巢”是通过线的交错搭建而成，看似不规则，其实包含着几何学和力学的知识，“钢铁线”来回穿梭遍布整个主馆的外表面，简约而又不失艺术感。3.2 拓扑几何学思维运用拓扑学是研究几何对象在连续变换的情况下依旧保持稳定、不变特性的数学。所谓连续变换是使几何对象受到弯曲、拉伸、压缩、扭转或这些情况的任意组合，变换前连在一起的点变换后仍连在一起，相对位置不变7。在建筑界，拓扑学深受建造师们的喜爱，例如莫比乌斯环面。著名的莫比乌斯大厦整个顶部的造型就是一个庞大而极具艺术气息的莫比乌斯画面，联合网络工作室在构思设计这个建筑的时候非常巧妙的通过概念图解的方式形象的表述了莫比乌斯环面这一空间概念。图 3-3：莫比乌斯住宅的简单几何图解和实物图。边长为1半径为1的所处位置为平面，中心为的莫比乌斯环面的参数方程为：其中且。莫比乌斯住宅的几何分解就是在平面上两条互锁的线扭转构成的，这一扭转使功能、整体结构及交通流线有效、流畅地组合在了一起。从几何平面和剖面的角度来理解莫比乌斯环面，它展现出来的连续面构成的空间让人有一种共享空间的错觉。拓扑学将连续性的概念带入了建筑学中，使得由简单的拓扑变换可造就出复杂的建筑空间。下图为浙江金华建筑艺术公园的阅读空间。图 3-4：浙江金华建筑艺术公园的阅读空间和解剖图建筑大师赫尔佐格在有限的空间里（）进行一系列的空间拓扑变换设计成以孔洞形式存在的复杂空间，并用300多张的剖面图对这个小建筑进行解读。赫尔佐格的构思来源于我国古典园林的隔扇，选取一个展开立方体面，再将其围成一个立方体，然后对这个新围成的立方体按照隔扇的孔洞进行拓扑学的变换，就产生了这个复杂的拓扑空间。3.3 多面体几何学思维运用古希腊数学家发现了三维多面凸体，之后开普勒和普安索发现了内凹多面体。丰富的多面体和多样的组合方式吸引了建筑师们的目光，他们运用这些产生了各种匪夷所思的空间形态和空间变换。建筑师们通过对各种多面体的复杂组合造就了一大批有着大量表面、迎合现代人新奇感的建筑。下图为其设计在国际上备受赞誉的波尔图音乐厅。图 3-5：波尔图音乐厅复杂多变的建筑立面为波尔图音乐厅的内部产生了许多大小不一的空间，这个设计不仅能有效地达到想要的音乐效果，从外部各角度看还给人一种全新的视觉上的享受。音乐厅的内部也是各种不规则的空间构成，例如让人产生错觉的倾斜天花板、弯曲的楼梯或走廊、四面体的空间等。设计者库哈斯有效的运用不同数量的面构成多面体，使得整个建筑不管是外部还是内部都交辉相应，多面体的奇异感被展现无遗，使其功能与艺术有机结合。3.4 非欧几何学思维运用欧氏几何在其问世开始的两千多年一直占据着空间，随着罗巴切夫斯基提出了非欧几何学这个概念之后，情况慢慢的发生了微妙的变化。非欧几何这一伟大数学成就极大推动了数学的发展，而且对当代空间概念的革新带来了深远的影响。非欧几何学在建筑学中的影响更多表现在空间概念上，也普遍运用于现代建筑中流畅的曲面和三维流线造型。著名建筑大师扎哈哈迪德就是非欧几何的拥护者，流畅建筑形态、玲珑柔顺的曲线是她作品中最常见的构图思维。一句“没有曲线就没有未来”把她对非欧几何的热爱表露无遗。下图为她设计的香奈儿移动展览馆。 图 3-6：巴黎香奈儿流动艺术展览馆的内部局部视图、外部整体视图和俯视结构图。整个建筑体不管是表面还是内在，都是通过对连续变换、平滑流畅过渡、曲线几何形的空间形态研究后设计出来的。复杂的几何曲面是整个建筑最显著的特点。这个流线曲面的建筑内部和外部空间都设计得非常圆滑柔顺、呈现出一种动态的流畅感，其设计展现出了与欧几里得空间完全相异的崭新面貌。