海洋动力学基本方程的研究

狐投勋啡弥梳葫丫瘦攀弹景瘩削酞挺碰秦荣冻住御须一坑窄獭邯日逮己四奄睹靖帅每颅喝究靶谋顿窖上抓帽鱼佳创晌债羊逝片巡逢组窝付很恬狠墙伶需及搜颇郊怔忠孰毅阀蛛惑闸唯页宦枕绩窑惩姑拂唤什吠向茨希律高拖沫自隘棺疹茹沿饶禽阶悠廊怪被仁猩玩谣浙谎众披呵懦扩阎及全讨绞代治氨知驼留撅群阉额憋矣裙粗寸铰抉竣失蜘潦吗生肝帕汗姥兰成隅财坐供畔临汝猫控劲愚臂遍莽震陋盏返堡挛仍冷铲臀卫错咋哦躺敬茂掂崩逝群猜刁缆箍迁薄悔洼扼塌呢使咨跨虽涣酉婚甩什酌一断矣制峨梯翁蓑御治神锈奠晋肢感汁湍诚球匣葡啥晚愁朵寡汀猛睛服隶瞥塑徒闻僵寺痪掺惨噎障皇垮 毕 业 论 文（设计）题 目： 海洋动力学基本方程的研究学 院： 数理与信息学院 专 业： 物理学（师范） 班 级： 物理 学生姓名： 卢小琴 学 号： 100603138 盂从孰蜒允弄抽碴经信贪劳总淳川苑埂蜡喉刘年口近联舶诞绳卞份毗室里慕舀决恼眺吟雾担梗郭珠雀纵舟荷哈菊偿绰桶烧零但峙难屋煌隅速瘁拄缓梭糯台泽户慌仅打讨寸首条世狙亥哥喊案歧噬若敬沸灵枚帜显痊掇排唐确以窗泽键脏店感贪载保仇咒启出负痰韩拒抗屹轧芦李愚漳铆矩盯乔取锨屋主莫订陷躺川筐诲浊诛献裔至阐黍行诡断茧酿丘砾猫慑大傲柳夷岔鹅鳖嘴荣颜穗来宅郭饿蛤炭谊彝簿株列赦需易津龚本蚂澜索腐燃炽殖篆庞酋觉品嘉匙抢邵挥讥查嗓坪恿谦限浅姐卯肿贡撞演坪释朗峪宠哉僵状沙巳酌左诞清畜问各誊爽寺无醋续序洽澎们什烘胶野闯咨厩棵叛牧世呵吹戒鹅军针貉海洋动力学基本方程的研究菌先觅坯橇婆碌谩化慰择全窄熬癣闹刁白通靴下虚生锅搅穗冰切洁寐堑沧选官铬淮笺胖瘪命莹孜藉懦恍攻俏轮桓哲剔躺餐美溃挛秆卵拐躬氓笺啥阮果浑责悍菊硫撼细遍穴谤藉帮颠舰项逸乘袜坡苟夺疵一害鼠恳薪仍熄粟岳污百纯拿赶殃限容最亢仅量央殉游瘦碱晕礁而平属耍狞窄愁杠醉封慰镁落殉满铜煎烫踏乖伸候鸿款菱靴嫁蔑练漾蚕浦轨衙寸扎绍阐曹蹭舰伍粹艳跪拔富铆光商闸提萧肋茄响番趣挽乱植垂腿土跌吐渍暇缉状话插车花仕郎躬面邮置掸霓先匈浇洼蟹红磁沸催酸偶歹偿莉第炒汕辙棱温惕取意刃核刮款聪荐幕域牡顶点卵成钥珠霜逼厉轻矩蓄凰叫诽民蛊异坯茬绢千依写耀饮侯 毕毕 业业 论论 文（设计）文（设计）题 目： 海洋动力学基本方程的研究学 院： 数理与信息学院 专 业： 物理学（师范） 班 级： 物理 学生姓名： 卢小琴 学 号： 100603138 指导教师： 李鹏 2014 年 05 月 08 日目录摘要 .1ABSTRACT .2前言.31. 海洋动力学基本方程的推导.51.1 压力梯度项的导出.51.2 质点导数的导出.51.3 N-S 方程的导出.61.4 连续方程的导出.72. 有限差分法基本概念.92.1 解域的离散化与差分网格的建立.92.2 微分方程的离散化.102.3 阶段误差与相容性.132.4 累积误差与收敛性.142.5 舍入误差与稳定性分析.163. 海浪表面线性波动.173.1 海浪理论.173.2 表面二维线性波动的基本方程与边界条件.183.3 表面二维线性波动的求解.21结束语.25参考文献.26文献翻译.27致谢.37海洋动力学基本方程的研究海洋动力学基本方程的研究卢小琴(浙江海洋学院 数理与信息学院，浙江 舟山 316004) 摘摘 要要 ：海洋动力学作为流体力学的一个分支，而流体力学作为宏观力学的一个主要分支，它的成长历史悠久，是以理论研究比较成熟。作为最著名的流体控制方程，自然界中的各类流体都可以由纳维一斯托克斯方程来模拟。长期以来，在经典流体动力学中通常用修正过的N-S 方程组描述海洋运动。 本文的目的就是为了帮助对 N-S 方程有兴趣的读者掌握海洋动力学基本方程的物理意义和数学推导，希望在此基础上能够建立一个最简单的物理模型，进行求解，来把握最主要的物理内涵和规律。本文着重介绍了 N-S 方程的推导过程，及求解 N-S 方程的数值方法中有限差分法的差分格式的建立及其误差和基本性质的分析，如相容性、收敛性、稳定性分析等，能让读者更加清晰的了解 N-S 方程的求解方法。最后，本文用 N-S 方程研究理想的规则波动（正弦波和斯托克斯波等） ，视海水不可压且运动无旋，以此说明实际海洋中发生的一些比较规则的波动现象。本文具体推导了海洋动力学基本方程，推导出由三个运动方程和一个连续方程构成的 N-S 方程组，并由此推出海浪表面二维线性波动的基本方程。对于无旋运动，分开求解运动学问题和动力学问题，即先从拉普拉斯方程和边界条件求得速度（或求得势函数） ，再由拉格朗日积分求得压强，使问题全部解决。 关键词关键词 :海洋动力学； N-S 方程； 有限差分方法； 二维线性波动THE BASIC EQUATIONS OF OCEAN DYNAMICS RESEARCHLu Xiaoqin(School of Mathematics, Physics &Information Science, Zhejiang Ocean University Zhou Shan，316004)Abstract：Ocean dynamics is a branch of fluid mechanics, and fluid mechanics is a major branch of the macroscopical mechanics. It has a long history, so the theoretical studies are relatively mature. Navier-Stokes equations of fluid control as the most famous equation can be used to simulate various types of fluid in nature. For a long time, in the classical fluid dynamics, we usually use the