线性代数试卷及答案

线性代数 A 试题（ A 卷）试卷类别：闭卷考试时间： 120 分钟考试科目：线性代数考试时间：学号：姓名：题号一二三四五六七总分得分阅卷人一单项选择题（每小题3 分，共 30 分）1设 A 经过初等行变换变为B ，则（）.(下面的 r ( A), r ( B) 分别表示矩阵A, B 的秩 )。( A)r ( A)r (B) ；(B)r ( A)r ( B) ；(C )r ( A)r (B) ；(D )无法判定 r ( A) 与 r (B) 之间的关系。2设 A 为 n ( n2) 阶方阵且 | A |0 ，则（）。( A)A 中有一行元素全为零；(B)A 有两行（列）元素对应成比例；(C )A 中必有一行为其余行的线性组合；( D )A 的任一行为其余行的线性组合。3. 设 A, B 是 n 阶矩阵 ( n2 ),ABO ,则下列结论一定正确的是: ()(A)AO或BO;(B)B的每个行向量都是齐次线性方程组AX =O 的解 .(C)BAO;(D )R( A)R(B)n.4下列 不是 n 维向量组1,2 ,.,s线性无关的充分必要条件是（）( A)存在一组不全为零的数k1 ,k2 ,., ks 使得 k1 1k2 2.kssO ；第1页共6页( B)不存在一组不全为零的数k1 ,k2 ,., ks 使得 k1 1k2 2 .ks s O(C )1,2 ,.,s的秩等于 s ；(D )1,2 ,.,s中任意一个向量都不能用其余向量线性表示1aa .aa1a .a5设 n 阶矩阵 (n3)A . .，若矩阵 A 的秩为 n1，则 a 必为（）。.aaa .1( A)1；(B)1；(C )1；(D )1.1 nn1a100b16四阶行列式0a2b20的值等于（）。0b3a30b400a4( A) a1a2 a3a4b1b2b3b4 ；(B)a1a2 a3 a4b1b2b3b4 ；(C )( a1 a2 b1b2 )(a3 a4b3b4 ) ； (D )( a2 a3 b2b3 )(a1 a4b1b4 ) .7设 A为四阶矩阵且Ab ，则 A 的伴随矩阵A*的行列式为（）。( A)b ；( B)b2 ；(C )b3 ；(D )b48设A为 n 阶矩阵满足 A23 A InO ，I n为 n 阶单位矩阵 则1（）, A( A ) I n ；( B) A3I n ；(C )A 3I n ；( D ) 3A I n9设 A ， B 是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（）。( A)A 与 B 的秩相同；(B)A 与 B 的特征值相同；(C )A 与 B 的特征矩阵相同；(D )A 与 B 的行列式相同；第2页共6页10设 A 为 n 阶矩阵 ,则 A 以 0 为特征值是A0 的（）。( A)充分非必要条件；( B)必要非充分条件；(C )既非充分又非必要条件；( D )充分必要条件；二填空题（每小题3 分，共 18分）00041计算行列式0043。043243211001231002.010456001_ 。0017890103二次型f ( x1 , x2 , x3 )x1 x2 x2 x3 x3x1 对应的对称矩阵为。4已知 1(0,0,1) ，2 ( 22, 22,0)， 3 ( 22, 22,0)是欧氏空间3 的一组标准正交基，则向量(1,1,1)在这组基下的坐标为。7415已知矩阵A471 的特征值为13(二重 ), 212, 则 x_。44x6设1,2 ,3 均为 3 维列向量，记矩阵 A1,2,3，B(1 2 3,12243, 13 293) 。如果 |A| 1，则|B|。23121三(8 分) A120 , B1 0, AX B,求X。10331第3页共6页四（10 分）设向量组1(1,1,2,3) T ，2(1, 1,1,1)T ，3(1,3,3,5)T ，4(4,2,5,6) T ，5( 3, 1, 5, 7) T 。试求它的秩及一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。x1x2px32五（ 12 分）讨论线性方程组x1px2x31解的情况， 并在有无穷多解时求其解 。px1x2x31第4页共6页124六（ 14 分）设 A222，（ 1）、求出 A 的所有特征值和特征向量；（ 2）、求正交 矩阵 T ，421使得 T 1 AT 为对角矩阵。