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精品资源2016-2017学年人教B版选修四 圆周角定理与圆的切线学案2考情分析考查圆的切线定理和性质定理的应用.基础知识1 .圆周角定理(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角.(2)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半.-(3)圆周角定理的推论同弧(或等弧)上的圆周角才更邕 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.半圆(或直径)所对的圆周角是90。； 90。的圆周角所对的弦是直色2 .圆的切线(1)直线与圆的位置关系直线与圆交点的个数直线到圆心的距离 d与圆的半径r的关系相交两个dv r相切一个d= r相离无d r(2)切线的性质及判定切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.切线的判定定理过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线.(3)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线长相笔3 .弦切角(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角.(2)弦切角定理及推论定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半.推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相筵题型一 圆周角的计算与证明【例1】如图，AB为。的直径，弦 AC BD交于点P,若AB= 3, CD= 1,则sin ZAPEB=c解析 连接AD BC因为AB是圆O又/ ACD= / ABD所以在 ACD中，由正弦定理得:CDADADsin / DAC sin / ACD sin / ABD的直径，所以/ AD年/AC比90欢迎下载Asn三ABD= A5 3,又 CD= 1,所以 sin Z DAC= sin / DAe，所以 cos / DA田 sin Z ABD3又 sin/APB= sin (90+Z DAp=cos/DA由2J2.答案【变式1】 如图，点A, B, C是圆O上的点，且A氏4, /AC&30。，则圆O的面积等于解析 连接AO OB因为/ AC生30 ,所以/ AOa 60 , AO郎等边三角形，故圆 O的 半径r = OA= AB= 4,圆O的面积S=兀产=16兀.答案 16兀题型二弦切角定理及推论的应用【例2】如图，梯形 ABC呐接于。O, AD/ BC过B引。O的切线分别交 DA CA的延长线 于 E、F.已知 BC= 8, CD= 5, AF= 6,则 EF的长为.解析 BE切O O于 B,/ ABE= / ACB又 AD/ BC / EAB= / ABCEAH ABCBE ABAC BC又 AE BC又 AD BCEF BE AB EFAF= AC BCT AFAB= CD,.AB= CDCD EFbcT Ak5 EF =.8 6 30EF二万154答案15【变式2】如图，已知圆上的弧 AC= BD,过C点的圆的切线与 BA的延长线交于 E点，证明:(1) / ACE= / BCD(2) BC= BEX CD证明 (i)因为NC = BD,所以/ BCD= / ABC又因为EC与圆相切于点 C,故/ ACE= /ABC所以/ AC号/ BCD(2)因为/ ECB= / CDB / EBC= / BCD一BC CD所以 BD ECB故於左BE BC即 BC= BEX CD巩固提高1 .如图所示， ABC中，/ C= 90 , AB= 10, AC= 6,以AC为直径的圆与斜边交于点 P, 则BP长为.解析 连接CP由推论2知/CPA= 90 ,即CPLAB,由射影定理知， AC=AP- AB AP= 3.6 ,BP= AB-AP= 6.4.答案 6.42 .如图所示，AB AC是。O的两条切线，切点分别为 B C, D是优弧BC上的点，已知/BAC= 80 , 那么/ BDC=解析 连接 OB OC 则 OBLAB, OCLAG /. / BOG= 180 -Z BAG= 100 ,1./ BDG= -/ BOG= 50 .答案 503.如图所示，GD是圆O的切线，切点为 G点A B在圆O上，BG= 1,ZBGD= 30 ,则圆 O的面积为_解析 连接og ob依题意得，/=OG因此 BOG1等边三角形，OB= OG= BG= 1,即圆O的半径为 所以圆O的面积为 *xi2=兀.答案 兀4.如图，直角三角形 ABG43, / 则/ G的大小为.解析 连接BD则有/ ADB= 90ABG43, / A= 60 ,于是有/答案 305.如图，MN圆O的直径，M冲(GOB= 2/GAB= 2ZBGD= 60 ,又 OB1,B= 90 , AB= 4,以BG为直径的圆 交AG边于点D, AD= 2,.在 RtABD中，AB= 4, AD= 2,所以/ A= 60 ;在 Rt G= 30 .j延长线与圆O上过点P的切线PA相交十点A,若/ M= 30。，AP= 2y3,则圆O的直径为 解析 连接OP,因为/ M= 30。，所以/ AOP= 60。，因。AP2 3所以 OPLAP 在 RtAADO, OP= ./点tan / AOP tan 60径为4.答案 4-JPAOP,=2,故圆O的直A 双 0 JM
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