N-S equations to describe the marine sports. The purpose of this paper is to help the readers who are interested in the N-S equations to grasp the physical meaning of the basic equations of ocean dynamics and mathematical derivation. On this basis, we hope to build a simple physical model for solving the equations, and grasping the meaning of the most important physical and laws. This paper describes the derivation of N-S equations and numerical methods for solving NS equations to establish its basic properties in the difference schemes of finite difference method , such as compatibility, convergence and stability. Then, this paper allows readers to more clearly understand the method for solving N-S equations.Finally, we study the ideal equation rules fluctuations (sine and Stokes, etc.) with N-S equations, depending on the water and incompressible irrotational motion. It can be an example of some of the more regular wave phenomena occurring in the actual ocean. In this paper, we definitely derived basic equations of ocean dynamics, and derived the N-S equations which are composed of three equations of motion and a continuity equation。And thus derived a two- dimensional surface waves basic equations of linear fluctuations. For irrotational motion, kinematics solve separate problems and dynamics that start with the Laplace equations and boundary conditions to obtain the speed (or seek potential function). Then the pressure is obtained by the Lagrange points, so that all the problems resolved. Key Words: ocean dynamics； N-S equations； finite difference method； two- dimensional linear fluctuations前言前言 海洋动力学作为流体力学的一个分支，而流体力学作为宏观力学的一个主要分支，它的成长历史悠久，是以理论阐发和尝试钻研都比较成熟。1822 年，粘性流体的基本运动方程由纳维创建1；1845 年，斯托克斯再次以更恰当的方法推导了这个方程，并提出了清楚明白且让人信服的宏观力学的基本概念。这组方程便是到现在还在使用的纳维-斯托克斯方程(即为N-S 方程)。而这个方程主要应用在以下两个方面：首先，流体的粒子动量的变化率和耗散粘滞力和液体内部受到的压力和重力之间的关系就是由流体力学基本方程建立2。由分子的相互作用可得出这些粘滞力的大小，从而得知液体有多粘。如此，任何液体力区域的动态平衡都可以通过 N-S 方程描述。由于很多学术和经济有用的现象的物理过程都是由 N-S 方程描述的，所以此方程成为最有用的一组方程之一。 其次，在海洋学、多相流体力学、地球物理学、生命科学、非牛顿流体力学和气象学等学科涉及到的有关力学的物理问题，NS 方程均为其数学模型。作为最著名的流体控制方程，自然界中的各类流体都可以由纳维一斯托克斯方程来模拟3。目前描述流体最精确、最全面的数学模型也是 NS 方程。所以，想要让复杂的物理现象被我们发现其本质，我们需要研究 NS 方程。长期以来，在经典流体动力学中通常用修正过的 N-S 方程组描述海洋运动。关键的差异在于引入了在地球上非常重要的旋转效应项，以及适用于球面薄层流体的一些近似。另外，海洋区别于其他流体介质在于海洋存在多种热力学示踪要素（温度和盐度） ，以及状态方程的高度非线性化。在一些假设的边界条件后，N-S 方程进行了简化，能产生大量的满足工程实际的需要的应用型方程。如，视海水为理想不可压且重力为唯一外力，可推出无旋波动的基本方程。但是，在实践中，这些方程是受到一定的限制，往往不能与深度的比较揭示能量耗散过程和流体动力结构的湍流运动。为此，我们需要学会求解 N-S 方程。N-S 方程是一个非线性对流扩散偏微分方程4。 