河北石家庄市高三9月摸底数学理试题解析版

2016-2017学年河北石家庄市高三理9月摸底数学试题一、选择题1若集合,，则A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：,所以，故选C.【考点】1.对数函数的性质；2.集合的运算.2复数在复平面上对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】试题分析：,复数在复平面上对应的点位于第四象限，故选D.【考点】1.复数的运算；2.复数相关的概念.3设,则“是“直线与直线平行”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：当时，线与直线平行；当线与直线平行时，所以“是“直线与直线平行”的充分不必要条件，故选A.【考点】1.两条直线的位置关系；2.充分条件与必要条件.4下列函数中为偶函数又在上是增函数的是A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由函数的奇偶性定义可知，选项C,D为非奇非偶函数，排除C、D，选项A中，在区间上是减函数，故选B.【考点】函数的奇偶性与单调性.5执行下图的程序框图，如果输入，那么输出的的值为A.4 B.3C.2 D.1【答案】A【解析】试题分析：模拟算法：开始：输入，是；，是；，是；，是；，否，输出；故选A.【考点】程序框图.6将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位，所得函数图像的一个对称中心为A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数的图象，再向右平移个单位得到函数图象，由得，所以函数的对称中心为，当时，对称中心为，故选D.【考点】1.函数的伸缩变换与平移变换；2.三角函数的图象与性质.7已知满足约束条件，则下列目标函数中，在点处取得最大值的是A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：在直角坐标系内作出可行域如下图所示，由线性规划知识可知，目标函数与均是在点处取得最大值，目标函数在点处取得最大值，目标函数在点处取得最大值，故选D.【考点】线性规划.8若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：,函数在区间上单调递减在区间上恒成立，解之得，故选C.【考点】导数与函数的单调性.9某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析： 由三视图可知，该几何体的左半部分是圆锥的一半，右半部分是一个圆柱，其表面积包括圆柱的侧面积、底面积的倍，圆锥侧面积的一半和一个三角形的面积，所以表面积，故选B.【考点】1.三视图；2.旋转体的表面积与体积.10如图所示，在一个边长为1的正方形A0BC内，曲线和曲线围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：正方形的面积为，阴影部分的面积为，所以向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是，故选A.【考点】1.积分的运算与几何意义；2.几何概型.【名师点晴】本题主要考查的是积分的运算与几何意义、几何概型，属于中档题解几何概型的试题，一般先求出实验的基本事件构成的区域长度（面积或体积），再求出事件构成的区域长度（面积或体积），最后代入几何概型的概率公式即可解本题需要掌握的知识点是复数的模和几何概型的概率公式，即若（、），则，几何概型的概率公式11已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：因为，所以可设，由可知，由双曲线定义有，两式相加得，即.所以，所以，所以，由勾股定理得，所以，所以双曲线的离心率，故选B.【考点】1.双曲线的定义、标准方程与几何性质；2.直线与双曲线的位置关系.【名师点睛】本题考查双曲线的定义、标准方程与几何性质、直线与双曲线的位置关系；属中档题；双曲线的定义在解题中有重要的作用，如本题中就利用定义列出两个等式，由这两个等式解方程组得到相应的比例关系，就可求双曲线的离心率.12已知定义在上的函数，满足；(其中是的导函数，是自然对数的底数)，则的范围为A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：设，则，所以函数在区间上单调递增，所以，即；令，则，所以函数在区间上单调递减，所以，即，综上，故选B.【考点】1.导数与函数的单调性；2.构造法的应用.【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性以及构造法，属难题；联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了二、填空题13在的展开式中的系数是_.【答案】【解析】试题分析：的展开式的通项为，由得，所以的系数是，故应填.【考点】二项式定理.14设向量，且，则_.【答案】【解析】试题分析：因为，所以，即，所以，故应填.【考点】1.向量的数量积与垂直的关系；2.向量的运算.15正项等比数列满足：，若存在，使得，则的最小值为_.【答案】【解析】试题分析：或，又，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.【考点】1.等比数列的定义与性质；2.基本不等式.【名师点睛】本题考查等比数列的定义与性质、基本不等式，属中档题；利用基本不等式求最值时，应明确:1.和为定值，积有最大值，但要注意两数均为正数且能取到等号；2.积为定值和有最小值，直接利用不等式求解，但要注意不等式成立的条件.16在直三棱柱中，则直三棱柱内切球的表面积的最大值为_.【答案】【解析】试题分析：当内切球的半径最大时，内切球的表面积最大，又三棱柱的内切球的半径与底面三角形的内切圆半径相同，所以只要求三角形内切圆半径的最大值即可，由题意可知，当且仅当即三角形为等腰直角三角形时，所以其内切球表面积的最大值为.【考点】1.球的切接问题；2.球的表面积与体积；3.基本不等式.【名曰点睛】本题考查球的切接问题、球的表面积与体积公式以及不等式等知识，属中档题；与球有关的组合体通常是作出它的轴截面解题，或者通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题转化为平面问题进行求解.三、解答题17中，内角的对边分别为，.（）求角的大小；（）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由三角形内角和定理得，从而将条件转化为，利用三角恒等变换公式得，从而求得；（2）由余弦定理列出方程可求出边的值，即可求三角形面积.试题解析：（1）,在中，（2）方法由余弦定理知10分方法 在中，由正弦定理：，, 【考点】1.三角形的恒等变换；2.正弦定理与余弦定理.