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【名师精讲指南篇】【高考真题再现】1.【20xx新课标全国】已知命题,；命题,则下列命题中为真命题的是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B；【解析】取,可知错,为真命题；令,因为图像连续,且,故在区间（0,1）上有零点,即方程有解,即,故为真命题；所以为真命题.2.【20xx全国1高考文理】设函数的定义域为,且是奇函数,是偶函数,则下列结论中正确的是（ ）A是偶函数 B 是奇函数 C. 是奇函数 D是奇函数【答案】C3.【20xx高考全国1卷文】设函数则使得成立的的取值范围是_.【答案】【解析】由于题中所给是一个分段函数,则当时,由,可解得：,则此时：;当时,由,可解得：,则此时：,综合上述两种情况可得：4.【20xx全国II文12】设函数,则使得成立的的取值范围是（ ）.A. B. C. D. 【答案】A4.【20xx全国II理10】如图所示,长方形的边,是的中点,点沿着边与运动,.将动点到两点距离之和表示为的函数,则的图像大致为（ ） A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知可得,当点在边上运动时,即时,；当点在边上运动时,即,时, ；【热点深度剖析】从近几年的高考试题来看,图象的辨识与对称性以及利用图象研究函数的性质,方程,不等式的解是高考的热点,多以选择题、填空题的形式出现,属中低档题,主要考查基本初等函数的图象的应用以及数形结合思想而函数的零点、方程根的问题也是高考的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题客观题主要考查相应函数的图象与性质,主观题考查较为综合,在考查函数的零点方程根的基础上,又注重考查函数方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法在20xx年高考中,与命题结合,考查函数根的存在性,属于基础题. 在20xx年理科高考题,主要考查函数奇偶性,属于基础题,而文科除考查函数奇偶性,还考查了分段函数,解不等式,使得题目难度较低.20xx年有函数图像识别题,函数性质综合应用题.从这三年高考题可以看出,函数的性质,不等式的解,函数与方程,函数零点是高考考查的热点,每年都要涉及,考查根的存在性定理的题较基础,而函数零点往往结合函数性质与函数图像,作为把关题存在,主要考查转化与化归思想和函数方程思想以及数形结合思想的应用,由于连续三年都没考查函数的零点,方程的根的问题,预测20xx年高考很有可能以函数的零点、方程根的存在问题,将以识图、用图为主要考向,重点考查函数图象的性质以及方程、不等式与图象的综合问题【重点知识整合】1.函数的奇偶性.（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时,务必先判定函数定义域是否关于原点对称.（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性）：定义法；利用函数奇偶性定义的等价形式：或（）.图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称.（3）函数奇偶性的性质：奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反.如果奇函数有反函数,那么其反函数一定还是奇函数.若为偶函数,则.若奇函数定义域中含有0,则必有.2. 函数的单调性1.函数单调性的定义：（1）如果函数对区间内的任意,当时都有,则在内是增函数；当时都有,则在内是减函数.（2）设函数在某区间内可导,若,则在D内是增函数；若,则在D内是减函数.单调性的定义（1）的等价形式：设,那么在上是增函数；在上是减函数；证明或判断函数单调性的方法：(1)定义法：设元作差变形判断符号给出结论.其关键是作差变形,为了便于判断差的符号,通常将差变成因式连乘积、平方和等形式,再结合变量的范围,假设的两个变量的大小关系及不等式的性质作出判断；(2)复合函数单调性的判断方法：即“同增异减”法,即内层函数和外层函数的单调性相同,则复合函数为增函数；若相反,则复合函数为减函数.解决问题的关键是区分好内外层函数,掌握常用基本函数的单调性；（3）图象法：利用数形结合思想,画出函数的草图,直接得到函数的单调性；（4）导数法：利用导函数的正负来确定原函数的单调性,是最常用的方法.（5）利用常用结论判断：奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；互为反函数的两个函数具有相同的单调性；在公共定义域内,增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数;复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减,特别提醒：求单调区间时,勿忘定义域, 3. 函数的周期性.（1）类比“三角函数图像”得：若图像有两条对称轴,则必是周期函数,且一周期为；若图像有两个对称中心,则是周期函数,且一周期为；如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴,则函数必是周期函数,且一周期为；（2）由周期函数的定义“函数满足,则是周期为的周期函数”得：函数满足,则是周期为2的周期函数.4. 