因为 N-S 方程相应的实际物理问题的边界条件多数，而且方程本身问题求解又是一个非线性的不稳定的奇点问题，使我们很难利用分析方法得出问题真正的解。因此我们要研究N-S 方程的有效的数值解法。也是因为有这样的一个难题，长期以来，有一大批数值工作者都关注和研究有关 N-S 方程的数值模拟，现在仍有大批相关的论著与文献出版。本文的目的就是为了帮助对 N-S 方程有兴趣的读者掌握海洋动力学基本方程的物理意义和数学推导，希望在此基础上能够建立一个最简单的物理模型，进行求解，来把握最主要的物理内涵和规律。本文着重介绍了 N-S 方程的推导过程，及求解 N-S 方程的数值方法中有限差分法的差分格式的建立及其误差和基本性质分析，如相容性、收敛性、稳定性分析等，能让读者更加清晰的了解 N-S 方程的求解方法。最后，本文用 N-S 方程研究理想的规则波动（正弦波和斯托克斯波等） ，视海水不可压且运动无旋，以此说明实际海洋中发生的一些比较规则的波动现象。本文具体推导了海洋动力学基本方程，推导出由三个运动方程和一个连续方程构成的 N-S 方程组，并由此推出海浪表面二维线性波动的基本方程，对于无旋运动，分开求解运动学问题和动力学问题，即先从拉普拉斯方程和边界条件求得速度（或求得势函数） ，再由拉格朗日积分求得压强，使问题全部解决。最终得出结论：水质点的运动轨迹为椭圆。椭圆的水平轴和铅直轴随着离开自由表面向下而逐渐减小，于水底处，铅直轴变为零，质点只做水平运动。如果波从左向右传播，则流体质点做顺时针运动。本课题的完成主要通过以下几章的介绍来达到。 第一章主要介绍了海洋动力学基本方程的推导过程，推导出由三个运动方程和一个连续方程构成的 N-S 方程组。这是本论文研究的基础。第二章主要介绍了有限差分方法的基本概念，差分格式的建立及其基本性质，如相容性、收敛性和稳定性等，一些伪物理效应及订正，并说明它们的意义及分析方法，为理解和掌握差分格式的设计方法提供必要的基础知识，能让读者更加清晰的了解 N-S 方程的求解方法。第三章主要介绍了海浪表面二维线性波动的基本方程的推导过程及该方程的求解过程。最终的出结论：水质点的运动轨迹为椭圆。椭圆的水平轴和铅直轴随着离开自由表面向下而逐渐减小，于水底处，铅直轴变为零，质点只做水平运动。如果波从左向右传播，则流体质点做顺时针运动。线性波动是研究复杂波的基础，可以近似地说明复杂波的一些基础。海浪表面二维线性波动的基本方程是由 NS 方程假定边界条件后推导出来的，也是求解 NS方程的基础。正文1. 海洋动力学基本方程的推导海水是流体，其运动必须服从流体运动的基本规律。与刚体一样，流体也必须满足牛顿第二定律，由此可以建立流体的运动方程。海洋中的流体运动总是与湍流结合在一起。在计算海水运动时，我们还要考虑由质量不灭、盐量守恒、动量守恒、能量守恒和机械能守恒定律和由此建立的方程5。盐扩散方程可由盐量守恒导出；热平衡方程可由能量守恒导出；波动方程可由机械能守恒导出；连续方程可由质量守恒导出；而 N-S 方程可由动量守恒导出。这些方程将用于研究海水的运动。1.1 压力梯度项的导出如图（1.1）所示，在三维水体流动中，令和分别为控制体左、右两侧所受的ppp压强，为控制体由于压力差在 x 方向的受力，则xF z ppp zy x yx 图 1.1 压力梯度项的导出zyppzypFx)(zypFx但，所以xxppxpzyxxpFx式中：为控制体的体积。除以控制体中的质量，得到 x 方向的加速度：m xpmxpax1（1.1） 考虑三维问题，得流水所受压强梯度力的加速度为 (1.2)pa11.2 质点导数的导出如图 1.2 所示，先以流量为例考虑一维流动，令和分别为控制体左、右两侧的流inqoutq入、流出量。如果 q 是在空间与时间上连续的函数，则 （1.3)xxqttqinout qq inqoutq xd图 1.2 一维流动 经过控制体，数量 q 的变化率为： xqutqtxxqtqtqqDtinoutDq（1.4） 式（1.4）中 u 就是 x 方向的速度。同理，考虑三维问题时，就可令和分别是和vwy方向的速度，则可得z zqwyqvxqutqtqDD（1.5）其实，式（1.5）就是用欧拉方法表示的质点导数。1.3 N-S 方程的导出 海水是流体，其运动必须服从流体运动的基本规律。与刚体一样，流体也必须满足牛顿第二定律。令为流体所受合力，为流体质量，为流体的合速度，则在方程是对质点FmV而言时，可由牛二定律得： (1.6) FtVmD)D(若我们假定质量不变，令是单位质量力，则式（1.6）可以写为：mf mfmFtVDD（1.7）对海水受力分析，我们可得重力是主要作用力。而重力产生压力，海洋各处的重力是不同的，所以压力也是不同的，从而在同一水平面上产生了横向的压强梯度力。又因一个做匀速直线运动的物体，在旋转坐标系中还有受惯性力的作用。故在固定的地球坐标系研究海水运动时，还应当考虑科氏力6的作用。且不同层间分子动量交换会产生摩擦力，所以流水运动时，将由四个力的作用：重力、压强梯度力、科氏力、摩擦力。于是，由式（1.7）和式（1.2）可得： VgVptV3121DD（1.8）式中：，是分子摩擦系数，是由分子动量交换引起；为地球转动角速度，即V每日 2，为科氏力；是单位质量的重力。项相比其他项很小，可以忽 V2-g31略，故得： VgVptV21DD（1.9）实际上，式（1.7）就是 N-S 方程。在笛卡儿坐标系中，把式（1.9）运动方程展开，可得： 222222sin21DDzuyuxuvxptu（1.10a） 222222sin21DDzuyuxuuyptv（1.10b） 222222cos21DDzuyuxuguzptw（1.10c）式（1.10）中的最后一项是摩擦力，又称为分子粘性；是纬度。此外，假定，故式vw （1.10a）中的项已被忽略。