高三数学复习中数学思想方法的渗透

高三数学复习中数学思想方法的渗透高三数学复习中数学思想方法的渗透 数学思想方法数学思想方法 l数学思想方法是指数学思维方法，主要是逻辑方法（归纳、类比、演绎、分析、综合等）、非逻辑方法和创造性思维（形象思维、灵感思维、审美直觉、反思维定势的思维方法等）。 高三数学复习中重视对数学思维方法的渗透是培养学生数学思维能力的需要，也是适应近几年数学高考越来越重视对数学思维能力考查的需要. 1963年数学教学大纲首次提出培养“三大能力”，到1978年又增加了“逐步培养学生分析问题，解决问题的能力”，2002年又将原“逻辑思维能力”改为“数学思维能力”，2003年 “数学新课程标准”中将“注重学生的数学思维能力”作为课程的基本理念提出来，这一次的修改，决非搞文字游戏，而是事关本质，是认识上一次次的升华. 从数学教学大纲修改过程得到启示：数学教学必需重视数学思想方法的渗透.数学思维方法的培养 n数学思维方法是在学习数学和运用数学解决问题的过程中，不断的经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思建构等思维过程中逐步获得，数学思维方法是数学素养的核心.在高三数学复习过程中,题海是茫茫无涯的,但数学思想方法是有限的.以有限的具具体数学思想方法体数学思想方法去攻克题海是提高数学复习效率的捷径. 一、映射的思想方法例题1.(2008浙江高考T17)若且当 时, 恒有,则以a,b为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域的面积等于_100yxyx1byax 方法方法(1) 变换思想变换思想: ,区域 变换为区域 时 ,恒有 成立,得到 则点P(a,b)所形成的平面区域的面积等于1. byyaxx001xyxy100byaxyx1 yx10 , 10ban方法(2)：多元化归一元思想多元化归一元思想：由 得到 则对 恒成立即对 恒成立，令则 得到 则点P(a,b)所形成的平面区域的面积等于1. 1 yx,1 xy1)1 (xbax 1 , 0 x01)(bxba 1 , 0 x1)()(bxbaxf1) 1 (1) 0 (ff10 , 10ba方法（方法（3）换元思想）换元思想：设 ，则 。当 时， 时， ， 当 时， 时，则点P(a,b)所形成的平面区域的面积等于1.22sin,cosryrx10 r01cos)(2brbarba 1cos21ra10 aba 0cos210 , 1bbrn例题例题2.(2007江苏T10)在平面直角坐标系xoy中,已知 平面区域, 则平面区域 的面积是-( ) A.2 B.1 C.1/2 D.1/4 ( , )|1,0,0Ax yxyxy(,)|( , )Bxy xyx yA变换的思想:设 ,则 区域A的点(0,0)、(1,0),(0,1)在矩阵 的作用分别为(0，0)， (1，1)、(1，-1)，则(0，0)，(1，1)、(1，-1)围成的三角形面积是1. uxyvxy1111uxvy 1111如（08高考全国T21）设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线 与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点（1）若 ，求的值;（2）求四边形面积的最大值.(2 0)(01)AB，)0(kkxyDFByxAOE6EDDF (1)依题设得椭圆的方程为直线 的方程分别为 ： ，如图，设 ，其中 且 满足方程 故 2214xyAB EF，22xy(0)y kx k001122()()()D xkxE xkxF xkx，12xx12xx，22(14)4kx212214xxk 由 知， 得；由D在AB上知 ，得：所以 ，化简得 ，解得 或6EDDF 01206()xxxx021221510(6)777 1 4xxxxk0022xkx0212xk22101 27 1 4kk2242560kk23k 38k 解法一：根据点到直线的距离公式和式知，点E，F到AB的距离分别为又 ，所以四边形的面积为当 ，即当 时 ，上式取等号所以的最大值为21112222(1214)55(14)xkxkkhk22222222(1214)55(14)xkxkkhk2215AB 