【名师点睛】本题考查三角恒等变换与正、余弦定理，中档题；解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.18已知：等差数列满足，前3项和.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（）2.【解析】试题分析：（1）用基本量法，即用表示条件中的量，列出方程组，解出即可求其通项公式；(2)用裂项相消法，即用公式，分组相消即可求和.试题解析： （1）在等差数列中设首项为，公差为, （2）令 10分1【考点】1.等差数列的通项公式与性质；2.裂项相消法求和.【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式与裂项相消法求和，属中档题；求解数列相关问题最基本方法就是基本量法，即在等差数列中，用表示已知条件，在等比数列中，用表示已知条件，列出方程组，解方程组即可；数列求和常用方法有：公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和、倒序相加法等.19我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水尤为突出.某市为了制定合理的节水方案，从该市随机调查了100位居民，获得了他们某月的用水量，整理得到如图的频率分布直方图.（1）求图中的值并估计样本的众数；（2）设该市计划对居民生活用水试行阶梯水价，即每位居民用水量不超过吨的按2元/吨收费，超过吨不超过2吨的部分按4元/吨收费，超过2吨的部分按照10元/吨收费.用样本估计总体，为使75%以上居民在该月的用水价格不超过4元/吨，至少定为多少？假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当时，估计该市居民该月的人均水费.【答案】（1）,众数为；（2）；元.【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图中各矩形面积总和为列出方程可求的值；最高矩形的中点值即为众数；（2）由（1）可知月用水量在0,2.5内的频率为0.04+0.08+0.15+0.22+0.26=0.75, 区间0,2.5的中点值即为所求；当时，用矩形的右端点值乘以频率再乘以相应的水费求和即可求出居民月平人均用水费.试题解析：（1）由频率分布直方图可知每段内的频率：0,0.5：0.04；（0.5,1：0.08；（1,1.5：0. 15； （1.5,2：0.22； （2,2.5：0.26； （2.5,3：0.5；（3,3.5：0.06；（3.5,4：0.04；（4.4.5：0.02 则由0.04+0.08+0.15+0.22+0.26+0.5+0.06+0.04+0.02=1解得，众数为2,2.5的中点值2.25（2）由（1）可知月用水量在0,2.5内的频率为0.04+0.08+0.15+0.22+0.26=0.75，的值至少为1.25；若，当居民月用水量在0,2时，居民该月的人均水费为：（0.040.5+0.081+0.151.5+0.222）2=1.53当居民月用水量在(2,2.5时，居民该月的人均水费为：(22+0.54) 0.26=1.56当居民月用水量在(2.5,3时，居民该月的人均水费为：(22+14) 0.13=1.04当居民月用水量在(3,3.5时，居民该月的人均水费为：(22+1.54) 0.06=0.6当居民月用水量在（3.5,4时，居民该月的人均水费为：(22+24) 0.04=0.489分当居民月用水量在(4,4.5时，居民该月的人均水费为：(22+24+0.510) 0.02=0.3410分居民月人均水费为1.53+1.56+1.04+0. 6+0.48+0.34=5.55元.1【考点】1.频率分布直方图；2.用样本估计总体.20如图，四边形是边长为2的菱形，,E,F分别为的中点，将沿折起，使得.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）欲证平面平面，只要证面即可，由已知有,，可证面；(2)作，由已知可证为为二面角的平面角，在三角形中计算各边的长度，由余弦定理求之即可；或由已知，,，,过点E 作轴面ABCE，建立如图所示空间直角坐标系，用空间向量求之即可试题解析： （1）证明：由已知,面,又CF, 面, 面DCF，平面平面.(2)方法面,作，则,即为所求二面角的平面角,，9分在中，,1方法由已知，,，,过点E 作轴面ABCE,如图，建立空间直角坐标系.可得：E(0，0，0),A(,0，0), C(0，1，0) ,D(),设平面DCA的法向量为，解得：，又平面DCE的法向量为，二面角E-DC-A的余弦值1【考点】.线面垂直、面面垂直的判定与性质；2.二面角的求法；3.空间向量的应用.21平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，离心率，过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的弦长为1.（）求椭圆的方程；（）记椭圆的上,下顶点分别为A,B，设过点的直线与椭圆分别交于点，求证：直线必定过一定点，并求该定点的坐标.【答案】（）；（）证明见解析，定点坐标为.【解析】试题分析：（）由及通径解方程组求出的值即可；（）直线方程为: ，直线方程为：，即分别与椭圆联立方程组，由韦达定理可解得：,求出直线的方程化简即可.试题解析：（）由可得，因过点F 垂直于x轴的直线被椭圆所截得弦长为，所以，椭圆方程为（）点的坐标为直线方程为: ，直线方程为：，即分别与椭圆联立方程组，可得：和，由韦达定理可解得：如果考虑消去，得到：及进一步亦可得到直线的斜率，则直线方程为：，化简可得直线的方程为，10分恒过定点所以直线必过轴上的一定点1 【考点】1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.22已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，设，若对任意，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，在上单调递增; 当时, 在上单调递增，在上单调递减; 当时， 在上单调递减，在上单调递增；（2）.【解析】试题分析：（1）求函数的导数，分三种情况，分别讨论的符号，即可得到函数的单调性；（2），因为，当时，在单调减；，当时，在单调减.所以对任意，恒成立等价于对任意恒成立,构造函数,则对任意恒成立,即求函数单调递减即可，求函数导数，由在上恒成立求的值即可.试题解析：（1）,令，1.当时，所以在上单调递增。2当时，令，所以在上单调递增，在上单调递减。3.当时，令，所以在上单调递减，在上单调递增。（2），因为，当时，在单调减；，当时，在单调减.因为对任意，不防设，则由两函数的单调性可得：，所以：对任意恒成立；令，则对任意恒成立；即：在上单调减，即：在上恒成立， 令，当时，在恒成立，所以，在单调减，所以,满足题意。当时，有两个极值点且，所以在上，单调增，即：对任意上恒成立，不满足题意，舍！综上所述：当时.不等式在恒成立.1【考点】1.导数与函数的单调性；2.函数与不等式.