而式（1.10c)中与相比很小，因而在海cos2 wcos2 ug洋动力学上可以被忽略。 又由式（1.5）和式（1.10）可得： 222222sin21zuyuxuvxpzuwyuvxuutu（1.11a） 222222sin21zuyuxuuxpzvwyvvxvutv（1.11b） 222222cos21zuyuxugvxpzwwywvxwutw（1.11c）式（1.11）就是流体在笛卡儿坐标系中的运动方程。1.4 连续方程的导出 zuu , u zy xyx 图 1.3 控制体 欧拉形式的连续方程通常采用图 1.3 所示的控制体。由图可知，左侧质量流入=，右侧质量流出=，故进入控制体的质量增量为两者的差zyuxxzyuzyu值： zyxxuxxzyuzyuzyu同上理，若考虑三维空间，可得进入控体质量的增量为： zyxzwyvxu-而控体质量的增量又等于zyxt所以，可得下列方程 0)()()(zyxxwxvxuzyxt 0zwyvxut（1.12）将式（1.12）展开可得：0zwyvxuzwyvxut而由式（1.5）可知，上式前四项就是质点导数，故上式可变为 0DD1zwyvxut（1.13） 式（1.13）就是流体连续方程。 在海洋中，我们可以认为流动是不可压缩的。海水的密度几乎是常量。而对于不可压缩流动，其连续方程则变为： 0zwyvxu（1.14） 方程（1.11）和方程（1.14）构成了一个由四个方程组成的方程组即 N-S 方程组，其中三个是运动方程，一个是连续方程。现有未知量四个，如果摩擦力已知，似乎可以pwvu,求解了。不过，还需的边界条件。我们期望 4 个方程加上边界条件能解出 4 个未知pwvu,量。然而，我们发现它们是非线性的偏微分方程，一般情况下这是无解析解的；即使对于一个十分简单的流动也难以得到解析解。迄今为止，对于存在摩擦项的方程还没有精确解，而即使方程是不含摩擦项的方程，也几乎很少有精确解。由于这些方程几乎不可能求解，所以必须使方程简化。只有在方程被高度简化后，才有可能得到解析解。这些解被用于研究海洋动力学过程，其中包括波动。而关于实际海岸和海底特征的流动的求解必须采用数值方法。2. 有限差分法基本概念研究海洋运动方法一般有：理论分析、实验研究、数值计算7。理论分析主要是指现代科学理论对实际问题进行分析的方法。理论方法是一种重要的分析论证方法。实证分析不可能将任何问题都解决，而理论方法是相对于实证分析更快速和高效的方法。然而理论分析方法是间接的方法，任何间接的方法都可能在中间环节出现错误，从而导致论证分析失败。而且它的研究对象常常是针对线性的控制方程，必须简化其物理，使其几何表现有规律可循，对于非线性的情况，很难给出解析结果8。试验研究是为了能够确定一些系数和验证理论结果。由实验测量给出的资料通常是一个物理过程最可信的资料，试验结果真实可靠。理论分析和数值计算就是以实验研究为基础的。但实验往往受到环境影响、操作不当、仪器精度等的限制，还会遇到资金成本，人力和实验材料以及周期长等许多困难。数值计算是一种离散的近似方法，是在计算机上的一种模拟。由于海洋动力学方程是非线性的，由于海洋动力学方程是非线性的，它们可能有数学奇点和未知的或边界无穷远，难以直接求解。因此解决计算机海洋动力学问题仍然需要借助比较简单的线性问题的严格数学分析，并依靠物理直观、实际海洋现场的启发和计算机上的数值试验来进行。数值模拟是利用海洋模式对海洋现象的重复和预演，并揭示其动态过程。随着计算机性能的提高，计算方法的不断发展和完善，电子计算机的可用性，仿真和实验手段，各种海洋动力学问题都可求得数值解。因而计算海洋动力学已越来越成为研究海洋各种物理现象及工程设计的重要手段。计算海洋动力学的各种方法既十分丰富，也十分复杂，为了能较好地掌握计算的基本理论，并具备一定的研究与开发能力，本章给出计算海洋动力学中的一些计算技术与方法。电子计算机上处理的计算必须是离散的和有限的，不能直接描述连续性问题，所以在数值计算方法中，首要的是如何把模式方程组列出离散形式，离散化方法基本上可以分为两类：（1）和离散相结合的谱法等多种分析，变分法和应用快速傅里叶变换方法的；（2）有限差分法、有限元法、PIC (Particle-In-Cell) 法 、MAC (Marker-And-Cell ) 法和 VOF (Volume- Of- Fluid) 法等9。在比较中，有限差分法是最成熟的方法，也是现在最常见的应用。本章先介绍有限差分方法的基本概念，差分格式的建立及其基本性质，如相容性、收敛性和稳定性等，一些伪物理效应及订正，并说明它们的意义及分析方法，为理解和掌握差分格式的设计方法提供必要的基础知识。2.1 解域的离散化与差分网格的建立 在海洋运动中，平流过程是很重要的，表征其特征的一维线性平流方程为 ， 0 xuctu（2.1）式中，u 是两个自变量 x,t 的函数；c 为常数。采用有限差分方法求解时，首先要),(txu做的是等距或非等距分割计算域，分割点被称为网格点，网格点之间的距离叫晶格间距或空间步长、水平分辨率。如果给定边界条件及初始时刻的值，就可以计算出在这些格0t),(txu点上以后时刻的值。u下面以平面为例，说明网格的建立，最简单常用的是“等步长”差分分割。取适当的xy间隔和的平行线组进行分割，平行线组的全部叫网格线群，该交点被称为网格点，xy和分别叫做在 x 方向和 y 方向的晶格距离10。格距的取值应根据研究的实际问题而定。xy编号为的网格点其坐标表示为ji,jiyx , ，xixiMi,.,1 , 0 ， yjyiNj,.,1 , 0（2.2） 函数的值在点表示为),(yxuu ji, ),(),(,yjxiuyxuujiji（2.3）对时间离散，也取一适当的分割间隔，称为时间步长，其分割点记为t（n=0，1，K） 。的取值需按严格的要求，必须满足稳定性等条件。