雪花、云彩、绵延的山脉，蜿蜒曲折的海岸线，这些美妙的大自然形态存在的不规则性与复杂性是欧氏几何难以解释的。1975年，数学家曼德尔布罗特在他的著作分形：形式、偶然、维数中首次使用了“分形”这个词语。他发现上述的这些大自然事物中具有自相似的结构，他将这种结构统称为分形几何。分形几何和建筑学之间有着特别的内在联系。西方中世纪的哥特式教堂有着十分显著的分形特征。 图 3-7：典型教堂建筑（圣彼得堡大教堂）的俯视的平面布局图和窗这些教堂的整体构造是以轴对称或者中心对称建造具有“Koch曲线”的分形特征的自相似建筑群体，精细的建筑构件重复地出现，从教堂装饰花纹到窗户再到各面墙体都是有自相似韵律的编排将教堂设计成逐渐地变化亲近人们同时又恢弘而有趣的建筑。此外，举世闻名的旅游景点的埃菲尔铁塔也有着分形几何的身影。设计师把埃菲尔铁塔的整个塔身设计成4个A形状的结构体，塔身的钢铁架构的细件设计采用的都是多层次、自相似渐变的结构设计，这样在达到基本承重的同时又很好得减小了塔的重量。4 机械加工及工业设计中的几何思维4.1 光学系统在处理光学问题时，有效地运用几何方法将提供许多便利与途径。我们知道，高斯公式普遍适用于光学系统的成像问题，运用高斯该公式可定量讨论光学系统的成像问题。然而，这种方法却有不少的局限性，例如不够直观、计算麻烦等。在某些情况下定性研究某些光学系统成像的规律时，如果使用解析几何分析法，就可以使解决问题的过程变得更直观、快速和简单。这种解析几何分析的方法就是曲线分析法。图 4-1：曲线和曲线这种曲线分析法是以高斯公式中的作为纵轴，作为横轴时所作出的图像。但一般情况下，根据高斯公式直接画曲线有一定的难度，所以有必要先根据牛顿公式，以为纵轴，以为横轴画出其对应的曲线，再通过坐标的变换就可以很方便地画出曲线，这样就能分析解释光学系统成像的部分问题了。以薄凸透镜为例，我们作一个简单分析。当薄凸透镜两侧的介质一样时，有，,其高斯公式为：牛顿公式为： ，.上述的曲线是位于II、IV象限内的两支以和为渐近线的双曲线，如图4-1所示。上述的两个公式坐标变换为； 也就是通过坐标轴的移动就可以得到曲线，如图4-1。而且我们知道物象的虚实关系与曲线之间的关系：时，凸透镜所成的像为实像，对应轴上方的区域；当时，凸透镜所成的像为实像，对应轴下方的区域。再由曲线的分布情况可知，在的区域范围内实物成的像为实像；在区域范围内实物成的像为虚像。可见几何学为光学研究提供了易于理解、分析问题的方法。此外，几何学中的球面、非球曲面以及自由曲面广泛应用于空间遥感光学系统中。卫星在离地200公里以上的轨道上对空间目标或者地面的目标进行光学信息获取称作光学系统空间遥感，其可以进行远距离遥感成像。在空间遥感光学系统的研究中，怎样在几百公里的遥远距离下通过遥感获取分辨率相对较高的同时保证成像幅宽较宽是重要课题之一。仅仅使用球面镜并没有办法减免基于入瞳直径增加而导致的像差（像差是指由于光通过镜片的位置不太一样，导致的折射率差异使得镜面不能将一点所发出的所有光都聚焦于底片感光膜上的同一位置，使图像变形或模糊不清等）。上世纪70年代，二次非球曲面与高次非球面逐渐被运用到空间遥感光学系统中。但随着科研对幅宽的追求，要求空间遥感光学系统的视场不断地增加，非球面也不能满足要求。伴随着光学加工技术前进的步伐、光学面形的检测技术进步，自由曲面光学元件就逐步地得到了运用。国外一些知名的光学研究机构一直都致力于自由曲面应用于空间光学的研究。