概率论与数理统计公式集锦

_公式名称德摩根公式古典概型几何概型求逆公式加法公式减法公式条件概率公式与乘法公式概率论与数理统计公式集锦一、随机事件与概率公式表达式ABAB ， ABABmA包含的基本事件数P ( A)n 基本事件总数P( A)( A) ，其中为几何度量（长度、面积、体积）()P ( A )1P ( A )P(A B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB) 0 时， P(A B)=P(A)+P(B)P(A-B)=P(A)-P(AB)， BA 时 P(A-B)=P(A)-P(B)P( AB)P(B A)P( AB)P( A)P(B A)P( B) P( A B)P(A)P( ABC)P ( A)P( B A) P(C AB )n全概率公式P ( A)P ( Bi ) P ( A Bi )贝叶斯公式（逆概率公i1P ( Bi A)nP( Bi ) P ( A Bi )P ( Bi ) P ( A Bi )式）两个事件相互独立1、分布函数i1P( AB)P( A)P( B) ； P (B A)P (B ) ； P( B A)P(B A) ；二、随机变量及其分布P ( Xxk )F (x )P ( Xx )xkxx,P( aXb)F ( b)F (a )f (t)dt2、离散型随机变量及其分布分布名称分布律01 分布k ) p k (1 p )1 k , k 0 ,1P ( XXb(1, p)精品资料_二项分布P( Xk )C nk p k (1p) n k ,k0,1,nXb( n, p )泊松分布kP( Xk )e, k0,1,2,XP ( )k !3、续型随机变量及其分布分布名称密度函数分布函数1,ax b0,xaxa , a均匀分布f ( x)b aF ( x )x b0,其他baX U (a ,b)1,xb分布名称密度函数分布函数指数分布ex , x01 e x,x0X e( )f ( x)F ( x)0,x00,x01( x)21x( t) 2222f ( x )eF ( x )e 2正态分布d tX N ( ,222 )x标准正态分1e( x )布2X N (0,1)x4、随机变量函数Y=g(X) 的分布x 221x1t 2(x)e 2dt2离散型： P (Yyi )pj ,i1,2,，g ( x j )yi连续型：分布函数法，公式法fY ( y)f X (h( y)h ( y) ( xh( y)单调 )三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量及其分布分布律： P ( Xxi ,Yy j ) pij , i , j1, 2,分布函数 F ( X , Y )pijxi x y i y边缘分布律： piP( Xxi )pijp jP(Y y j )pijji条件分布律： P ( X xi Yyj )pij1,2,， P (Yyj X xi )p,iij , j 1,2,p jpi精品资料_2、连续型二维随机变量及其分布联合分布函数及性质xy分布函数： F ( x, y)f (u , v)dudv =P （X=x,Y=y）性质： F (,) 1,2 F ( x , y )G )f ( x, y ) dxdyx yf ( x , y ), P ( x, y )G边缘分布函数与边缘密度函数分布函数： F X ( x )xf (u , v) dvdu密度函数： f X ( x )f ( x , v ) dvF Y ( y )yf (u , v ) dudvf Y ( y)f (u , y ) du条件概率密度f ( x, y)y， f X Yf ( x, y)xfY X ( y x),(x y),f X ( x)f Y ( y)3、随机变量的独立性随机变量 X 、 Y 相互独立F ( x, y)FX (x)FY ( y) ，离散型： p ijp i . p. j，连续型： f ( x, y)f X (x) fY ( y)4、二维随机变量和函数的分布离散型： P (Zz)P( Xx ,Yy)kijxiy jzk连续型： f Z ( z)f( x , zx) dxf ( z y , y) dy四、随机变量的数字特征1、数学期望定义：离散型 E ( X )xk pk ，连续型 E ( X )xf ( x) dxk 1性质： E(C)C, E E( X )E( X) ， E(CX )CE (X ) ， E(XY)E( X )E(Y)E(aXb)aE( X )b ，当 X 、Y 相互独立时：E( XY)E(X ) E(Y)精品资料_2、方差定义： D ( X )E( X E (X ) 2 E ( X 2 ) E 2 ( X )性质： D(C)0 ， D (aX b)a2 D( X ) ， D( X Y) D( X ) D (Y) 2Cov( X, Y)当 X 、Y 相互独立时： D( X Y) D (X ) D(Y) 3、协方差与相关系数协方差： Cov (X , Y)E (XY ) E (X )E (Y ) ，当 X 、 Y 相互独立时：Cov( X, Y) 0相关系数：Cov( X ,Y )，当 X 、Y 相互独立时：XY0 (X,Y 不相关 )XYD ( X ) D(Y)协方差和相关系数的性质：Cov( X, X )D ( X ) ， Cov( X ,Y)Cov(Y, X)Cov( X1X 2 , Y) Cov( X1,Y)Cov( X 2 , Y) ， Cov(aX c, bYd )abCov( X ,Y )4、常见随机变量分布的数学期望和方差分布数学期望方差0-1 分布 b(1, p)pp(1-p)二项分布 b(n, p)npnp(1-p)泊松分布 P()均匀分布 U ( a, b)ab(ba)2212正态分布 N ( ,2 )2指数分布 e()112五、大数定律与中心极限定理1、切比雪夫不等式若 E( X ), D ( X )2, 对于任意0 有 P XE ( X )D( X )22、大数定律： 切比雪夫大数定律：若X1X n 相互独立，E( X i )i , D (X i )i2 且 i2C ，则： 1nX iP1 nE (X i ), (n)n i 1n i1伯努利大数定律：设nA 是 n 次独立试验中事件 A 发生的次数， p 是事件 A 在每次试验中发生的概率，则nAp10 ，有： lim Pnn精品资料_辛钦大数定律：若X1, Xn 独立同分布，且E ( X i )，则 1 nX iPn i 1n3、中心极限定理列维林德伯格中心极限定理：独立同分布的随机变量X i (i 1,2,) ，均值为，方差为2nn0，当 n 充分大时有： Yn(X kn )N(0,1)k1棣莫弗拉普拉斯中心极限定理：随机变量X B(n, p) ，则对任意 x 有：lim PXnpx1et 2( x)2 dtxnnp(1p)2n(bn )( a n近似计算： P(aX kb)k 1nn概率论与数理统计公式整理1 、总体和样本的分布函数n设总体 X F ( x) ，则样本的联合分布函数F ( x1 , x2xn )2、统计量1nn样本均值： XX i，样本方差： S21X )2(Xin i 1n 1 i 11n样本标准差： S( Xi X) 2 ，样本 k 阶原点距：n 1 i 1样本 k 阶中心距： Bk1 n( X i X ) k , k 1,2,3n i13、三大抽样分布F ( xk )k 11n2(Xi2nX )n1 i 1A1nX k,k 1,2kn ii1(1)2 分 布 ： 设 随 机 变 量 XiN (0,1) (i 1,2,n) 且 相 互 独 立 ， 则 称 统 计 量2X 12X 22X n2 服从自由度为n 的2 分布，记为2 2 (n)性 质 ： E2 (n)n, D 2 (n)2n 设 X 2 ( m),Y 2 (n) 且 相 互 独 立 ， 则XY 2 (m n)(2)t 分布：设随机变量X N (0,1), Y 2 (n) ，且 X 与 Y 独立，则称统计量： TX服从Y n自由度为 n 的 t 分布，记为T t(n)nx 2性质： E(T ) 0 (n1),D(T )2) lim fn ( x) (x)1(ne 2n 2n2(3) F 分布：设随机变量X 2 (m), Y 2 (n) ，且 X 与 Y 独立，则称统计量F (m, n)X m 服Y n精品资料_从第一自由度为m，第二自由度为n 的 F 分布，记为 F F (m, n) ，性质：设 F F (m, n) ，则 1F F (n, m)七、参数估计1.参数估计定义：用( X1 , X 2 ,L , X n ) 估计总体参数，称( X1 , X 2 ,L , X n ) 为的估计量，相应的 ( x1 , x2 , , xn ) 为总体 的估计值。