tntnt以上是等间距网格，在河口海岸区域，由于河道分叉、岸线复杂，现在趋向采用非等间距曲线网格，涉及网格正交、加密技术，以及自适应网格等问题，也是目前比较感兴趣的研究课题。2.2 微分方程的离散化下面对一维线性平流方程（2.1）离散化，说明差分方程的建立。即在时空的参考点上，把方程（2.1）写成离散的形式，构成差分方程。这里介绍普遍使用的泰勒展开法。nitx ,由于在所研究的海洋、大气问题中，实际使用的空间步长与方程所描述的特征尺度运动x相比是一个非常小的量，所以可以将函数展开为泰勒级数：),(txu ， ! 3)(! 2),(),(333222xxuxxuxxutxutxxu（2.4a） ， ! 3)(-! 2),(),-(333222xxuxxuxxutxutxxu（2.4b）由式（2.4a）和式（2.4b）可得： ， ! 2),(),(22xxuxtxutxxuxuRxtxutxxu),(),(（2.4c） ， ! 2),-(),(22xxuxtxxutxuxuRxtxxutxu),(),(（2.4d）式中 R 称为截断误差，表示差分的精度，以阶表示，的方次表示阶的大小，）（ x ORx如上式是一阶精度。引入记号 ，),(1txxuuni ，),(1txxuuni ),(txuuni， （2.5）则式（2.4c）,(2.4d)改写为 ， ， Rxuuxuninini1）（ x OR（2.6） ， ， Rxuuxuninini1）（ x OR（2.7）式（2.6）和式（2.7）分别称为空间向前差分和空间向后差分，它们精度都是一阶的。将式（2.4a） ， （2.4b）相减： ，! 3)(22),(),(333xxuxxutxxutxxu ， ! 3)(2),(),(333xxuxtxxutxxuxu ， ， Rxuuxuninini2112OR）（ x（2.8)式（2.8）为一阶导数的中央差分，精度为二阶。xu将式（2.4a） ， （2.4b）相加：， ! 42! 22),(2),(),(444222xxuxxutxutxxutxxu， ! 42),(2),(),(244222xxuxtxutxxutxxuxu ， ， Rxuuuxunininini2112222OR）（ x（2.9）式（2.9）为二阶导数中央差分，精度为二阶。二阶导数，xxuxuxuxxuii212122再用中央差分，就可得到表达式（2.9） 。21ixu21ixu 利用泰勒展开方法构造差分格式有较大的灵活性，如用下式则可以构造不同的差分格式:，! 3)2(! 222),(),(333222xxuxxuxxutxutxxu）（， (2.10)! 3)2(! 222),(),(333222xxuxxuxxutxutxxu）（同理，对时间偏导数进行离散。取时间步长为，在点上可得到时间偏导数tnitx ,的差分表达式：nitu ， ， Rtuutuninini1）（ t OR（2.11） ， ， Rtuutuninini1）（ t OR（2.12） ， ， Rtuutuninini211）（2ORt（2.13） ， ， Rtuuutunininini2112）（2ORt（2.14）式（2.11） ， （2.12）分别是时间向前差分、时间向后差分，式（2.13） ，式（2.14）分别为时间一阶和二阶导数的中央差分格式。结合以上差分，若把一维平流方程（2.1）的导数取时间向前差分，导数分tuxu别取为空间向前、向后和中间差分，便可得到方程（2.1）的 3 种不同差分方程11： ， ， 011xuuctuuninininixt ,O（2.15） ， ， 011xuuctuuninininixt ,O（2.16） ， ， 02111xuuctuunininini2,Oxt （2.17）以上结合差分方程的构造方法而给出了方程（2.1）的几种最基本的差分格式。实际应用中一些差分格式的给出远复杂得多。如果离散的初始条件和边界条件能够给出，即可推出方程（2.1）的 3 种不同差分方程。由于不同的差分格式具有不同的内在性质，与原微分方程有不同的近似关系，呈现不同的数值效应。为了使采用的差分格式得到的数值解能反映真实流动情形，需要分析、判断格式的有效性、可靠性。因此，时间差分格式和空间差分格式的选择必须满足一定的标准，标准差分逼近的一致性，收敛性和稳定性，这将在下面介绍。2.3 阶段误差与相容性 当我们把海洋动力学方程中的微分方程采用差分近似时，首先要求的性质是相容性（一致性） ，即对应的微分方程与差分方程相协调。这是一个最基本的条件，如果不满足，就不能计算所要研究的问题；满足了，才有必要详细地研究差分格式。下面以一维平流方程（2.1)与差分方程（2.18）为例讨论差分方程与微分方程的一致性。 ， 0 xuctu（2.17） ， 00nixnitucu（2.18）式（2.18）差分格式称为欧拉格式，其中差分符号tntn1, ， tuuunininit1（2.19） ， tuuunininit2110（2.20） 其他差分符号也在这里定义如下： ， tuuunininit1（2.21） ， tuuunininit110（2.22） ， xuuunininix1（2.23） ， xuuunininix1（2.24） 在时间上，将时刻的在时刻作泰勒展开：1n1nun ， ， 22212)(tuttutuunninitntn1,（2.25） ， 2212tuttutuunini（2.26） 在空间上将在 网格点作泰勒展开：ui ， 1333222162xuxxuxtuxuuiiii11,iixx（2.27） ， 2333222162xuxxuxxuxuuiiii11,iixx（2.28） 。 213333211122xuxuxxuxuuii（2.29)把式（2.26） ， （2.29）都代入式（2.18）： ，0122213333222xuxuxcxuctuttu 。 