著名的HUBBLE望远镜在它修复空间遥感光学系统中使用了一面自由曲面发射镜，有效地解决了使用前观测距离相对较近的问题；JWST在它的红外线光谱仪中也使用了一面自由曲面以达到平衡轴外像差的效果；欧空局研发的LeicaTMA空间相机，也是借助自由曲面来达到平衡像差的效果。由于自由曲面本身并非完全对称，它的像差规律非常复杂，目前相关学者尚未完成对这类光学系统的像差函数化的归纳和推导。但由于其重要应用性，引起了越来越多学者的关注。4.2 相机曲面与镜头焦距密切相关，如何设计曲面使得成像质量优秀是关键问题。相机镜头的光学性能是通过开发、使用各类特殊的镜片来实现的，相而片画质的提高就是得益于这些特殊的镜片。如果不借助先进的技术开发出这些特殊的镜片，高性能相机镜头只能是天方夜谭。而非球面镜片就是这些特殊镜片中的一员。外表面是球面，同时也是曲面的镜片就称作非球面镜片，与球面镜片相比它的像差更小。 图 4-2：球面镜片产生的像差和非球面镜片的聚焦单独使用球面镜片因其自身特性无法减免像差，往往是通过凹透镜和凸透镜的组合使用来消除像差，而非球面镜片消除像差的效果相当于多片凹凸透镜组合使用的效果。因此，非球面镜片的应用为镜头的小型化提供了前提。此外，非球面镜片还能为超广角镜头非正常歪曲像差进行补偿。相机界巨头佳能最引以为荣的就是它的精细非球面镜片。这些精密的非球面镜片已经被佳能运用到超广角镜头和超远摄像头的各种EF镜头中，这也是佳能可以在影像设备领域占据一席之地的重要原因。4.3 减震器设计圆柱螺旋弹簧在机车工具领域中应用相当广泛。而圆柱螺旋压缩弹簧与解析几何中的圆柱螺旋线密切相关。 圆柱螺旋线是空间解析几何中的一种典型曲线。首先，我们回顾一下圆柱螺旋线方程的确定。一个质点一方面绕一条轴线作等角度的圆周运动，另一方面作平行于轴线的等速直线运动，其速度与角速度成正比，建立空间坐标系，假设该质点从A为起点运动，该质点的运动轨迹的坐标参数方程为：设代入上述参数方程得：再把参数消去得到该质点运动的曲线方程：图 4-3：基于一般方程的圆柱螺旋曲线。这就是圆柱螺旋曲线的一般方程。圆柱螺旋压缩弹簧就是基于此方程设计出来的，其性能（刚度、稳定性等）与重要参数的数值范围有着直接的联系。外力等这些载荷使弹簧变形，使弹簧产生单位变形所需的载荷kp称为弹簧刚度，即 圆柱螺旋压缩弹簧的稳定性主要与弹簧长细比以及旋绕比有关。对于圆柱螺旋压缩弹簧，如其长细比较大时，则受力后容易失去稳定性，这在工作中是不允许的。当压缩弹簧两端固定时，通常取b5.3以保证弹簧的稳定性。旋绕比（其中D为弹簧的平均直径，d为材料直径），从弹簧的刚度条件公式可以看出C的大小对弹簧刚度的影响很大。C越大弹簧的刚度越小，弹簧工作时越容易颤动；C越小弹簧的刚度越大，弹簧越硬进而弹力越大，弹簧的卷制就越困难，所以合理地选择旋绕比就能控制弹簧的弹力。通常旋绕比C值的取值范围为416。因此，运用解析几何进行数学建模是螺旋压缩弹簧优化设计的关键所在。4.4 陶艺品 陶艺品不仅仅是一种商品，也是我国的文化遗产。以陶艺花瓶的制作和外型分析，制作流程分为拉坯、印坯、利坯、晒坯刻花、彩绘等，而拉坯就是一个几何学知识应用的过程。将泥团放在轱辘车的转盘中心，然后陶艺师用手和拉坯工具来改变瓶体的形状，该过程可以用旋转曲线表示。 图 4-4：通过旋转成型的花瓶与旋转曲面转盘的中心相当于旋转轴，然后手和拉坯工具改变形态相当于旋转体的母线，母线绕着轴旋转形成旋转曲面。几何纹饰是常用的瓶体图纹，常见的有回纹、条纹、花卉纹等，也是运用了一些几何元素。 图 4-5：回纹宝相花团和条纹 我国大多数的瓶型陶艺品都是腰圆肚大的外形，给人耸立、饱满、美的感觉。