用函数的观点看数列

用 函 数 的 观 点 看 数 列 设计立意及思路：数列是函数概念的继续和延伸。它是定义在自然集或它的子集1，2，n上的函数。对于等差数列而言，可以把它看作自然数n的“一次函数”，前n项和是自然数n的“二次函数”。等比数列可看作自然数n的“指数函数”。因此，学过数列后，一方面对函数概念加深了解，拓宽了学生的知识范围；另一方面也为今后学习高等数学中有关级数的知识和解决现实生活中的一些实际问题打下了基础。高考考点回顾1 与二次函数有关的等差数列的问题（2004年重庆卷）若an是等差数列，首项a1>0,a2003+a2004>0,a2003a2004<0,则使前n项和Sn成立的最大自然数n是( )(A) 4005 (B)4006 (C)4007 (D)4008（1992年全国高考试题）设等差数列an的前n项和为Sn，已知a3=12，S12>0,S13<0。（1） 求公差d的取值范围(2)指出S1，S2,.,Sn中哪一个值最大，并说明理由。（2002年上海春季高考题）设an(nN)是等差数列,Sn是其前n项的和,且S5< S6, S6< S7, S7< S8,则下列结论错误的是( )(A)d<0 (B) a7=0 (C) S9>S5 (D) S6与S7均为Sn的最大值 2与函数的单调性有关的数列问题（2002年上海卷）已知函数f(x)=a·bx的图象过点A（4，）和B（5，1）（1） 求函数f(x)的解析式；（2） 记an=log2f(n),n是正整数，Sn是数列an的前n项和，解关于n的不等式anSn0；（3） （文）对于（2）中的an与Sn，整数96是否为数列anSn中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，请说明理由。（理）对于（2）中的an与Sn，整数104是否为数列anSn中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，请说明理由。3.用函数观点解数列应用题基础知识梳理：1. 关于等差数列an (1) 通项公式an=a1+(n-1)d,可以写成an=dn+(a1-d)。 它是n的一次函数，以（n,an）为坐标的一群离散点均匀地分布在直线上。 公差d=是相应直线的斜率。当d>0时，数列递增；当d<0时，数列递减；当d=0时，an为常数数列。 （2）求和公式Sn=na1+d,可以写成 Sn= n2+(a1-)n。 它是n的二次函数（缺常数项），它的图象是过原点的抛物线上的一群孤立点。 从函数的角度理解，Sn=na1+d变形为Sn= n2+(a1-)n。 当d0时，Sn是关于n的二次式，且常数项为零。此时，可以应用相应二次函数的图象了解Sn的增减变化及最值等问题。 当d=0时，an是常数列，Sn=na1,此时，若a10,则Sn是关于n的一次式；若a1=0,则Sn=0。2. 关于等比数列an通项公式an=a1qn-1,可以写成 an=·qn(nN*)。当q>0且q1时，y=qx(xR)是指数函数，而y=·qx(xR)是一个不为0的常数与指数函数的积，因此an=·qn(nN*)的图象是函数y=·qx(x R)的图象上的一群孤立点。很明显，若>0,当q>1时，数列递增；当0<q<1时，数列递减。例题讲解：例1 在等差数列an中，若a1<0, 且 S5=S13, 试问这数列的前几项之和最小？思路导引：先让学生猜想等差数列an的单调性，学生能预测an是首项为负数的递增数列。因此，要找到这个数列中小于零的所有项中的最后一项。而an=a1+(n-1)d，an的值与a1、d有关，所以先由已知条件S5=S13求出a1与d的关系解法一 设公差为 d ，由 S5=S13, 有 5a+=13a1+ 由此得 a1=- ，而a1<0, 故d>0,即an是首项为负数的递增数列。因此，当an0且an+1>0时，Sn有最小值，即需-+(n-1)d0,-+nd>0, 解得<n,即n=9。所以，此数列的前9项之和最小。思路导引：因为sn是常数项为零的二次函数，所以也可以利用二次函数求最值的方法来求sn的最小值解法二 由解法一已得a1=-,且d>0,所以Sn=na1+d=-+-n=n2-9dn= (n2-18n) = (n-9)2-.由此可知，当n=9时，Sn最小。思路导引：既然sn是常数项为零的二次函数，那么，能否结合二次函数的图象来解决本题？（教师画出开口向下且过原点的抛物线）从函数的角度看，已知条件中S5=S13意味着什么？引导学生得出，说明在二次函数Sn= n2+(a1-)n中，当n=5与n=13时，对应的函数值相等。（教师在画出的抛物线上描出这两点）描出这两个对称点后，进一步引导学生观察抛物线的对称轴位置解法三 已知S5=S13，而Sn是n的二次函数（二次项系数>0）,由抛物线的对称性可得其对称轴方程为n=9。所以，当n=9时，Sn最小。小结：以上分别利用了单调性、配方转化为二次函数以及数形结合等，让学生比较以上这三种常见的解法，体会函数思想的作用。变式：（1） 在等差数列an中，a1>0，S3=S11，则Sn中最大的是（）(A)S6 (B)S7 (C)S8 (D)S9（）（2003年黄岗中学）在等差数列an中，已知a1=20，前n项和为Sn，且S10=S15求前n项和Sn 当n为何值时，Sn有最大值，并求它的最大值例2（2004年重庆卷）若an是等差数列，首项a1>0,a2003+a2004>0,a2003a2004<0,则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是( )（A）4005(B)4006(C)4007(D)4008思路导引：由于解题目标是前n项的和Sn=na1+d,故可从两方面入手。 