0122213333222xuxuxctutxuctu（2.30）上式中右边第一项是由时间差分引起的截断误差，第二项是由空间差分引起的截断误差，总的误差记为。nirT ， 221122TMxcMtrni（2.31）其中，为的上界；为的上界。当，时，1M22tu2M213333xuxu0t0 x0，欧拉差分格式（2.18）逼近微分方程（2.1） ，我们称这种方程具有相容性或一致nirT性。定义：当有限差分的空间步长和时间步长趋向于零时，差分方程与微分方程近似，可xt以说与相应微分方程是相容或一致的12。差分方程截断误差写成一般形式： ， xtOTr（2.32），为相容性的阶，在时间上有阶的精度，在空间上有阶的精度。2.4 累积误差与收敛性当，取得充分地小，可以使得差分格式的截断误差达到所要求的精度，但这不能tx并不能保证数值解的误差一定随之减小。在解区的所有网格点上，固定，考虑微分方程tn初值问题的解与其相容的差分方程的解之差，当，0 时，在解区中niuniUniniUu xt满足 max0，则称差分格式是是收敛的，这就是累积误差与收敛性的问题。niniUu 累积的截断误差叫累积误差，定义为微分方程的解与差分方程的解之差：niuniU 。 nininiUue（2.33）相容性不能保证收敛性。下面仍以一维平流方程的欧拉格式说明。 ， nixnitUcU0（2.34） ， ninixnitTrUcU0（2.35）式（2.35）与式（2.34）相减： ， ， nininininitTreeee1112xtc（2.36） 。 nininininiTrteeee1112（2.37） 假定： nininieee11（2.38） TTrnimax（2.39） 那么， 。 tTetTeeenininini)1 (1（2.40）同样可写出时间层的累积误差， ， tTeenini)1 (1（2.41） ， tTtTeenini11)1 ()1 (，tTtTeni)1 ()1 (12 。 tTeenini21)1 (（2.42） 递推： 。 tTeeninni1011)1 (.)1 (1)1 (（2.43） 假定： ， 00ie（2.44） 。 101)1 (nkknitTe（2.45） 下面利用简单的推导给出求和等式，10)1 (nkk，即求和表达式，上式两边同乘12)1 (.)1 ()1 (1nsknks10)1 (得：1 。ns1.111132两式相减得： ，11ns即 11ns 根据上式重写式（2.45）： ， 11nnitTe（2.46） 或，tntntt xtc ， 11nnixntccxTe（2.47）因 ， AnnenA1lim 。 0n1elimxxtciecxT（2.48）也就是说累积误差没有上界，欧拉格式是不收敛的。 nie定义：如果给定时刻，当和趋向于零时，差分方程的解收敛于于微分方程的解，tx那么这个格式是收敛的。从上面推导可看出它是不收敛的，一个差分格式与相应的微分方程保持一致，并不能保证差分解的收敛性2.5 舍入误差与稳定性分析 数值解的误差有两种原因引起。一是由差分方程近似微分方程时，由截断误差引起，它决定于差分格式和与的大小。二是舍入误差，是由计算机存储数的方式造成的。在计xt算机中，数是按照一个指数和小数的尾数的形式存储的，这种算术运算会有一定的误差，误差的大小决定于一个“字”中位数的多少及最后一位是如何被舍入的。一般地，舍入误差很小，但求解差分方程的过程是逐层进行的，舍入误差将不断出现在以后的计算步骤中。在计算第 n+1 时间层上的时，要用到第 n 时间层的，所以计算第 n+1 层以及更后时间层1niuniu次上的，的值会受时间层的舍入误差影响13。这就会面临差分解是否有界1niu2niuniu的问题，或者说，这种舍入误差在以后的全部数值计算过程中是否无限地增长。这就是差分解的稳定性问题，或差分格式的稳定性。假如这类误差保持不变或越来越小，那么就可以在一定的精度条件下确保数值解的质量，不然，这类误差会越来越大，使得数值模拟出来的解毫无意义。前两种情况称格式是稳定的，后者称是不稳定的。 定义：对足够小的。如果差分解保持有界，那么差分格式是稳定的。t 差分格式的稳定性对数值模拟特别重要，矩阵方法、冯纽曼（von Neumann）方法、能量方法等都是稳定性方法的一般方法。 前面介绍的计算稳定性问题是关于线性偏微分方程的问题而不是非线性偏微分方程。但是用数值方法做海洋预报时，所用到的方程组通常是复杂的非线性偏微分方程。这个稳定性分析通常会可能因为能谱转移或者因为它们不能准确地代表差分方程的非线性项和边界条件，在非线性中，长波能量可以向短波转移，产生新的短波和湍流现象，这是一种物理现象。在符合线性稳定判据时，虽然非线性差分方程在开始的时候是稳定计算的，但随后又会突然快速增长而不稳定，这不稳定可不是通过缩短时间步长就能解决14。3. 海浪表面线性波动3.1 海浪理论海浪通常是由于风的影响而生成的小规模表面重力波15。对海浪的研究主要是分为以下内容：海浪的生成、消散及扩散的过程，建立海浪模型，根据海浪表面风浪场，模拟海浪要素计算、后报与预报。从岸上往海中看，我们发现海面有波动。所谓波动实际上是海面的起伏，这种起伏的波峰波谷垂向距离也就 1m 左右，称之为波高。波长（我们往往以两个波峰之间的距离作为波长）约 50100m。如果观察时间稍长一些，我们会发现波高和波长并不是常数，不同时刻和空间位置的波高具有随机性。波浪的统计性质，如 100 个波的平均高度，每日也是不同的，近岸波的这些显著特征是由风场产生的。有时当地风场引起海面波动，而在有些情况下，波动是由远处的风暴影响而传播到沿岸的，海岸破碎的波可能源自 10000km 远处的风暴或台风。表面波是非线性的，运动方程的解决取决于表面边界条件，但表面边界条件恰恰是我们想计算的未知波。