数系的扩充与复数的引入教师版

数系的扩充与复数的引入知识导航一、复数的有关概念1复数的概念：形如abi(a，bR)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部若b0，则abi为实数；若b0，则abi为虚数；若a0，b0，则abi为纯虚数2复数相等：abicdiac，bd(a，b，c，dR)3共轭复数：abi与cdi共轭ac，bd0(a，b，c，dR)4复数的模：向量OZ的长度叫做复数zabi的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi|.二、复数的几何意义复数zabi复平面内的点Z(a，b)平面向量 .三、复数的运算1复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则：(1)加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(2)减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(3)乘法：z1·z2(abi)·(cdi)(acbd)(adbc)i；(4)除法：(cdi0)2复数加法、乘法的运算律对任意z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)；z1·z2z2·z1，(z1·z2)·z3z1·(z2·z3)，z1(z2z3)z1z2z1z3.典型例题讲解及思维拓展例1：已知aR，i为虚数单位，若(12i)(ai)为纯虚数，则a的值等于()A6B2C2 D6解析：选B由(12i)(ai)(a2)(12a)i是纯虚数，得由此解得a2.例2：(2012·陕西高考)设a，bR，i是虚数单位，则“ab0”是“复数a为纯虚数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件(1)若复数aabi为纯虚数，则a0，b0，ab0；而ab0时a0或b0，a不一定是纯虚数，故“ab0”是“复数a为纯虚数”的必要不充分条件例3：(2012·东北模拟)已知1yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，则xyi的共轭复数为()A12i B12iC2i D2i解析：选D依题意得x(1i)(1yi)(1y)(1y)i；又x，yR，于是有解得x2，y1.xyi2i，因此xyi的共轭复数是2i.例4：(2012·山西四校联考)已知复数z的实部为1，虚部为2，则(i为虚部单位)在复平面内对应的点所在的象限为()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限自主解答选C依题意得，因此该复数在复平面内对应的点的坐标是，位于第三象限例5：在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A48i B82iC24i D4i例6：(1)(2012·山东高考)若复数z满足z(2i)117i(i为虚数单位)，则z为()A35iB35iC35i D35i(2)(2011·重庆高考)复数()Ai BiC.i D.i自主解答(1)z35i.(2)i.答案(1)A(2)C例7：(1)(2012·山西四校联考)设复数z的共轭复数为，若z1i(i为虚数单位)，则z2的值为()A3i B2iCi Di解析：(1)依题意得z2(1i)22ii2ii.拔高强化1.（2012·天津高考理科·1）是虚数单位，复数=（ ）（A） （B） （C） （D）【解题指南】分子分母同乘以，化简计算.【解析】选B.2.（2012·天津高考文科·1）是虚数单位，复数=（ ）（A） （B） （C） （D）【解题指南】分子分母同乘以，化简计算.【解析】选C.3.（2012·山东高考文科·1）与（2012·山东高考理科·1）相同若复数z满足（为虚数单位），则为（ ）（A） （B） （C） （D）【解题指南】用复数的运算法则进行计算.【解析】选A.因为，所以.4.（2012·江西高考文科·1）若复数z=1+i(i为虚数单位)是z的共轭复数 ， 则+²的虚部为（ ）（A）0 （B）-1 （C）1 （D）-2 【解题指南】先求得，然后化简+²，最终得到虚部.【解析】选A. 因为，所以，故虚部为0.5.（2012·新课标全国高考理科·T3）下面是关于复数的四个命题：， ，的共轭复数为， 的虚部为.其中的真命题为（ ）（A） （B） （C） （D）【解题指南】将复数z化简后，依次对进行判断.【解析】选C.，故，错误；，正确；的共轭复数为，错误；正确.6.（2012·新课标全国高考文科·2）复数z的共轭复数是（ ） （A）2+i （B）2i （C）1+i （D）1i【解题指南】先将复数z分母实数化，化简后再写出共轭复数.【解析】选D. ，故的共轭复数为.7.（2012·安徽高考理科·1）复数满足：，则（ ） 【解题指南】根据复数的四则运算进行计算.【解析】选.8.（2012·安徽高考文科·1）复数 满足，则 =( ) （A） （B） （C） （D） 【解题指南】根据复数的四则运算进行计算.【解析】选.9.（2012·辽宁高考理科·2）复数( )(A) (B) (C) (D) 【解题指南】将复数进行分母实数化，然后据复数的四则运算整理.【解析】选A. .10.（2012·辽宁高考文科·3）复数( )(A) (B) (C) (D)【解题指南】复数代数形式的运算，将复数进行分母实数化.【解析】选A. .11.（2012·陕西高考文科·4）与（2012·陕西高考理科·3）相同设R,i是虚数单位,则“”是“复数为纯虚数”的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件【解题指南】需要进行充分性和必要性的判断.结合复数、纯虚数的概念，分别判断充分性和必要性是否成立.【解析】选B.若，则或,是纯虚数或实数，不是充分条件；若复数为纯虚数，且，且，是必要条件.12.