2一次函数与正比例函数

2一次函数与正比例函数1一次函数的定义若两个变量x，y之间的关系式可以表示成ykxb(k，b为常数，k0)的形式，则称y是x的一次函数(x是自变量)谈重点 一次函数的条件函数是一次函数必须符合下列两个条件：(1)关于两个变量x，y的次数是1；(2)必须是关于两个变量的整式【例1】 下列函数中，是一次函数的是()Ay7x2 Byx9Cy Dy解析：Ax的次数是2，不是1，所以它不是一次函数B符合一次函数的一般形式C含有自变量x的代数式不是整式，所以不是一次函数D答案：B2正比例函数的定义对于一次函数ykxb，当b0，即ykx(k为常数，且k0)时，我们称y是x的正比例函数辨误区 一次函数与正比例函数的关系需要注意的是正比例函数是一次函数的特殊情况，特殊之处在于b0，且k0，因此，正比例函数一定是一次函数，但一次函数并不一定是正比例函数【例2】 下列函数中，是正比例函数的是()Ay2x By2x1Cy2x2 Dy解析：A符合正比例函数的一般形式Bb10，所以它不是正比例函数Cx的次数是2，不是1，所以它不是正比例函数.D含有自变量x的代数式不是整式，所以它不是正比例函数.答案：A辨误区 正比例函数的判断要判断一个函数是否是正比例函数，首先看它是否为一次函数，也就是能否转化为ykxb(k0)的形式；其次要清楚正比例函数是特殊的一次函数，函数解析式能否转化为ykx(k0)的形式3根据条件列一次函数关系式列函数关系式是培养数学应用能力和抽象思维能力的一种方法，解决这类问题的基本思路为：首先要认真审题，抓住关键词，找出问题中的变量并用字母表示，然后根据题意列出函数关系式点技巧 如何列函数关系式列关系式时，一定要先知道两个变量，并且弄清谁是自变量【例3】 甲、乙两地相距30 km，某人从甲地以每小时4 km的速度走了t h到达丙地，并继续向乙地走(1)试分别确定甲、丙两地距离s1(km)及丙、乙两地距离s2(km)与时间t(h)之间的函数关系式(2)它们是什么函数分析：路程速度时间，s230s1.解：(1)s14t，s2304t.(2)两个函数都是一次函数，而s14t还是正比例函数点评：此类题目把求函数关系式的问题转化为列代数式的问题，把实际问题转化为函数模型问题4一次函数与正比例函数的联系与区别若两个变量x，y之间的关系可以表示成ykxb(k，b为常数，k0)的形式，则称y是x的一次函数，特别地当b0时，称y是x的正比例函数，显然正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数，正比例函数是一次函数的特殊情况区别：正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数；正比例函数的图象一定经过原点及经过两个象限，但一次函数一般不经过原点，通常情况下要经过三个象限联系：两种函数的图象都是一条直线；两种函数的增减性相同；当b0时，一次函数转化为正比例函数，因此正比例函数是一次函数的特例【例41】 在下列函数中，x是自变量，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？(1)y3x；(2)y；(3)y3x1；(4)yx2.分析：这类判断题，应严格按照有关函数的定义，看函数是不是可以表示为规定的形式解：一次函数是(1)y3x和(3)y3x1.其中(1)y3x还是正比例函数，(2)、(4)既不是一次函数，也不是正比例函数【例42】 已知正比例函数中自变量每增加一个单位，函数值就减少2个单位，求函数的解析式分析：设正比例函数解析式为ykx(k0)，要求出待定系数k，必须有x与y的一组对应值，所以关键是要将已知条件转化为具体的数值因为当x0时，y0，所以我们可以根据题意，给出一对特殊值：当x1时，y2.这就是我们需要的等量关系解：设正比例函数解析式为ykx(k0)，根据题意，当x1时，y2.代入函数解析式，得2k.故所求函数解析式为y2x.5用一次函数解决实际问题函数与我们的生活息息相关，生活中的许多问题可以通过函数得以解决，如何才能正确地确定两个变量之间的函数关系式呢？具体地说和列一元一次方程解应用题基本相似，即弄清题意和题目中的数量关系，找到能够表示应用题全部含义的一个相等的关系，根据这个相等的数量关系式，列出所需的代数式，从而列出两个变量之间的关系式辨误区 写解析式，定自变量的范围通常确定一个函数，不仅要确定这个函数的解析式，还要确定这个函数的自变量的取值范围【例5】 一天老王骑摩托车外出旅游，刚开始行驶时，油箱中有油9 L，行驶了1 h后发现已耗油1.5 L.(1)求油箱中的剩余油量Q(L)与行驶的时间t(h)之间的函数关系式，并求出自变量t的取值范围；(2)如果摩托车以60 km/h的速度匀速行驶，当油箱中的剩余油量为3 L时，老王行驶了多少千米？分析：根据油箱中原有油9 L,1 h耗油1.5 L，则t h耗油1.5t L，得到行驶t h后油箱中剩余油量为(91.5t)L，由此可得出函数关系式解：(1)Q91.5t，由91.5t0，得到t6，故t的取值范围为0t6.(2)由391.5t，得t4.于是svt604240(km)故老王行驶了240 km.