材料力学-扭转截面几何性质

平面图形的几何4生质构件的横截面积都是具有一定几何形状的平面图形，构件的承载能力（强度，刚度，稳定性等）都与平面图形的一些 几何性质（横截面积，极惯性矩等）有 关。因此需要第7章平面图形的几何片生质 7. 1静矩和形心1静矩iyr-1 rlAyL.J LZ7 丄A以r 1L f0一Zc.bzzU同一图形：坐标轴不同-静矩不同，数值可正，可负, 可为零！量纲：m 2.形心AzdAA匚=以_SyASy ZC-3 组合图形的静矩和形心二=工儿4组合图形工儿4TV工.A注：1静矩有符号.2当Sz=O二yc二0,即平面图形对某一轴的静矢巨为零，则 该轴必然过形心3当yc二0 =5z-0, 即若某一轴通过形丿则图形对该轴 的静矩为零。4由平面图形的形丿必在对称轴上，故平面图形对于对 称轴 的静矩总是等于零。5静矩是截面对于一定的坐标轴而言的，同一截面对 于不同的坐标轴，其静矩 不同。已知：求：矩形截面0X力Sz 和 Sy解:sr心牛C ihLbzSy =曲已知：图示图形 求：兀和y。解：A + A2120x10x5 + 70x10x45120x10 + 70x10 =19.7mm10VC(5 60)C2(45 5)80Zyi=A% +人2歹2Aj + A?120x10x60 + 70x10x5=二 39./mm120x10 + 70x10 42玮弃篩alM弃*戒1玮廉満2鬲廉*戒Z3极惯性矩Ip = Ja p2dA1p2p2空心圆p2dADpfpdp 二27lD432 2)Dda =D4惯性矩与极惯性积的关系5组合图形的惯生矩工IZi=工g已知：实丿圆截面直径D,空丿圆截面直径D、d.z求：iy和I解：1实心圆Ip = AP2dA = Iy + Iz -21 y -21 z64已知：实丿圆截面直径D,空丿圆截面直径D、d.64已知：实丿圆截面直径D,空丿圆截面直径D、d.2空心圆兀6464 4. 3惯性积1 y. z之一为 图形对称轴则Iyz=0 ;-zz12 惯性积为零的一对座标轴称为dAdA惯性主轴；3 通过形心的主轴称为形心主轴 或形心惯性主轴；Z 4. 4平行移轴公式图形对形丿轴 的惯1生矩和惯性积为： = L ydA1 yc =丄疋丘A厶压=LydA图形对平行于形心轴y.z轴的惯1生矩和惯1生积为：k=L yldAi：z = zc+by二 yzdA二几+0I、二加y2dA = (vJ A cJAydA +2(2 ycdA +a2/广M = Jyczc + abA已知：T形截面。20I求：Ac解：形心 c(0 yc)y 二 刃+人2乃二 AM +4X0 Aj +4Aj + A?VcIIZc已知：T形截面。20Iio(T0.14x0.2x0.8 + 0八=0.0467加0.14x0.02 + 0.1x0.02i 0.02x0.143 mno nn/1_2 nno ni/1 “ in-6 4 :=-+ (0.08 - 0.0467)2 x 0.02 x 0.14 = 7.69 x 10 inn 二 ObOd *o 04672%0.1 x0.02 = 4.43xl0-6mlc 12I_ 二上 +/?二 12.12x109?作业4.24.74.9外力特点J 用平击垂直于A$“02竺BM彳等、转向相反、作第三章扭转 3-1扭转的概念变形的特点：当杆件发生扭转变形时，任意两 个横截面将绕杆轴线作相对转动而产生相对角位移。 这种相对角位移称为扭转角，用cp表示。轴：以扭转变形为主的杆件。3-2外力偶矩的计算，扭矩和扭转图、外力偶矩的计算已知轴所传递的功率和轴的转速，则外力偶矩（N-m）Nm = 9549一nN功率，单位为千瓦（KW）n转速，单位为rod/minNm = 7024 nN功率，单位为马力n转速，单位为rod/min扭矩左： YMX = 0,Mx- Me = 0M 广皿。右：艺姙二0,Me -= 0C = Mx, M；为扭去巨扭矩的符号规定：按右手螺旋法则，扭矩矢 量方向与截面夕卜法线相同为正，反之为负。三、粗矩图1、一传动轴作200r / min的匀速转动，轴上装有五个轮子。主动轮2输 入的功率为60kW,从动轮1、3、4、5依次输出的功率为18kW、12kW. 22kW和8kW。试作出该轴的扭矩图。