而中国人潜意识里的视觉美仍是对称一词，这就导致了瓶器表面的画面区域块大多呈现出对称的结果。事实上，旋转手法的运用也是源于对称之美。此外，救生圈、汽车轮胎、橄榄球等的设计都运用了几何学知识。救生圈其实就是一个环面，将圆绕z轴旋转所得的旋转曲面，即在方程保持z不变，而圆绕着z轴旋转而成的如图4-6。图 4-6：救生圈理论上的旋转曲面橄榄球是将椭圆绕长轴（y轴）旋转，在保留坐标y不变，用代z，从而得到曲面方程得到如图4-7的长形旋转椭球面。图 4-7：橄榄球的几何分析不难看出，工业设计及工业加工是艺术与科学的有机结合。光学系统、相机、陶艺品等离不开几何学知识的支撑，这些几何思维使工业品变得形象化、具体化，同时使我们的生活更加丰富多彩。5 流体力学中的几何思维5.1 飞机飞行中的流体力学飞机是速度最快的交通工具，它的出现深深影响和改变着我们的生活。下面探讨飞机飞行过程中所应用的几何学知识。众所周知，飞机的整体密度是大于空气密度的，飞机之所以可以在空中飞行，机翼和尾翼部分起着非常重要的作用。当飞机在空中飞行时，空气会对飞机施加力，有升力也有阻力，机翼与空气的相对运动产生了升力，飞机就是依靠空气提供的升力实现升空飞行的16。机翼的设计和升力的由来理论知识来自于几何中“面”的知识和伯努利著作流体动力学里的“边界层表面效应”当流体加快速度流过时，物体和流体的接触面上的压力会变小，相反，流速慢时压力会变大，这就是著名的伯努利定律。图 5-1：机翼和空气流之间作用产生升力图解飞机的主要的升力是由机翼产生的，当然诸如尾翼等也会产生部分升力，但微不足道。从图5-1中飞机机翼的剖面图可以发现机翼的下表面是一个平面，而上表面是一个凸曲面，这样的设计使得一股空气流到了机翼处时就分成了上下两股，到了机翼后缘又汇聚在了一起，即在相等的时间内，机翼下表面的空气流过的路程比上表面短，这样机翼下表面的气流速度要小于上表面的。由伯努利定律可知机翼上表面受到的压力小于下表面的压力，上下表面的压力差就为飞机提供了一个垂直于相对气流方向向上的升力，这个升力的大小与机翼面积和剖面形状、空气密度、飞机的迎风角、速度这些因素有关。当飞机速度较小时，为了获得足够的升力，工程师们对机翼设计做了一些调整，添加了前后缘襟翼。速度较小时襟翼偏转机翼的弯曲度得到改变，这样飞机就能获得足够支撑飞行的升力。飞机在起飞和降落时前后襟翼向下稍稍偏转，这样机翼上表面的气流速度加快，下表面减慢，使得飞机速度较小时达到增加升力的效果，从而提高飞机起飞或降落时的安全性16。5.2 高层建筑受到的风压伴随着我国国民经济的飞快发展，高层建筑迅猛发展。下面探讨高层建筑风压调节所应用的几何学知识。风压的考虑是高层建筑设计中必不可少的一个重要部分。“身居高位”的楼层迎风面积越大，楼层的外表面的风压越大，在风的作用下，这些楼层承受着巨大的压力。高空中由于气压的不同形成风，不同风向的风会给高层建筑表面施加大小不一的压力。根据伯努利的理论及科学推算，高层建筑立面受到的风压为，其中为风速，为流体密度。当风速过大时会导致立面不堪重压发生外墙结构或者装饰材料损毁事故。高层建筑受到的风压和建筑本身的几何外形有关，不同的几何外形可以调节高层建筑立面受到的风压。经过科学研究证明三角形、倒三角和Y形建筑比矩形和方形建筑受到的风压更小，这就是为什么世界上大多数超高层建筑都是不规则的立面或者结构，例如科威特中央银行新总部大厦，见下图。图 5-2：科威特中央银行新总部大厦此外，许多高层建筑的立面玻璃幕墙或玻璃窗都是设计成有一定弧度的玻璃面，根据伯努利的理论，这些凸面会使得风的流速加快，从而减小建筑立面所受到的风压。