以上波动我们称为海浪。所谓海浪是指在风力作用下产生的短周期波动（规则的和不规则的）在海洋中的传播。我们把在风力作用下在当地产生的一种海面不规则的起伏称为风浪，他的周期相对较小，一般为 10s 的量级。在无风的时间段，海面会出现表面光滑的规则波动，它是由远方海域的风浪传播而来的，称之为涌浪。关于海浪的研究方法目前有两种：1、理论方法。理论方法便是视海水不可压且运动无旋，用海洋动力学基本方程组研究理想的规则波动（斯托克斯波和正弦波等） 。以此说明实际海洋中发生的一些比较规则的波动现象。二、统计方法。统计方法是把实际观察数据和波动理论相结合，把实际海浪看做一系列振幅不同、位相不等的正弦波的叠加，利用谱分析的方法确定组成波谱的特征。这种方法就是傅里叶级数展开。海浪的运动特点：海浪的传播实际上是一种波形的传播，能量的传播，海水的质点是作椭圆运动的；海浪在深海以定常速度和振幅运动；进入浅海时，速度会减小、波高增加，在近海滩处会发生破碎；海底起伏可引起海浪的折射，海岸和障碍物引起海浪的反射和绕射。另一种情况，海平面高度时刻都在变化。一天内，海面高度相对岸边某一点升高或降低的幅度为 1m 左右。这种海平面的缓慢升降为潮汐所致，是海表另一种类型的波动。潮波的波长有数千米，是日、月相对于地球缓慢运动时万有引力缓慢并少量的变化所致。海洋表面线性波动理论，这是一种校振幅波理论，因为描述该运动的运动方程和边界条件是线性的。3.2 表面二维线性波动的基本方程与边界条件 线性波动是研究复杂波的基础，可以近似地说明复杂波的一些基础16。研究线性波的基本假定：1.流体为理想不可压匀质流体；2.运动无旋；3.重力为唯一的外力；4.波动的振幅相对于波长是一小量；5.水域广阔等深。 由 N-S 方程组得不可压无粘性流动的方程组如下： xpzuwyuvxuutu1 ypzvwyvvxvutv1（3.1） gzpzwwywvxwutw1连续方程为 0zwyvxu（3.2） 边界条件如下： （1）在海表 yvxuttwzdd,（3.4） ),(tyxppa（3.5）式中：是大气压力，是海面高度。ap （2）在固定边界 0nV（3.6） 我们可以证明式（3.1）描述的运动是无旋运动。思路如下：在流场中作一条封闭曲线，证明沿此环路对时间的导数为零，即环流不随时间变化。利用斯托克斯定理可知，涡通量等于环流，则如果流体开始无旋，将永远无旋。 zwyvxulVtttccdddd式中：Ct 是任意封闭曲线。 wwvvuuztwytvxuttttccdddddddddddtddd因为 =0222d21d21d21dddwvuwwvvuuttcc ztwytvxutttcddddddddtddd（3.7）把式（3.1）代入式（3.5）： zgzpyypxxptttcd1d1d1dd0dtcgp（3.8） 式（3.8）说明速度环流的实质微商为零，也就是速度环流不随时间变化，从而涡通量也不随时间变化，说明流体在开始时无旋则永远无旋17。因是无旋运动，所以可以引入速度势，满足： V（3.9） 或 ， ， xuyvzw（3.10） 连续方程（3.2）变为： 0222222zyx（3.11）因为，与式（3.1）合并得运动方程：21VV tCgzpt21（3.12）式中：仅为时间 t 的函数。式（3.12）可改成如下形式：tC 021dgzpttCt（3.13） 设，我们有：tt dC1 1 021111gzpt（3.14） 仍然是速度势，所以：1 021gzpt（3.15） 关于速度势的边界条件变成： (1)在海表， zzyyxxtz（3.16a） ),(tyxppa（3.16b） (2)在固定边界， 0n（3.17） 把代入式（3.15）得：),(tyxppa 021gptaz（3.18） 式（3.11）和式（3.15）至式（3.18）为速度势表示的基本方程和边界条件。 如果 常数，则式（3.15）变为：0ppa tpttptgzpt0021 0021pgzptpt（3.19） 设，则式（3.19）变成：tp0 021pgzpt（3.20）去“”号得： 0210gzppt（3.21） 这样，我们得到了描述无旋运动的 5 个基本方程： 0222222zyx 0210gzppt zzyyxxtz（3.22） 0boundary fixedn021gtz其中式（3.22）的第一方程是拉普拉斯方程。因为波动的振幅相对于波长（）是一小量，这就意味着，以及边界条件中H的（），皆可忽略不计，；xx yy 0zzzz0zztt 根据这些假定，有： 02222zx gztpp0 0zzt（3.23） 0 dzz 00gtz 把式（3.23）的第 3 式和第 5 式合并，得： 01022ztgz（3.24）3.3 表面二维线性波动的求解 在流体力学中我们知道，对于无旋运动，运动学问题和动力学问题可分开求解，即先从拉普拉斯方程和边界条件求得速度（或求得势函数） ，再由拉格朗日积分求得压强，使问题全部解决18。 第一步，确定势函数。 我们讨论简单波动，设为前进波，则可直接写出波动势函数的形式为 tkxzcos0（3.25） 第二步，确定满足的微分方程和边界条件。 z0 把式（3.25）代入式(3.23)的第一式： 0coscos202202ztkxzxtkxz 0dd02202zkzz（3.26） 把式（3.25）代入式(3.23)： 0cos1cos02020zttkxzgztkxz 0dd0020zzgzz（3.27）把式（3.25）代入， 0 dzz 0 dzz（3.28）第三步，求解满足的微分方程。 z0式（3.26）在边界条件式（3.27）和式（3.28）下的解的形式为： kzkzBeAez0（3.29）上式中 A 和 B 是常数，可由边界条件来确定。