2.87kN-m0.86kNmS 1I1HiIHIIIII 1O.382kN-m143kNp2.01kN-m 3.3纯剪切薄壁筒扭转时的应力边形r yyt为薄壁现象：1 圆 周线的形状大4、不变相邻两周线之间崖巨离不变，但 发生了相对转动。2 各纵向线仍然平行，但倾斜了相同的角度y （剪应 变），矩形歪斜成平行四L由平衡条件=0Ijrrt z r = mm27ir2tmt试中：r为圆筒的平均半径。二、剪应力互等走理由平衡方程工叫=0t dytdx 二 T fdxtdyT t r结论：在互相垂直的两个平面上，剪应力必然成对存在, 且数值相等；二者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指 向或共同背离两平面的交线，这种关系称剪应力互等定理。纯剪切应力状态:单元体上只有剪应力而无正应力的情况。三剪应变、剪切胡克定律 剪应变Rep在弹性范围内，剪切胡 克定律t = G yG剪切弹性模量E、G和之间的关系2(1 + “)MMyy 3-4圖轴扭转对的应力及强度计算横截面上的应力1、变形几何关糸平面假设:圆轴的各个横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变, 半径仍保持为直线，并且相邻两截面间的崖巨离不变.IEI1:1IEI表面剪应变Rdr=zbpd 内部剪应变Ypdx2、肠理关糸产Sp=GP黑3、静力关糸T = ApTpdA = ApG-P1-dAG . dx Jamax（与截面形状、Tp当牛理令p叫p2dA 截面对形心的极惯性矩 人大小有关的几何量）抗扭截面模量（系数）茁鬲弃務* 口却宦煤囲満陣(1) 二、强度计算maxip叫W = 5 -抗扭截面模量 係数） R解决三类强度问题:抽扭转对的变形和创度计算扭转角：任意两横截面相对转过的角度1扭转甬(1)等直圆轴(2)阶梯轴d二二(dxdxGIp厶 】2%4Jtj2单位长度扭转角几力4(力X(P 一许用单位长度扭转涌(3)变截面轴dT二dx GIp3扭转刚度条件%ax =陽 勿 rad/mAa 180/ rmax = 7-勿 %Crl 711、有一阶梯形圆轴，轴上装有三个皮带轮。轴的直径分 别为d二40rmn, d2=70mm,已知轮3输入的功率为N3=30kW ,轮1输岀的功率为N尸13kW。轴作匀速转动，转速n=200r /mine若材料的容许剪应力x=60MPa, G=8xlO4MPa,轴 的容许单位长度扭转角为0=2 / m,试校核该轴的强度和 刚度。1G.621kN-m0. 5m0.3mlm_F2、图示为装有四个皮带轮的一根实心圆轴的计算简图。已知m|=l5kNm m2=3kN.m, m3=9kN.m, m4=4.5kN.m；各轮的间距为/=08m, Z2=1.0m, /3=1.2m；材料的x=80GPa,e=0.3/m, G=80GPa(1)设计轴的直径D；若轴的直径Do= 105mm,试计算全轴的相对扭转角4.5kN 血4.5kNm3、有一外径为100mm、内径为80mm的空心圆轴，与一直径为80mm的实心 圆轴用键相连接。在A轮处由电动机带动，输入功率N=150kW；在B、C轮 处分别负载N2=75kW, N3=75kWo若已知轴的转速为n=300r / min,容许剪 应力T=45MPa ；键的尺寸为10mmxl0mmx30mm ,其容许应力为 t=1 OOMPa 和ac=280MPao(1)校核空心轴及实心轴的强度(不考虑键槽的影响)；(2)求所需键数n。4.7O-H14.78kN-mV猜満且亠育倉国丹伙G14)l CB却苗国讯汕金卜2 轉二灌、味*谶zno- fnmAImB No2惰进JVf吗*沽?h?+?ho3蓉滞*沽Ho8 3-7非囲轴截而杆杠转的概念矩形截面杆扭转分自由扭转和约束扭转。杆两端无约束， 翘曲程度不受任何限制的情况，属于自由扭转。此时，杆各横 截面的翘曲程度相同，纵向纤维长度无变化，横截面上只有剪 应力，没有正应力。杆一端被约束，杆各横截面的翘曲程度不 同，横截面上不但有剪应力，还有正应力，这属于约束扭转。aht2式中h 矩形截面长边的长度；t矩形截面短边的长度；a与截面尺寸的比值h/1有关的系数。矩形截面杆自由扭转时，其横截面上的剪应力计算有以下特 占八、(a) 截面周边各点处的剪应力方向与周边平行(相切)；(b) 截面角点处的剪应力等于零；(c) 截面内最大剪应力发生在截面长边的中点处，其计算式