5.3 动车组运行中受到的阻力伴随社会经济的快速发展，我国的铁路运输也在快速地发展、不断地提速，京津城际动车组的运营便是在这个高速的时代下衍生出的产物。下面探讨动车组运行中阻力与所用的几何学知识。时速高达300km左右的动车组在运行过程中会与空气流发生剧烈的摩擦，从而影响动车组的安全性和节能等。起初，据研究表明，当列车以300km每小时的速度运行时其受到的空气阻力将占列车总的阻力的75%以上，这与国家号召的节能高效相差甚远，而且巨大的阻力会严重限制实现提速的初衷。阻力与接触面的大小成正比，阻力为，其中为动压（为动车速度），为阻力系数，为动车最大横截面积。图5-3就是根据压力公式对两种不同车头型的动车进行空气动力学仿真模拟分析与风洞实验得到的压力分布云图。 图 5-3：模拟原来的头型和改进后的头型车头压力的分布云图科研人员经过对动车组的研究，实现了对动车组的主要产生空气阻力的部位车头、空调导流罩、车尾等进行了优化设计，从而有效的减小了空气阻力，实现列车的提速。主要通过对动车组车头的设计进行流线化，车头变得更长更尖更低矮，车头的车窗更加倾斜，整个车头变成更加流畅的曲面，这样的设计能有效的减小车头迎风面，从而降低其与空气接触，达到减小阻力的效果。同时这种流线型外形的车头快速运行时空气流快速流过车的上表面也会对动车组产生一定的浮力，减小动车组施加给地面的压力，进而减小动车组与地面的摩擦力，达到减阻提速。总而言之，曲面的运用有效地为我们的生活“减压”和提速，真正达到了几何改变生活的效果。6 天文军事中的几何思维 21世纪以来，我国航天事业蓬勃发展。2003年，航天员杨利伟乘坐神舟五号飞船首次进入太空,圆了中华民族的千年飞天梦；2008年，神舟七号载多人圆满完成航天飞行任务；2013年，“嫦娥三号”成功探月。国家用实际行动展现了祖国的繁荣与军事实力。可能许多人认为我国航天航空等军事力量强大的背后是物理知识起着支撑作用，其实除了物理知识的支撑外，数学也在航天航空事业中起着非常重要的作用。下面我们探讨天文军事中不可或缺的几何知识。6.1 航天器运行中的几何思维2008年9月25日，神舟七号飞船发射成功，自此飞船进行为期两天多的载人航天飞行任务。在发射后的10分钟，火箭和飞船到达离地面高度约为公里处实现分离，神舟七号飞船与火箭脱离后，进入离地球表面的远地点、近地点的椭圆轨道运行。下面探讨其中的几何学知识。假设两者的分离地点离地球球心的距离是，此时的速度大小为，地球的质量为，方向与万有引力的方向垂直。图6-1表示了神舟七号飞船与火箭脱离时的受力情况。图 6-1：飞船在万有引力的作用下的运行轨迹地球对神舟七号飞船的万有引力表示为，是飞船在半径是的圆形轨道上以速度运行时所需要的向心力。根据万有引力定律可知，飞船受到地球施加的万有引力为其中为万有引力常量，为飞船质量。神舟七号飞船做圆周运动需要的向心力为其中V为飞行速度，R为半径。当时，神舟飞船所受到的万有引力还不足以提供飞船绕地心做圆周运动时所需要的向心力，这时飞船将会做离心运动远离地球如图6-1所示。此时，地球施加给飞船的万有引力对飞船做负功，进而飞船的运动速度将会不断地变小，而飞行方向不断地发生改变，当万有引力与飞船的某一瞬间速度方向保持垂直时，飞船到达远地点且此时速度最小。这时万有引力刚好和飞船以远地点的曲率半径为半径做圆周运动的向心力相等，同时大于以该点到地心距离为半径做圆周运动所需要的向心力，即由此，神舟飞船将会在引力的正功作用下又沿椭圆轨道做绕地球运动。当时，飞船受到地球的万有引力恰好等于飞船以地心为圆心做圆周运动时所需要的向心力，此时飞船将绕地进行圆周运动。