当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的极大似然估计值2.点估计中的矩估计法：基本思想：用样本矩来估计相应的总体矩求法步骤：设总体X 的分布中包含有未知参数1 , 2, k ，它的前 k 阶原点矩iE( X i )(i1,2, k ) 中包含了未知参数 1, 2 , k ，即igi ( 1 , 2 , k )(i1,2, , k) ；又设 x1, x2 ,L, xn 为总体 X 的 n 个样本值，用样本矩代替i ，在所建立的方程组中解出的k 个未知参数即为参数1 , 2 , , k 的矩估计量1,2 , k 。注意：分布中有几个未知参数，就求到几阶矩。3.点估计中的极大似然估计设 X1, X 2 ,L X n 取自 X 的样本，设 X f ( x,) 或 X P( x,) ， 求法步骤：nn似然函数： L ()f ( xi , )(连续型 )或 L ()Pi ( xi ,)(离散型 )i 1i1nn取对数： ln L ()ln f (xi , ) 或 ln L()lnpi ( xi ,)i 1i 1精品资料_11 ( x1 , x2 , xn )解方程：ln L0,L , ln L0 ，解得：1kkk (x1, x2 , xn )4.估计量的评价标准估设(x1, x2 ,L , xn ) 为未知参数的估计量。若 E(）=，无偏性计则称为的无偏估计量。量设 11 ( x1, x2 ,L , xn ) 和22 ( x1 , x2 ,L , xn ) 是未知参数有效性的的两个无偏估计量。 若 D (1 )D ( 2 ) ，则称1比2 有效。评设 n是的一串估计量， 如0 ，有 lim P(|n|)0n价则称n 为的一致估计量（或相合估计量） 。一致性标准5. 单正态总体参数的置信区间估计枢轴量条件枢轴量置信水平为 1的置信区间参数分布已知ZXx z, xzN (0,1)2/ n2n2n未知XSSTt( n 1)x t (n 1), x t(n 1)S/ nnn222nX i2nn2) 2) 2已知2i 12( X i( X ii1i1(n)2(n ),2( n )212精品资料_2(n1)1) S2未知22( n 1)S2(n 1)S 2,(n22( n 1)2( n 1)122八、假设检验1.假设检验的基本概念基本假设检验的统计思想是小概率原理。思想小概率事件的概率就是显著性水平，常取=0.05 ，0.01或 0.10 。提出原假设 H0；选择检验统计量g( X1,L , X n ) ；对于查表找基本分位数，使 P( g( X1 ,L , X n )W )，从而定出拒绝域W；步骤由样本观测值计算统计量实测值g( x1 , , xn ) ；并作出判断：当实测值落入 W 时拒绝 H0，否则认为接受H0 。当 H0 为真时，而样本值却落入了拒绝域，应当否定H0。这第一类时，我们把客观上H0成立判为 H0 为不成立（即否定了真实错误的假设），称这种错误为“弃真错误”或第一类错误， 记 为犯此类错误的概率，即：P拒绝 H0|H0 为真 = ；当 H1 为真时， 而样本值却落入了接受域， 应接受 H0 。这时，两类第二类我们把客观上H0 不成立判为 H0 成立（即接受了不真实的假错误错误设），称这种错误为“取伪错误”或第二类错误， 记为犯此类错误的概率，即：P 接受 H0 |H1为真 = 。两类错人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当误的关容量 n 一定时，变小， 则变大； 相反地，变小， 则系变大。取定要想使变小，则必须增加样本容量。精品资料_2.单正态总体均值和方差的假设检验统计量条件2已知原假设H 0:0H 0:0检验统计量Z X 0 / n拒绝域分布| z |z2N (0,1)zz未知2H 0 :0H 0:0H 0:0H 0:0H 0 :22X0TnS /zztt(n1)2t (n1)t t(n1)tt (n1)22(n1)122 (n1) 或22 (n1)未知已知（少见）H 0 :220H 0:220H 0:22H 0:220H 0:2202 (n 1)S220n( Xi)22i120222 (n1)22(n1)122(n) 或1222(n)2 (n)222 (n)22( n)1精品资料_Welcome ToDownload !欢迎您的下载，资料仅供参考！精品资料