121()2SAB hh214(12 )525(14)kk22(12 )14kk221 4421 4kkk2 221k 12k 2 2解法二：由题设， ，设 ， 由得 ，故四边形AEBF的面积为当时，上式取等号所以的最大值为 1BO 2AO 11ykx22ykx20 x 210yy BEFAEFSSS222xy222(2)xy22222244xyx y22222(4)xy2 22 2解法三解法三:变换思想方法,圆 ,经伸缩变换得 ,则此圆内接四边形AEBF面积最大值是 ,所以椭圆内接四边形面积 224xy2214xy14 22 2214 2 24 22 二、以“不变应万变”的不变量思想n在数学学习过程中,如面积、长度、体积、离心率等量不因为坐标变换而变化.既然是不变量,则坐标选择不影响这些量. 例题例题3、已知点P在内,且 求凹四边形ABPC的面积与 的面积之比. ,AB AC (01,01)AP tAB sACts ABC建立平面直角坐标系，取正交单位向量则点B（1，0），C（0，1）P（t,s）,凹四边形ABPC的面积是 ,的面积是，则凹四边形ABPC的面积与 的面积之比为 ABC1()2stABC():1st如如09高考调测题：高考调测题：已知 ，点P在直线AB上，则 _ A. B. C. D. AOB2()OPtPAtOB tR |PAPB 131223 , , 选直角坐标OA，OB为x,y轴得到点 则点 ，则 21 21 2ttOPOAOBtt OBOAOP3132(1,0),(0,1)AB2 1( , )3 3P|PAPB 1t12三、归纳类比的思想方法n数学家波利亚说过：“类比是伟大的引路人,求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的问题进行类比.”. 无限与有限、不等与相等、等比与等差、直线与平面、面积与体积、圆周与球面、加法中“0”与除法中的“1”等等，都可作为类比来探究.n例题例题4、n条直线最多将平面分成多少个区域? 将直线用平面去类比,又将得到什么样的结论呢?即n个平面最多将空间分成多少个区域? 设直线 将平面最多分成的区域数为 , 再插入第2条直线记 此直线与 相交,在 上产生1个交点，将 分成2段，每一段将原区域一分为二,新增区域2个， ,插入第3条直线记 ,此直线与直线 ,相交产生2个交点,将 分成3段,每段将原区域一分为二,新增区域数3个,数学表达式为: . 归纳推理：插入第n+1条直线 ,此直线与 的n条直线相交,产生n个交点,将 分成n+1段,每一段将原区域一分为二,新增区域n+1个. ,21nl、ll na2, 110 aa2l1l2l2l212 aa3l21,ll3l323aa1nlnl、ll 211nl 得到数学表达式: 累加相消得: 即 设平面 , 它们将空间最多分成区域 个 归纳推理:插入第n+1个平面 ,这个平面与原来n个平面相交产生n条直线,这n条直线将平面 分成最多 个区域(平面),它们将原区域(空间)一分为二,新增区域(空间) 个 11nnaannaan 43211 n=0 (1)1 n12nan n(1)1()2nn nanN n、21nc. 2, 110cc1n1nnana所以 ,即左边累加相消,右边公式求和得:验证:正四面体的各个面伸展后,将空间分成区域 个 nnnacc12111122nnccnn 1211211212cc2212211223cc) 1(21) 1(21121nnccnn2(5) 1()6nncnnN154c如如:观察下列等式：2123213432111,22111,326111,424nininiinninnninnn45432111110,52330niinnnnn 112112101,nkkkkkkkkkiiana nanana na可以推测，当k2（kN*）时， _ _1111,12kkkaaak2ka如如: 平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件_ 充要条件_（写出你认为正确的两个充要条件）四、待定常数法待定的结构是： 即 (1)设 , (2) 当方程（2）有等根时，求得m代入（1）取倒数，新数列成等差数列；当方程（2）有两个不同根时，将根 代入，新数列 成等比数列. 