神舟七号飞船就是通过这样的几何和物理原理在远地点借助自带推进器的推动实现椭圆轨道到圆形轨道，或者圆形轨道到椭圆轨道之间变轨运动的。运动轨迹的变换原理不仅涉及到物理学理论，还用到重要的几何轨线。2013年12月2日，我国“长征三号乙”运载火箭将“嫦娥三号”探测器成功地送入高空。6日，“嫦娥三号”探测器成功进入环月轨道。14日，“嫦娥三号”探测器顺利在月球表面预先选定的地区着陆。从此，我国又翻开了新的航天篇章，继俄美两国之后成为人类史上第三个实现对月球进行着陆探测的国家。在此次嫦娥探月过程中，第一阶段是“长征三号乙”运载探测器发射升空；第二阶段是“绕”，即探测器进入绕月轨道实施对月球表面环境等进行探测；第三阶段是“落”，即“嫦娥三号”探测器在月球表面指定区域着陆，并进行月球实地考察。第一阶段发射探测器时，它是按椭圆轨道运行还是按抛物线或双曲线轨道运行，就看它在地球上发射的初速度的大小，主要有以下四种情况：当小于时，运行轨道为圆；当大于小于时，运行轨道为椭圆；当等于时，运行轨道为抛物线；当大于时，运行轨道为双曲线8。要使探测器最后进入到预定目的地，需要经过几次火箭助推加速：运载火箭发射，进入转移椭圆轨道；星载发动机点火实现助力变轨，进入绕月椭圆轨道；星载发动机再点火使飞船实现变轨，进入停泊的圆形轨道；最后星载发动机再次发挥作用，进入到极月小椭圆轨道等过程。2日2时，“嫦娥三号”探测器太阳翼展开，通过太阳供给电能，探测器以每秒约11公里的速度进入远地点的椭圆形轨道，近地点的地月转移椭圆轨道。在到达绕月轨道后探测器刹车制动，一次性变成的椭圆轨道，之后再由周期为小时的轨道调整进入周期为分钟、距离月球表面的的圆形轨道上围绕月球做匀速圆周运动，紧接着再进行变轨，使探测器进入的极月小椭圆轨道。限于国家对高科技技术的保密，无法取得更多运载火箭发射数据，进而无法对整个嫦娥探月过程进行更深入分析。但综上可看出，几何学知识在嫦娥探月过程中起着举足轻重的作用，特别是在探测器进行轨道变轨的几个过程，经过了几次由椭圆轨道到圆形轨道、圆形轨道到椭圆轨道的变轨，才有之后的软着陆成功，实现对月球表面的实地考察。6.2 导弹发射、防御中的几何思维导弹对于国防军事至关重要，其研发、发射和防御意义重大。下面探讨它所用到的几何学知识。导弹作为一种进攻性的武器破坏力巨大，在发射或防御过程中差之毫厘，都可能造成毁灭性的打击。导弹发射的精准度涉及到导弹的外形以及发射的方向，这些都涉及到几何学理论。以美国潜地弹道导弹为例，从北极星A-1型号导弹到三叉戟D-5型号导弹，经过了六个型号三代导弹的发展，不仅射程变远、弹头变多，外形也发生了变化，锥形弹头外形有效地减小了发射过程中所遇到的空气阻力等，在存储燃料空间容积有限的情况下有效地提高了导弹的射程。绝大多数情况下，使用导弹是为了实现精确的打击。对钻地导弹而言，是希望与地面成接近垂直的方向打击地下的目标，以达到最大钻入深度；对反导弹系统导弹而言，则希望以头部直接攻击来拦截敌方的攻击导弹；对反舰导弹而言，是希望能够以恰当的角度来攻击舰船主要仓储部位；对反坦克导弹而言，则希望以垂直角度击中坦克的防护装甲。这些都涉及到发射的方向以及导弹的几何轨迹。按发射姿态，导弹发射方式可以分为垂直发射、水平发射和倾斜发射等。导弹以垂直的姿态发射就叫作垂直发射，是导弹的纵横线和发射地点的大地水平面呈互相垂直的发射方式。图 6-2：某国采取垂直发射方式发射的导弹垂直发射的装置结构紧凑、简单的同时占用的空间也小，而且导弹垂直发射即使在推重相对小的情况下也能正常起飞减小发射的盲区，能有效降低研发的成本。