七（ 8 分）对任意的矩阵A ,证明：(1) A AT 为对称矩阵 , A AT 为反对称矩阵；(2) A 可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。线性代数 A参考答案（ A 卷）一、单项选择题（每小题3 分，共 30 分）12345678910BCDABDCCCD二、填空题（每小题3 分，共 18 分）第5页共6页132011221、256；2、465；3、101；22798110224、 1,2,0；5、 4；6、2。三 解：因为矩阵 A 的行列式不为零 ,则 A 可逆 ,因此 XA 1B.为了求 A1B,可利用下列初等行变换的方法：2312112010120101201023121011411033110331023211027210027810027801141010144010144001103001103001103（6 分）278所以 XA 1 B144.（ 8 分）103四解：对向量组1,2, 3,4 ,5 作如下的初等行变换可得：1114311143(1,2,3,4,5 )11321022622135501131315670226211143102120113101131000000000（ 5 分）00000000000从 而1 ,2 ,3,4, 的一个极大线性无关组为1,2， 故 秩1, 2, 3, 4, 5 2（8 分）第6页共6页且3212，4132，5212（10分）五解：对方程组的增广矩阵进行如下初等行变换：11p211p21p121p110p 1 1 p30p 11 p3p 11101 p 1 p21 2p002 p p24 2 p1p120p11p3( 4分)00(2p)( p 1)4 2 p(1)当 p1 0,且 (2p)( p 1) 0时 , 即 p1,且 p2时, 系数矩阵与增广矩阵的秩均为3,此时方程组有唯一解.（5 分）(2)当 p1时,系数矩阵的秩为 1,增广矩阵的秩为 2,此时方程组无解 .（ 6 分）(3)当 p2时, 此时方程组有无穷多组解 .方程组的增广矩阵进行初等行变换可化为11221122112212110333011121110333000010110111（8分）0000故原方程组与下列方程组同解:x1x31x2x31令 x30, 可得上述非齐次线性方程组的一个特解0( 1, 1,0)T;x1x30, 令它对应的齐次线性方程组x3的基础解系含有一个元素x20第7页共6页x31,可得1(1,1,1)T 为该齐次线性方程组的一个解,它构成该齐次线性方程组的基础解系 .此时原方程组的通解为k0 0k1 1 , 这里 k0 , k1为任意常数 . （ 12 分）六解：（1）由于A的特征多项式124|I A|222(3)2 (6)421故 A 的特征值为13 （二重特征值） ，36 。（ 3 分）424x10当 13时，由 ( 1IA)XO ，即：212x20 得424x30基础解系为11,2,0 T , 2 1,0,1T，故属于特征值13 的所有特征向量为 k11k22 ,k1 , k2 不全为零的任意常数。（ 6 分）524x10当 36时，由 (3 IA) XO ，即：282x20得基425x30础解系为32,1,2 T ，故属于特征值 26的所有特征向量为k33 ,k3为非零的任意常数。-(8分 )(2)将1 ,2正交化可得：11 1,2,0 T ,222 ,114 ,2 ,1T1 ,155。再将其单位化得：第8页共6页TT115,2 5,0,224 5 ,2 5 ,5155215153T将3 单位化得：32,1,2。（ 12 分）3 33则1,2,3是A的一组单位正交的特征向量，令54525153T1,2 ,3252515153052333则 T 是一个正交矩阵，且T 1AT3。（ 14 分）6七证明：(1)因为 (AAT )TAT(AT )TAAT,因此AAT为对称矩阵。（ 2 分）同理,因为 (T)TT(T)TT(T此AAAAAAA因)A,AAT为反对称矩阵。（ 4 分）(2)因为 A1 ( AAT )1 ( AAT ), （ 6 分）22而由 (1)知1 ( AAT ) 为对称矩阵 ,1 ( AAT ) 为反对称矩阵 ,因此任何22矩阵 A 都可以表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。（8分）第9页共6页