（2012·浙江高考文科·2）与（2012·浙江高考理科·2）相同已知i是虚数单位，则=( )（A）1-2i （B）2-i （C）2+i （D）1+2i 【解题指南】考查复数的基本运算.【解析】选D.=.13.（2012·北京高考文科·2）在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）（A）(1 ,3) （B）(3,1) （C）(-1,3) （D） (3 ,-1)【解题指南】计算出除法所对应的复数后，利用复数的几何意义找出所对应的点.【解析】选A.，所对应点的坐标为（1，3）.14.（2012·湖南高考文科·2）复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数是( )（A）-1-i (B)-1+i (C)1-i (D)1+i【解题指南】先求出复数z的实部和虚部，再求复数z的共轭复数.【解析】选A. z=-1+i，故选A.15.（2012·福建高考理科·1）若复数满足，则等于（ ） （A）(B)(C)(D)【解题指南】结合复数的概念及四则运算进行计算，要注意.【解析】选A. ，.16.（2012·福建高考文科·1）复数等于（ ）（A）(B)(C)(D)【解题指南】结合复数的概念及四则运算进行计算.【解析】选A.17.（2012·广东高考理科·1）设i为虚数单位，则复数=( )（A）6+5i (B)6-5i (C)-6+5i (D)-6-5i 【解题指南】要化成复数的代数形式，本小题可以分子、分母同乘以i,然后利用复数的代数运算法则求解即可. 【解析】选D. .18.（2012·广东高考文科·1）设i为虚数单位，则复数( )（A） (B) (C) (D)【解题指南】要化成复数的代数形式，本小题可以分子、分母同乘以i,然后利用复数的运算法则求解即可. 【解析】选D. .19.（2012·湖北高考理科·1）方程 +6x +13 =0的一个根是( )（A）-3+2i (B)3+2i (C)-2 + 3i (D)2 + 3i【解题指南】本题结合方程考查复数的定义,解答本题可用代入法求解,也可以直接求. 【解析】选A. 方法一：由可知答案.方法二：.代入求根公式可知结果.20.（2012·湖南高考理科·12）已知复数z=（3+i）2(i为虚数单位)，则|z|=_.【解题指南】先化简再求模.【解析】【答案】1021.（2012·江苏高考·3）设R，（为虚数单位），则的值为 .【解题指南】利用复数的除法和乘法的法则，特别注意分母实数化的应用.【解析】因为，所以.【答案】822.（2012·上海高考理科·T1） 计算： （为虚数单位）.【解题指南】本题考查复数的除法运算法则，分子分母共同乘以分母的共轭复数，细心运算方可取胜.【解析】首先分子分母共同乘以分母的共轭复数，即.【答案】课后作业(高考题初涉)1.（安徽文科、理科第1题） 设 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a 为 （A）2 (B) 2 (C) (D) 答案：A解：为纯虚数，则。2. （北京理科第2题） 复数（A）i （B）-i （C） （D）解：，选A3.（北京文科第2题）复数 (A) (B ) (C) (D)答案：A4.（福建理科第1题）i是虚数单位，若集合S=，则A. B. C. D.答案：B5.（福建文科2） i是虚数单位1+i3等于 A.i B.-i C.1+i D.1-i答案：D6.（广东理科1）设复数满足，其中为虚数单位，则A B C D（B）7.（广东文科1）设复数z满足iz=1，其中i为虚数单位，则 A. B. C. D.1解：A8.（湖北理科1）为虚数单位，则A. B. C. D.【答案】A解析：因为，所以，故选A.9.（湖南理科1、文科2）若，为虚数单位，且，则（ ） A B C D 答案：D解析：因，根据复数相等的条件可知。10.（江西理科1）若,则复数= ( ) A. B. C. D.答案：C 解析： 11.（四川理科2）复数= A. B. C. D.答案：A解析：12.（江西文科1）若，则复数=（ ） A. B. C. D.答案：B 解析： 13.（浙江理科2）把复数的共轭复数记作，为虚数单位，若,则 （A）3-i （B）3+i （C）1+3i （D）3【答案】A 【解析】，.14.（浙江文科2）若复数，为虚数单位，则 （A） （B） （C） （D）3【答案】A【解析】，.15.（山东理、文2）复数 (为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为（ ）（A）第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限【答案】D【解析】因为,故复数对应点在第四象限,选D.16.（辽宁理1）为正实数，为虚数单位，则 （A）2 （B） (C) (D)1解：由得：，又，选B17（辽宁文2）i为虚数单位 （A）0 （B）2i （C） （D）4i答案：A18（天津文、理1）1是虚数单位，复数=A B C D答案：B解：，选B19(全国大纲理1）复数，为的共轭复数，则（A） （B） （C） （D）【答案】B【命题意图】本题主要考查复数的运算.【解析】|z|2-(1+i)-1=.20（全国课标理1）复数的共轭复数是（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】，所以的共轭复数是.21（陕西理7）设集合，为虚数单位，R，则为（ ）（A）（0，1） （B）， （C）， （D），【分析】确定出集合的元素是关键。本题综合了三角函数、复数的模，不等式等知识点。【解】选C ，所以；因为，所以，又因为R，即，所以，即；所以，故选C.22（陕西文8）设集合，为虚数单位，R，则为（ ） (A)(0,1) (B)(0,1 (C)0,1) (D)0,1【分析】确定出集合的元素是关键。本题综合了三角函数、复数的模，不等式等知识点。【解】选C ，所以；因为，即，所以，又因为R，所以，即；所以，故选C.12咨询电话：7106999 13350119651校区地址：吉安宾馆前行30米二楼