函数的对称性.满足条件的函数的图象关于直线对称. 点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为；点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为； 点关于原点的对称点为；函数关于原点的对称曲线方程为； 点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为；点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为；曲线关于点的对称曲线的方程为；形如的图像是双曲线,其两渐近线分别直线(由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定),对称中心是点；的图象先保留原来在轴上方的图象,作出轴下方的图象关于轴的对称图形,然后擦去轴下方的图象得到；的图象先保留在轴右方的图象,擦去轴左方的图象,然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到.5. 常见的图象变换函数的图象是把函数的图象沿轴向左平移个单位得到的.函数(的图象是把函数的图象沿轴向右平移个单位得到的.函数+的图象是把函数助图象沿轴向上平移个单位得到的；函数+的图象是把函数助图象沿轴向下平移个单位得到的；函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的得到的.函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的倍得到的. 的图象先保留原来在轴上方的图象,作出轴下方的图象关于轴的对称图形,然后擦去轴下方的图象得到；的图象先保留在轴右方的图象,擦去轴左方的图象,然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到. 特殊函数图象:(1)函数:可由反比例函数图象平移、伸缩得到.图1示例.图象是双曲线,两渐近线分别直线(由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定)；对称中心是点.(2)函数：如图2.图象类似“对号”,俗称对号函数.定义域；函数的值域为；函数为奇函数,图象关于原点对称；增区间为,减区间为.6.函数的零点（1）一般地,如果函数yf(x)在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数yf(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c(a,b),使f(c)0,这个c也就是方程f(x)0的根我们称方程f(x)0的实数根x叫做函数yf(x)(xD)的零点（2）函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根,也就是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标,即方程f(x)0有实数根函数yf(x)有零点函数yf(x)的图象与x轴有交点（3）函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的实数根,也就是函数yf(x)的图象与函数yg(x)的图象交点的横坐标一般地,对于不能使用公式求根的方程f(x)0,我们可以将它与函数yf(x)联系起来,利用函数的图象、性质来求解【应试技巧点拨】1.研究函数的性质要特别注意定义域优先原则（1）具有奇偶性的函数定义域的特征：定义域关于原点对称.为此确定函数的奇偶性时,务必先判定函数定义域是否关于原点对称.（2）讨论函数单调性必须在其定义域内进行,因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域,函数的单调区间是定义域的子集.（3）讨论函数的周期性,一般情况下定义域是无限集.所以判断函数是否为周期函数,要在整个定义域上观察函数的图象.如求函数的周期,如果只观察y轴一侧的图象得到周期为那就错了,因为函数图象关于y轴对称,从整体看它不是周期函数.2. 函数的单调性（1）定义法和导数法的选择在解答题中,只能应用定义法或导数法证明函数的单调性.定义法作为基本方法,但是证明过程有时比较繁琐；而导数法显得操作性比较强,对函数求导后判断导函数的正负即可.因此导数法是我们证明函数单调性的首选方法.（2）函数单调性总结：若,单调区间：增区间,减区间；若,单调区间：减区间,增区间;若,由于,单调性：增区间;若,由于,单调性：减区间.3.抽象函数的对称性和周期性（1）对于函数(),若恒成立,则函数的对称轴是.（2）若已知定义域在R上的函数的对称轴、对称中心,如何确定函数的周期？可类比“三角函数图象”得：若图象有两条对称轴,则是周期函数,且周期为；若图象有两个对称中心,则是周期函数,且周期为；如果函数的图象有一个对称中心和一条对称轴,则函数是周期函数,且周期为.注意这里面提到的周期不一定是函数的最小正周期.这个知识点经常和函数的奇偶性联系到一起,已知函数为奇函数,意味着函数的图象关于原点对称；已知函数为偶函数,意味着函数的图象关于y轴对称.然后再推到函数的周期.(3)若已知类似函数周期定义式的恒等式,如何确定函数的周期？由周期函数的定义,采用迭代法可得结论：函数满足,则是周期为2的函数；若恒成立,则；若,则；,则.4.