1,nnnaabammcad1()nnnbdmaacmamacmcadbdmmacm2()0cmad mb1nam12,m m12nnamam例题5、数列 ， ， 求na11,nnnaabat acadna例例6.已知函数 , ， 求 2( )1f xxx11a 1()()nnnnf aaaf a(1,2,)n na分析:由 得：1( )( )nnnnf aaaf a21121nnnaaa2211212121nnnnnnaamamammaa2()21nnama当 时,即方程f(m)=0的根为 （ ） ，新数列 是以 为首项,公比是2的等比数列. 21mm , 211()nnnnaaaalnnnaa2ln待定常数m结构如下: 如下2007年广东T21题的模式是待定常数m的结构:已知函数 ， 是方程f(x)=0的根( ), (1)求 (2)证明: (3)记 ，求数列 的前n项和 2( )1f xxx , 11a 1( )( )nnnnf aaaf a (1,2,)n , nalnnnnaba nbns例例7.数列 ,满足 ，求 na1112,1,nnnapaqaaapna待定常数 ，结构如下: ，则 ， 是方程 之根,数列是以 ，为首项,公比是 的等比数列,则 同理 从中消去 ，得: , 11()nnnnaaaa11()()nnnaaa , pq , 20 xpxq1nnaa21aap11nnnaa11nnnaa1na()nnna如下2008年广东T21题的模式是待定常数 ，的结构:, 设 ，为实数， 是方程 的两个实根，数列 满足 ， 。（1）证明： ， ；（2）求数列 ，的通项公式； （3）若 ， ，求 的前项和 pq，20 xpxqnx1xp22xpq12nnnxpxqx(3 4n ， ，）p qnx1p14q nxnS如如09高考调测高考调测“矩阵与变换和坐标与参数方程矩阵与变换和坐标与参数方程”题题：极坐标系中，极点O， 曲线C：（1）求直线 的极坐标方程；（2）记直线 与曲线C交于A、B两点，求大小12(3, 0),(3,),2PP212PP12PPAOB五、“指数与下标”同步法n在数列问题求解中“指数与下标”同步法能提高解题的有效性.例8、已知正项数列 ，（1）求）求 （2） ，求并确定最小正整数n,使得 为整数na111123,()2nnnnnnaaaa an Naana2221222212111,nnnnsaaa TaaannsTnnsT分析结构：（1） 1111122122nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa1111112222nnnnnnnnaaaa两边累加相消得： 211121(249)33nnnnnnaaa（2） 22221211439nnnnnnaaaa64(41)27nnnsT9n分析：由 要使“指数与下标”同步，只要上式两边同除以 得： ，累加相消求 11322nnnaa12k11223222kkkkkaana另法:由 待定常数m结构是: 得m=-1,则新数列 是以为首项公比是2的等比数列, 11322nnnaa11112()22nnnnamam12nna122nnna 例例9、已知数列 , (1)求 ; (2)设数列 的前n项和为 ，求证：na11133,222nnnaaananans11nkks11232nnns211223 21nnnns 1112121nn1111121nnkks 当然,为了减少难度可在(1)前插入一个小题:求证数列 是等比数列.12nna 此题的命题结构是 类比结构 11(1)nkk k12111112()212123 21knnkkkkkk 1111232nkkk 设 ,则由 得: 再倒过来命此题.211232kkks 11kkkass11322nnnaa1121 (21)(21)(21)nnnn 六、通法评析案例通法可雪中送炭，巧法乃锦上添花，讲评讲出通法可雪中送炭，巧法乃锦上添花，讲评讲出思想思想与与方法。方法。什么是你教学的成果什么是你教学的成果? ? 当学生走出校门，经过遗忘和沉淀当学生走出校门，经过遗忘和沉淀后的东后的东西（西（思想和方法思想和方法）才是我们教）才是我们教育教学的真正成果。我们要给让学生育教学的真正成果。我们要给让学生一生受益一生受益的东西。的东西。我们给了吗？我们给了吗？给了多少？给了多少？