3.1.2圆周角1

圆圆本课内容本节内容3.13.1.2 圆周角圆周角O图图中中，BAC有什么特点？有什么特点？ 观察观察 BAC的顶点的顶点A 在圆上在圆上, 它的两边都它的两边都与圆相交与圆相交.ABC 顶点在圆上，并且两边都顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角与圆相交的角叫做圆周角. BAC是那一条是那一条弧所对的圆周角？弧所对的圆周角？ 你还能画出你还能画出BC所对的圆周角吗？所对的圆周角吗？OABCOABCOABC圆心与圆周角圆心与圆周角BAC的位置关系有三种：的位置关系有三种： 圆心圆心O在圆在圆 周角周角BAC 的内部；的内部； 圆心圆心O在圆在圆 周角周角BAC 的一边上的一边上; 圆心圆心O在圆在圆 周角周角BAC 的外部；的外部； 量出图量出图3-10中中BAC与与BOC的度数，它们有什么关系？的度数，它们有什么关系？探究探究 一条弧所对的圆周角与它所对一条弧所对的圆周角与它所对的圆心角有什么关系？的圆心角有什么关系？猜想猜想 一条弧所对的圆周角等于与它所对的圆心角的一一条弧所对的圆周角等于与它所对的圆心角的一半半.图图3-10 情形一情形一 圆周角的一边通过圆心圆周角的一边通过圆心.如图如图3-12， O中，中，由于由于OA=OC，BAC的一边的一边AB通过圆心通过圆心.从而从而BOC=C+BAC因此因此C=BAC，图图3-12即即 BAC= BOC.12=2BAC，情形二情形二 圆心在圆周角的内部圆心在圆周角的内部.如图如图3-13，圆心，圆心O在在BAC的内部的内部.作直径作直径AD， 根据情形一的结果得根据情形一的结果得BAD = ，DAC = .12BOD12DOC= ，12BOD+DOC ( () )= .12BOC从而从而BAC =DBAD+DAC从而从而 BOC =BOD -COD 情形三情形三 圆心在圆周角的外部圆心在圆周角的外部.如图如图3-14，圆心，圆心O在在BAC的外部的外部.图图3-14BAD= BOD，12 CAD= COD12= BAC12= (BAD-CAD)12作直径作直径AD，根据情形一的结果得根据情形一的结果得综上所述，我们证明了定理综上所述，我们证明了定理2：定理定理2：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. . 利用定理利用定理2，以及圆心角与所对的弧的关系，你能说，以及圆心角与所对的弧的关系，你能说出下述结论成立的道理吗？出下述结论成立的道理吗？动脑筋动脑筋 一条弧所对的圆周角等于它所对一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半的圆心角的一半. 在同一圆在同一圆( (或相等的圆或相等的圆) )中，同弧或等弧中，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，相等的圆周角所所对的圆周角相等；反之，相等的圆周角所对的弧相等对的弧相等. 直径直径( (或半圆或半圆) )所对的圆周角是直角；反所对的圆周角是直角；反之，之，90的圆周角所对的弦是直径的圆周角所对的弦是直径. .结结 论论 1. 如图如图3-15，AB是圆是圆O的一条直径，的一条直径，CAB=65，求，求 ABC的度数的度数.练习练习解：解：图图3-15 ABC=25. CAB=65， ACB=90， AB是圆是圆O的直径的直径，2. 如图如图3-16，在圆，在圆O中，弦中，弦AB与与CD相交于点相交于点M.（1）ACD与与ABD相等吗？为什么？相等吗？为什么？（2）CAB与与CDB相等吗？为什么？相等吗？为什么？（3）ACM与与DBM相似吗？为什么？相似吗？为什么？答：答：ACD=ABD. 答：同理答：同理，CAB=CDB.答：答：ACM DBM. 因为两个角对应相等的三角形相似因为两个角对应相等的三角形相似.图图3-16 因为同圆中，同弧所对的圆周角相等因为同圆中，同弧所对的圆周角相等. . 如图，在如图，在 O中，中，BOC=50，OCAB，则，则BDC的度数为的度数为 .中考中考 试题试题例例175解析解析 OCAB，BOC=50，B=BOC=50.BDC是是ABD的一个外角的一个外角.BDC=A+B =25+50 =75.故，应填写故，应填写75.A= BOC=25.12又又圆周角圆周角A与圆心角与圆心角BOC所对的弧同为所对的弧同为BC，结结 束束