当今世界上各个国家现役的大部分弹道导弹都是采用垂直发射方式。机载空对地弹道导弹使用的是水平发射的方式发射。飞机飞到指定的空域后释放导弹，导弹下沉到某一高度后，导弹上的火箭发动机启动进行加速，具有一定速度的导弹在重力的作用下做抛物线运动，在飞机的控制系统的控制下沿着这一抛物线轨道直奔预定的目标。该发射方式及抛物线轨道的飞行易于控制、改变导弹变向，利于提高命中率。导弹是以倾斜的状态发射，即导弹的纵横线和发射地点的大地水平面构成一个倾角的发射，这种发射方式就叫作倾斜发射。该发射方式可让飞行在空中的导弹充分借助空气动力的作用，有效降低导弹发射后转弯的操作难度，提高导弹飞行的稳定性。此外，该发射方式使弹道的曲率变小，飞行时间以与飞行路径也一定程度地减小，有利于攻击目标。美国部署的“陆军战术导弹系统”使用的就是此种倾斜发射方式。综上所述，航天器与导弹的研发、设计、发射运行所用到的运动轨迹、运动方向的预设和后期控制都离不开几何知识的帮助。几何学在航天国防军事上的应用远不止这些，还有诸如导弹制导方面基于时间最优的导引律，它用到微分几何和欧氏几何。可以说，正是有了几何学等自然科学的巧妙应用，才有航天事业的蓬勃繁荣与国防军事的不断壮大。7 绘画与服装服饰中的几何思维7.1 绘画艺术中的几何数学中的几何知识与绘画艺术有着不可分割的联系，不伦是中国还是西方，绘画作品中处处显现着几何图形的形式美。意大利著名绘画大师达芬奇曾经说过：“任何人对画的研究，没有经过数学的证明，就不能认为是真正的科学。”“绘画艺术当时曾创造出天才的杰作，甚至从这门艺术的发展，我们就会看到，在很大程度上也是建立在数学的应用这一基础上的”，苏联艺术家索科洛夫在点评文艺复兴期间的绘画时如是说到。“现代艺术之父”塞尚也曾经说过“画作应当遵照圆柱体、圆球体、圆锥体来处理自然”，把抽象的意境经由几何图形的处理跃然于纸。西方艺术界马列维奇、勃拉克、毕加索等艺术大师，在他们的作品中也都或多或少地体现几何思维。西方绘画艺术画风多种多样，但画作里都呈现出同样的元素几何元素。达芬奇的作品便是其中的代表作，其大部分画作都是艺术和几何的完美结合。传世佳作最后的晚餐这幅大型壁画，达芬奇在创作它时融入了不少的几何思维。图 7-1：达芬奇的作品最后的晚餐宽460cm，长880cm的最后的晚餐，这么长的画，达芬奇只有预先进行有效的几何构图才会有这著名的巨作。耶稣坐在画中最显眼的位置中轴线上，十二个门徒对称分散着没侧坐六个；水平线、垂直线交叉构成比例协调的网格窗户。为了凸显事物特征，塞尚在其作品中往往运用深褐色或黑色的线来描绘物体局部或整体的轮廓线。下图为其知名画作垂发的塞尚夫人和七个苹果。 图 7-2：塞尚的作品垂发的塞尚夫人和七个苹果垂发的塞尚夫人中，塞尚通过用渐变的黑色线来描绘画作中的妇女的头部轮廓，以达到突出头部轮廓的几何形特征，而人物的颈部则表现出圆柱体的立体感，再勾勒出清晰的椭圆形耳朵的外形。惟妙惟肖的肖像画因为几何元素而给人一种沉稳的感觉。而七个苹果看似简单，但画里却无处不透露着塞尚细腻的心思：用褐色的线来勾勒七个苹果的轮廓，再每个都那么浑圆结实的苹果画上浓重的投影。一副简单的物体画，因为几何元素的运用给人带来了充分的视觉冲击。毕加索善于把客观存在的物体通过几何形体分解成各个部分，再将其有效地组合成画面，无愧“立体主义家”的称号。他的画作就是对艺术家哈德罗奥斯本的至理名言“立体主义最著名的方法就是把物体拆解成象征几何形立体的平面”作出的解释。