如何利用函数的解析式判断函数的图象利用函数的解析式判断函数的图象,可从下面几个角度去考虑：（1）讨论函数的定义域及函数的奇偶性和单调性；（2）考虑是否可由基本初等函数的图象变换作出图象；（3）准确描出关键的点线(如图象与x、y轴的交点,极值点(顶点),对称轴,渐近线,等等).5. 如何转换含有绝对值的函数 对含有绝对值的函数,解题关键是如何处理绝对值,一般有两个思路：一是转化为分段函数：利用分类讨论思想,去掉绝对值,得到分段函数.二是利用基础函数变换：首先得到基础函数,然后利用y=f(x)y=f(|x|)或y=f(x)y=|f(x)|,得到含有绝对值函数的图象.6.平移变换中注意的问题函数图象的平移变换,里面有很多细节,稍不注意就会出现差错.所以要从本质深入理解,才不至于模棱两可.(1)左右平移仅仅是相对而言的,即发生变化的只是本身,利用“左加右减”进行操作.如果的系数不是1,需要把系数提出来,再进行变换;(2)上下平移仅仅是相对而言的,即发生变化的只是本身,利用“上减下加”进行操作.但平时我们是对中操作,满足“上加下减”;7.函数图象的主要应用函数图象的主要应用非常广泛,常见的几个应用总结如下：（1）利用函数图象可判断函数的奇偶性,求函数的单调区间、对称轴、周期等函数的性质；（2）利用函数和图象的交点的个数,可判断方程=根的个数；（3）利用函数和图象上下位置关系,可直观的得到不等式或的解集：当的图象在的图象的上方时,此时自变量的范围便是不等式的解集；当的图象在的图象的下方时,此时自变量的范围便是不等式的解集.8.函数零点的求解与判断判断函数yf(x)在某个区间上是否存在零点,常用以下方法：(1)解方程：当对应方程易解时,可通过解方程,看方程是否有根落在给定区间上；(2)利用函数零点的存在性定理进行判断；(3)通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断9.函数零点的综合应用函数零点的应用主要体现了函数与方程的思想,函数与方程虽然是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程f(x)0的解就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标,函数yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0,然后通过方程进行研究许多有关方程的问题可以用函数的方法解决,反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决,函数与方程的思想是中学数学的基本思想1.函数零点的求解与判断判断函数yf(x)在某个区间上是否存在零点,常用以下方法：(1)解方程：当对应方程易解时,可通过解方程,看方程是否有根落在给定区间上；(2)利用函数零点的存在性定理进行判断；(3)通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断2.函数零点的综合应用函数零点的应用主要体现了函数与方程的思想,函数与方程虽然是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程的解就是函数的图象与x轴的交点的横坐标,函数也可以看作二元方程,然后通过方程进行研究许多有关方程的问题可以用函数的方法解决,反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决,函数与方程的思想是中学数学的基本思想【考场经验分享】1判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件2判断函数f(x)是奇函数,必须对定义域内的每一个x,均有f(x)f(x)而不能说存在x0使f(x0)f(x0)对于偶函数的判断以此类推3.在解决函数性质有关的问题中,如果结合函数的性质画出函数的简图,根据简图进一步研究函数的性质,就可以把抽象问题变的直观形象、复杂问题变得简单明了,对问题的解决有很大的帮助.（1）一般的解题步骤：利用函数的周期性把大数变小或小数变大,然后利用函数的奇偶性调整正负号,最后利用函数的单调性判断大小；（2）画函数草图的步骤：由已知条件确定特殊点的位置,然后利用单调性确定一段区间的图象,再利用奇偶性确定对称区间的图象,最后利用周期性确定整个定义域内的图象.4.把握函数的零点应注意的问题(1)函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,其函数值等于零(2)函数的零点也就是函数的图象与轴的交点的横坐标(3)一般我们只讨论函数的实数零点(4)函数的零点不是点,是方程的根5.在解决函数与方程问题中的函数的零点问题时,要学会掌握转化与化归思想的运用,有时直接根据已知函数求函数的零点个数难度很大,也不是初等数学能轻易解决的,所以遇到此类问题第一反应就是转化已知函数为熟悉的函数再结合数形结合法求解6.本热点常常命制成压轴的选择题,故难度较大,需要有较强的解题能力和知识的综合应用能力,涉及的数学思想丰富多样,故基础较差的学生不宜花费过多的时间,能力不够可适当放弃,另外,如果以抽象函数为背景,可采用抽象为题具体化的思路进行求解,如果涉及到范围问题的确定,可选择特值进行代入验证的方法求解.【名题精选练兵篇】1. 【20xx届河南省八市重点高中高三4月质检】函数的零点所在的区间为（ ）A B C D【答案】C2. 