资源描述
三、分类与整合思想分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合.方法一公式、定理分类整合法模型解法公式、定理分类整合法即利用数学中的基本公式、定理对研究对象进行分类，然后分别对每类问题进行解决的方法此方法多适用于公式、定理自身需要分类讨论的情况破解此类题的关键点：分类转化，结合已知所涉及的知识点，找到合理的分类标准依次求解，对每个分类所对应的问题，逐次求解汇总结论，汇总分类结果，得结论典例1设等比数列an的公比为q，前n项和Sn>0 (n1,2,3，)，则q的取值范围是_解析由an是等比数列，Sn>0，可得a1S1>0，q0，当q1时，Snna1>0.当q1时，Sn>0，即>0(n1,2,3，)，则有或由得1<q<1，由得q>1.故q的取值范围是(1,0)(0，)答案(1,0)(0，)思维升华公式、定理的分类整合法的分类一般比较固定，由定理、公式的限制引起的分类整合法往往是因为有的数学定理、公式是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等跟踪演练1Sn是等比数列an的前n项和，若S4，S3，S5成等差数列，则an的公比为()A. B2 C D2答案D解析设an的公比为q(q0)，由等比数列an的前n项和为Sn，且S4，S3，S5成等差数列，得2S3S4S5.当q1时，S44a1，S33a1，S55a1，此时2S3S4S5，不满足题意；当q1时，有，即q2q20，解得q2或q1(舍去)方法二位置关系的分类整合法模型解法对于几何中位置关系的分类讨论问题常采用分类整合法，这种方法适用于解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系，以及几何图形中点、线、面的位置关系的研究破解此类题的关键点：确定特征，一般在确立初步特征时将能确定的所有位置先确定分类，根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类得出结论，将“所有关系”下的目标问题进行汇总处理典例2在约束条件下，当3s5时，z3x2y的最大值的变化范围是()A6,15 B7,15C6,8 D7,8解析由可得由图，可得A(2,0)，B(4s,2s4)，C(0，s)，C(0,4)当3s<4时，不等式组所表示的可行域是四边形OABC及其内部，此时，z3x2y在点B处取得最大值，且zmax3(4s)2(2s4)s4，由3s<4，得7zmax<8.当4s5时，不等式组所表示的可行域是OAC及其内部，此时z3x2y在点C处取得最大值，且zmax8.综上可知，z3x2y的最大值的变化范围是7,8，故选D.答案D思维升华(1)在解析几何位置关系的研究中，不能仅仅关注直线与圆锥曲线的位置关系中的相交、相离和相切三种情况，还要注意焦点在不同位置时的关系的探究(2)在几何图形的相关问题中，要充分发挥空间想象能力，将所有可能出现的关系“一网打尽”如本题随着s取值的变化，目标函数值是会随着变化的，如果考虑不全，就会得出错误结论跟踪演练2抛物线y24px(p>0)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若OPF为等腰三角形，则这样的点P的个数为_答案4解析当|PO|PF|时，点P在线段OF的中垂线上，此时，点P的位置有两个；当|OP|OF|时，点P的位置也有两个；对|FO|FP|的情形，点P不存在事实上，F(p，0)，若设P(x，y)，则|FO|p，|FP|，若p，则有x22pxy20，又y24px，x22px0，解得x0或x2p，当x0时，不构成三角形当x2p(p>0)时，与点P在抛物线上矛盾符合要求的点P有4个方法三含参问题的分类整合法模型解法含参问题的分类整合法是分类讨论问题中最重要、最常见也是最复杂的一种方法，在解决问题中一般根据参数的取值范围进行分类此模型适用于某些含有参数的问题，如含参的方程、不等式等，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的方法进行求解或证明，因此要分类讨论破解此类题的关键点：确定范围，确定需要分类问题中参数的取值范围确定分类标准，这些分类标准都是在解题过程中根据解决问题的需要确定的，注意有些参数可能出现多级分类，要做到不重不漏分类解决问题，对分类出来的各相应问题分别进行求解得出结论，将所得到的结论进行汇总，得出正确结论典例3函数f(x)ax24x3在0,2上有最大值f(2)，则实数a的取值范围为()A(，1 B1，)C(，0) D(0，)解析方法一当a0时，f(x)4x3在0,2上为单调递增函数，最大值为f(2)，满足题意当a0时，函数f(x)ax24x3a23，其对称轴为x.当a>0时，f(x)ax24x3在0,2上为单调递增函数，最大值为f(2)，满足题意当a<0时，只有当2，即1a<0时，f(x)ax24x3在0,2上为单调递增函数，最大值为f(2)，满足题意综上，当a1时，函数f(x)ax24x3在0,2上有最大值f(2)故选B.方法二由f(x)ax24x3，得f(x)2ax4，要使函数f(x)ax24x3在0,2上有最大值f(2)，需使f(x)ax24x3在0,2上为单调递增函数，则f(x)2ax40在0,2上恒成立，当x0时成立，当x0时，由x(0,2，得a，因为在(0,2上的最大值为1，所以a1.综上，当a1时，函数f(x)ax24x3在0,2上有最大值f(2)故选B.答案B思维升华对于含参问题的分类讨论主要有以下三种类型：(1)概念型，即问题所涉及的数学概念是分类进行定义的，如|a|的定义分a>0，a0，a<0三种情况(2)性质型，即问题中涉及的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制、或者是分类给出的，如等比数列的前n项和公式，分q1和q1两种情况(3)含参型，求解含有参数的问题时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都需要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性跟踪演练3已知椭圆C的两个焦点分别为F1(1,0)，F2(1,0)，且F2到直线xy90的距离等于椭圆的短轴长(1)求椭圆C的方程；(2)若圆P的圆心为P(0，t)(t>0)，且经过F1，F2两点，Q是椭圆C上的动点且在圆P外，过Q作圆P的切线，切点为M，当|QM|的最大值为时，求t的值解(1)设椭圆的方程为1(a>b>0)，依题意可得2b4，所以b2，又c1，所以a2b2c25，所以椭圆C的方程为1.(2)设Q(x，y)，圆P的方程为x2(yt)2t21，连接PM，因为QM为圆P的切线，所以PMQM，所以|QM|.若4t2，即t时，当y2时，|QM|取得最大值，且|QM|max，解得t<(舍去)若4t>2，即0<t<，当y4t时，|QM|取得最大值，且|QM|max，解得t2，又0<t<，所以t.综上，当t时，|QM|的最大值为.
展开阅读全文