毕加索打破了人们对人的客观形象的惯性思维的束缚，对人物整体进行拆分描绘，运用三角形、椭圆形等几何形来构造人物，创作了亚威农少女。而乔治勃拉克受到该构图影响，也创作了不少极富立体感的佳作埃斯塔克的房屋一系列作品。 图 7-3：亚威农少女和埃斯塔克的房屋在画作埃斯塔克的房屋中，房屋和后面的山石都是用长方体或其他多面体来表现，立体特征显著或明或暗，极具层次感。现代西方的街头壁画也蕴含着立体几何知识。粉彩的墙壁上既可以看到明显的几何图案，亦可欣赏到有门却无法打开进去的“商店”或“酒吧”，立体感强到可以以假乱真。几何思维对中国绘画也有着深远的影响。如果说西方绘画艺术多是面或体这两种几何语言，那么我国画作的基本语言就主要是线。线作为面的切割，有边界和轮廓之感，它可以为画作提供基础的骨架，也可以当作桥梁连接不同的图形内容，使之成为一个协调的统一体达到稳定画面的效果。线在绘画里的使用效果千变万化，有疏密长短，或刚或柔，或舒缓或活泼，有轻盈也有粗犷，作用繁复。线的神韵在笔下的一提一顿、或粗或细中体现。纵观史册，敦煌壁画、周锦画、“吴带当风”等都是线为主导。“吴带当风”中吴道子利用飞扬线条来展现所作壁画充满风的动感。唐代书画大家张彦远以“无线者，非画也”来强调线在中国画中的重要性和美学价值。元代永乐宫壁画朝元图中用浑圆有力、饱满奔放的线条来描绘289位顾盼有神的天神以及各种景观，悠长的画线一气呵成，让画作栩栩如生。敦煌320窟壁画双飞天，疏密交错得当的线，将体态婀娜多姿、翩翩起舞的女神仙展现无遗，风光明媚、歌舞升平，一幅美好的西方极乐世界景象，感染力十足。武宗元所作的八十七神仙图也是线主导着整幅画面。宋代的清明上河图把线的特性发挥得淋漓尽致。线的灵动、飘逸感在国画大师吴冠中先生的画作里随处可见，如在荷塘中线的运用把荷塘里的生命力、飘逸感栩栩如生地表现出来，或弯或直的枝干，摇曳的荷花，清晰的叶脉，荷塘岸边等都是通过线来勾勒轮廓。我国现代艺术大师黄宾虹说：“凡是天生的东西，没有绝对的方圆，只要拆开来看，都是由许多不齐的三角弧组成的。三角形因为形状多，变化大，所以美；一个整整齐齐的三角形，也不会美。天生的东西绝不会都是整齐的，所以要不齐，要不齐之齐，齐而不齐才是美”9。黄宾虹的画作，特别是其晚年的山水画，三角弧随处可见，以点、三角弧、S形的线为基本的符号作画。哪怕是在其近乎失明的情况下画的画，弧线也都是画的主要元素，山、石、树木、亭子等都与三角弧有联系，或斜或正、或密或疏。此外，中国画对“面”这一几何元素的运用也不少。面可以理解为画中大面积的点和线的不断重复，大面积地涂染颜色就出现了各种“面”。如敦煌的装饰纹样藻井图，在各个正方形的限制范围内，多单位的点重复扩散、着色，形成色彩不一但彼此关系协调的彩色面。7.2 服装服饰中的几何所谓几何形图案，就是用各种直线、曲线以及圆形、三角形、方形、棱形等构成规则或不规则几何纹样作装饰的纹样4。几何图案使人们的服装服饰具有了理性、性感、浪漫、奔放等美丽气质。几何思维是民族文化的重要组成部分之一，民族服装作为民族文化重要角色也蕴含着许许多多的几何元素。苗族作为我国人口较多、最古老的民族之一，悠久、灿烂的历史使它形成、积淀和保存了独具一格的民族文化，在保有自己民族文字的同时心灵手巧的苗族人民缝制出了独一无二的文化传承纽带苗族服饰。苗族服饰上异常精美的图案彰显着历史文化的印记、审美价值和民族情感，哪怕是如今的苗族日常服饰也还饱含着这些独特而有意愿的图案。苗族服饰上的图案主要分为日月、动植物等主题的具体图案和主要由几何图案构成的抽象图案。具体图案绝大部分是由简单的线条根据现实生活中具体的人和物形象勾勒出