【20xx届山东省菏泽市高三第一次模拟考试】已知函数,若函数在R上有两个零点,则的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】显然是方程的一个零点；由题意,得有一个非正根,则,即.3. 【20xx届福建省漳州市高三下学期第二次模拟】已知x0是函数的一个零点若x1(1,x0),x2(x0,),则（ ）（A）f(x1)<0,f(x2)<0 （B）f(x1)<0,f(x2)>0（C）f(x1)>0,f(x2)<0 （D）f(x1)>0,f(x2)>0【答案】【解析】函数是单调递增函数,又因为,所以,故选B.4.【 20xx届湖北省沙市中学高三下第三次月考】定义在R上的函数满足,当时,则函数在上的零点个数是（ ）A504 B505 C1008 D1009 【答案】B5.已知函数,若互不相等,且满足,则的取值范围是 （ ）A B C D【答案】C【解析】设,作图可知,从而的取值范围是6. 【20xx届河北省邯郸一中高三下第一次模拟】若直角坐标平面内两点满足条件：都在函数的图象上；关于原点对称,则称是函数的一个“伙伴点组”（点组与看作同一个“伙伴点组”）已知函数,有两个“伙伴点组”,则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】D7. 已知为定义在上的偶函数,当时,有,且当时,给出下列命题：；函数在定义域上是周期为2的函数；直线与函数的图象有2个交点；函数的值域为其中正确的是（ ）A, B, C, D,【答案】C【解析】由当时,有知当时有正周期,又为定义在上的偶函数,且当时,所以,所以正确,排除B；若函数在定义域上是周期为的函数,则,同时因为当时,有,所以,显然矛盾,所以错误,这样就排除A,D；综上故选C. 8设函数,若存在唯一的,满足,则正实数的最小值是 （ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B9. 【20xx届江西省上高二中高三上学期第三次月考】已知函数,若存在实数,满足,且,则的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解析】由题意得,又,即,10.【 20xx届陕西省西安一中等八校高三下联考】如图,偶函数的图象如字母,奇函数的图象如字母,若方程,的实根个数分别为、,则（ ）A12 B18 C16 D14【答案】B11. 【20xx届宁夏六盘山高中高三第二次模拟】已知定义在R上的奇函数满足当时, ,则关于的函数的所有零点之和为（ ）A B C D【答案】C【解析】由题意得,当时, ,即时,；时,；时,画出函数的图象, 在利用函数为奇函数函数,可得上的图象,如图所示,则直线与的图象有个交点,则方程有五个实根,最左边两根和为,左右边两根之和为,因为时,所以,又,所以,所以中间的一个根满足,即,解得,所以所有根的和为,故选C.12【20xx届重庆市巴蜀中学高三3月月考】已知实数若关于的方程有三个不同的实根,则的取值范围为（ ）A B C D【答案】A13.【20xx届甘肃省天水市一中高三下第四次模拟】定义在上的偶函数满足：,在区间与上分别递增和递减,则不等式的解集为（ ）A B C D【答案】D【解析】由题意得,因为偶函数满足：,所以,且在区间与上分别递增和递减,不等式,即等价于求函数在第一、三象限图形的取值范围,即函数图象位于第三象限,函数的图象位于第一象限,综上实数,不等式的解集为,故选D14.【20xx届福建省厦门一中高三下学期】函数,若对恒成立,则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】C15.已知是定义在上且周期为3的函数,当时, 在区间上有10个零点（互不相同）,则实数的取值范围是 【答案】【解析】作出函数在上的图象如图所示：,结合图形可知,实数的取值范围是.16【20xx届江苏省南京市、盐城市高三第二次模拟】已知函数,当时,关于的方程的所有解的和为 【答案】10000【解析】,此时两解的和为1；,此时两解的和为3；,此时两解的和为,199；所以所有解的和为.【名师原创测试篇】1. 定义在R上的奇函数,对任意xR都有,当 时,则 【答案】【解析】.2. 已知函数,则对任意实数,的值 ( )A.恒大于0 B.恒等于0 C.恒小于0 D.符号不确定【答案】A.3. 已知函数,求函数的零点个数（ ）A2 B. 3 C 4 D.5【解析】C【解析】作出的图象如下,因为的图像在最大值和最小值是和,在最大值与最小值是和,且向右无限延伸,又因为的图像即把向右平移一个单位,且当取到1后就与没有交点了,从图像上可以看出与的交点个数为3个,所以零点个数为3个.故选B4. 若、是方程,的解,函数, 则关于的方程的解是 . 【答案】或或5.已知函数,当时,若函数有唯一零点,则的取值范围（ ）A B C D【答案】D【解析】根据题意,当时,作出函数即函数的图像如图所示,可知只有当时,函数与有唯一交点.故选D6. 已知函数是定义域为,且关于对称. 当时, ,若关于的方程 （）,有且仅有6个不同实数根,则实数的取值范围是（ ）A B.C D.或【答案】C又函数关于对称,所以函数y=f（x）是定义域为R的偶函数,且关于x的方程,aR有且仅有6个不同实数根,等价于或,aR共有且仅有6个不同实数根；而方程由偶函数的对称性可知,有四个不同的实数根,所以必须且只需方程,aR有且仅有2个不同实数根,由图可知或；故选C
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