由已知条件，能否判断本题中等差数列an的单调性？（学生能判断）对照例1，可知该数列的前n项和Sn有最值，且当n=2003时取到该值，但n=2003时Sn最大，是否就是本题所要求的答案呢？让学生认识到例1和例2的联系和区别。由a1>a2>a2003>0>a2004> a2005知，虽然S2004<S2003,但是S2004仍然大于零.那么，使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是多少呢，能否借鉴例1中所用的函数的思想，数形结合的思想？从而引导学生画出抛物线，判断其对称轴的位置，进而判断出抛物线与x轴的交点的坐标解法一：由题意可得：等差数列中，从第1项到第2003项是正数，且从第2004项开始为负数，则所有的正项的和为Sn的最大值，即当n=2003时，Sn取得最大值，显然Sn是关于n的缺常数项的二次函数，且开口向下，所以第2003项离对称轴最近，故其对称轴介于2003到2003.5之间。又因二次函数的图象与x轴的一个交点是（0,0）,则设另一个交点（x,0）,x应介于4006到4007之间（如上图）所以使Sn>0的最大自然数是4006，故选B。思路导引：根据Sn=，可以利用等差数列的性质求解。问：a2003+a2004= a1 + a？，从而判断出S4006>0,进而判断出S4007<0解法二：由题意可得：等差数列中，从第1项到第2003项是正数，且从第2004项开始为负数，S4006=2003(a2003+a2004)>0S4007=4007a2004<0,故n的最大值为4006,选B 评价：等差数列an(d0)的前n项的和Sn=na1+d是关于n的缺常数项的二次函数，则在函数思想的指导下，利用数形结合常常收到奇异的效果。 变式1（1992年全国高考试题）设等差数列an的前n项和为Sn，已知a3=12，S12>0,S13<0。(1)求公差d的取值范围（2） 指出S1，S2,.,Sn中哪一个值最大，并说明理由。解（1）略（2）由a3=12>0,S12>0,S13<0,可知公差d<0,Sn=an2+bn,可知a=<0,故相应的抛物线向下伸展且过原点（0，0）。又由S12>0,S13<0，可知这抛物线向下伸展且过一交点在点（12，0）与（13，0）之间，因此对称轴在n=6与n=6.5之间，离对称轴最近的是n=6，故S6最大。说明：用同样方法，可以证明更一般性的命题：若a1>0,d<0,且S2k>0, S2k+1>0, S2k为S1,S2, S2k中的最大值。下面提供另一种证明法，由 可得 a1>a2>ak>0>ak+1> ak+2.于是 由此可知，Sk有最大值。2(1)已知等差数列an中,Sm=Sn(mn)，则Sm+n= _ (2)已知等差数列an中,Sm=Sn(mn)，则a1+am+n=0例3（可视为上题的推广）已知等差数列Sm=n, Sn=m, (mn),求Sm+n思路导引：本题退到一般的情形,可以用方程的思想求解.解：对等差数列可设 ，得A（m2-n2）+B(m-n)= n-m 即 A(m+n)+B=-1, 故 A（m+n）2+B(m+n)=-(m+n) 即得 Sm+n=-(m+n)例4、已知数列an的公式是an=，其中a、b均为正常数，那么an与an+1的大小关系是 ( )(A) an<an+1 (B) an>an+1 (C) an=an+1 (D)与n的取值相关思路导引:要比较an与an+1的大小关系,其实就是要判断an=的单调性.从函数的观点看,函数f(x)= 的单调性在函数一章中已会判断.解：an=a、b均为正常数，an随n的增大而增大。故选A，答案：A。例5、（2002年上海卷）已知函数f(x)=a·bx的图象过点A（4，）和B（5，1）（1）求函数f(x)的解析式；（2）记an=log2f(n),n是正整数，Sn是数列an的前n项和，解关于n的不等式anSn0；（3） （文）对于（2）中的an与Sn整数96是否为数列anSn中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，请说明理由。（理）对于（2）中的an与Sn整数104是否为数列anSn中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，请说明理由。思路导引:图象过A,B两点,说明A,B两点的坐标满足函数表达式解：（1）由 a=1=a·b5 得, b=4f(x)=·4x. (2)an=log2f(n)=log2·4n=2n-10, an是以-8为首项，公差为2的等差数列。Sn=n(n-9)anSn=2n(n-5)(n-9),由anSn0得5n9.故n=5,6,7,8,9.思路导引:由(2)知,从函数的观点看,anSn是关于n的三次函数,而且5n9时anSn0.n=1,2,3,4易求得a1S1=64, a2S2=84, a3S3=72, a4S4=40,都不等于96,所以要考虑anSn中n10的项.由导数的知识可知n10时anSn=2n(n-5)(n-9)是单调递增函数.所以可以先计算a10S10的值,文科马上得出答案.理科要进一步估值,使其逼近96或者等于96.此时可以鼓励学生进行猜想,并通过估值结合计算,得到答案.(3) （文）a1S1=64, a2S2=84, a3S3=72, a4S4=40,当5n9时，anSn0。当n10时，anSna10S10=100。因此，96不是数列anSn中的项。（理）a1S1=64, a2S2=84, a3S3=72, a4S4=40,当5n9时，anSn0。当10n22时，anSna22S22=9824<104;当n23时，anSna23S23=11592>104.因此，104不是数列anSn中的项。7