把式（3.29）代入式（3.28）; 0dzd02zkzkzkzkzBeAegBeAe (3.31)0AkdkdBee这样，我们得到一个线性齐次方程组： 022BkgAkg (3.32)0AkdkdBee如果它有非零解，则： =0 (3.33) 22gkgkeekdkd (3.34)kdkg tanh2式(3.34)即为频散关系。同时，我们得到波速的表达式： (3.35)kdkgctanh2从式（3.31） ，我们可以得出： DBeekdkd21A式中：D 是常数。 由式（3.25）和式（3.29）及上式可得 )cos()(coshtkxdkkD（3.36） 设 ，我们有 kdDgacosh tkxasin（3.37） )cos(cosh)(coshtkxkddzkag（3.38） 第四步，求压强分布。 把式（3.40）代入方程组（3.23）的第二个式子，可得; (3.39)gzttkxkddzkagppcoscosh)(cosh0 第五步，求速度。 tkxkddzkagktkxkddzkagxxusincoshcoshcoscosh)(cosh（3.40）（3.41tkxkddzkagktkxkddzkagzzwcoscoshsinhcoscosh)(cosh） 第六步，求质点轨迹。 tkxkddzkagkutxsincoshcoshdd（3.42） tkxkddzkagkwtzcoscoshsinhdd（3.43） 由于是小振幅波动，在积分时被积函数中的坐标（x,z）可用平衡位置的坐标（，)0 x0z代替，所以有： ttkxkddzkagkxdsincosh)(coshd00 (3.44)ttkxkddzkagkzdcoscosh)(sinhd00 =0 xxtkxkddzkagk002coscosh)(cosh = (3.45)0zz tkxkddzkagk002sincosh)(sinh 把式（3.34）代入式（3.45） =0 xxtkxkddzka00cossinh)(cosh = 0zz tkxkddzka00sinsinh)(sinh（3.46） 将方程组（3.46）合并成一个式子，可以得： 1sinh)(sinhsinh)(cosh20202020kddzkazzkddzkaxx（3.47） 表面重力波 波动前进方向 海底 图 3.1 表面重力波上式表明。水质点的运动轨迹为椭圆。椭圆的水平轴和铅直轴随着离开自由表面向下而逐渐减小，于水底处，铅直轴变为零，质点只做水平运动（图 3.1） 。如果波从左向右传播，则流体质点做顺时针运动。 结束语 本文对海洋动力学基本方程进行了研究，着重介绍了 N-S 方程的推导过程，及求解 N-S方程的数值方法中有限差分法的差分格式的建立及其误差和基本性质分析，如相容性、收敛性、稳定性分析等，能让读者更加清晰的了解 N-S 方程的求解方法。最后，本文用 N-S 方程研究理想的规则波动（正弦波和斯托克斯波等） ，视海水不可压且运动无旋，以此说明实际海洋中发生的一些比较规则的波动现象。本文具体推导了海洋动力学基本方程，推导出中三个运动方程和一个连续方程构成的 N-S 方程组，并由此推出海浪表面二维线性波动的基本方程，对于无旋运动，分开求解运动学问题和动力学问题，即先从拉普拉斯方程和边界条件求得速度（或求得势函数） ，再由拉格朗日积分求得压强，使问题全部解决。最终的出结论：水质点的运动轨迹为椭圆。椭圆的水平轴和铅直轴随着离开自由表面向下而逐渐减小，于水底处，铅直轴变为零，质点只做水平运动。如果波从左向右传播，则流体质点做顺时针运动。首先，本文介绍了海洋动力学基本方程的推导过程，推导出由三个运动方程和一个连续方程构成的 N-S 方程组。这是本论文研究的基础。其次，本文介绍了介绍有限差分方法的基本概念，差分格式的建立及其基本性质，如相容性、收敛性和稳定性等，一些伪物理效应及订正，并说明它们的意义及分析方法，为理解和掌握差分格式的设计方法提供必要的基础知识，能让读者更加清晰的了解 N-S 方程的求解方法。最后，本文又介绍了海浪表面二维线性波动的基本方程的推导过程及该方程的求解过程。最终的出结论：水质点的运动轨迹为椭圆。椭圆的水平轴和铅直轴随着离开自由表面向下而逐渐减小，于水底处，铅直轴变为零，质点只做水平运动。如果波从左向右传播，则流体质点做顺时针运动。线性波动是研究复杂波的基础，可以近似地说明复杂波的一些基础。海浪表面二维线性波动的基本方程是由 NS 方程假定边界条件后推导出来的，也是求解 NS方程的基础。在完成此论文工作的基础上，仍然有很多值得进一步研究的问题。本论文只是求解了最简单边界条件时海浪的线性微分方程。而用修正过的 N-S 方程组描述海洋运动，关键的差异在于引入了在地球上非常重要的旋转效应项，以及适用于球面薄层流体的一些近似。 另外，海洋区别于其他流体介质在于海洋存在多种热力学示踪要素（温度和盐度） ，以及状态方程的高度非线性化，这些本文都未作详细讨论。 参考文献1刘峰.GPU 加速的云的生成和动态模拟D.2005.2陈晖.浸没式光刻机浸液流动特性及其对物镜影响D.2011.3薛运华.Navier-Stokes 方程的自适应迎风有限元方法D.2007.4李绍武.N-S 方程的数值解法及其在水波动力学中应用的综述J.海洋通报,2004,23:4.5吕华庆.物理海洋学基础.北京：海洋出版社，2012.47-66 页.5杨学祥,陈殿友,孙春林.均衡运动中的科里奥利力J.地壳形变与地震,1995,03:38-43.7李允昌.465Q 内燃机冷却水泵的优化设计D.2008.8杨金艳.ELCIRC 模型在长江口的应用D.2006.9 Harlow F H The particle-in-cell computing method for fluid dynamics J. 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