一元二次方程归纳总结

一元二次方程归纳总结1、一元二次方程的一般式：，为二次项系数，为一次项系数，为常数项。2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法） 解为： 解为： 解为： 解为：（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法（3）公式法：一元二次方程，用配方法将其变形为： 当时，右端是正数因此，方程有两个不相等的实根： 当时，右端是零因此，方程有两个相等的实根： 当时，右端是负数因此，方程没有实根。注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。备注：公式法解方程的步骤：把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：，并确定出、求出，并判断方程解的情况。代公式：（要注意符号）3、一元二次方程的根与系数的关系法1：一元二次方程的两个根为： 所以：，定理：如果一元二次方程定的两个根为，那么：法2：如果一元二次方程定的两个根为；那么 两边同时除于，展开后可得： ；法3：如果一元二次方程定的两个根为；那么 得：（余下略）常用变形：， ， ， ， 等练习：【练习1】若是方程的两个根，试求下列各式的值：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 【练习2】已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值(1) 方程两实根的积为5；(2) 方程的两实根满足【练习3】已知是一元二次方程的两个实数根(1) 是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请您说明理由(2) 求使的值为整数的实数的整数值4、应用题（1）平均增长率的问题： 其中：为基数，为增长率，表示连续增长的次数， 表示增长后的数量。 （2）面积问题：注意平移思想的使用5、换元法 例：解：令 则原方程可化为： 解得： 当时，求得： 当时，求得：（原方程共有4个解） 练习：一元二次方程的解法方法：直接开方法；因式分解法；配方法；公式法关键点：降次类型一、直接开方法：对于，等形式均适用直接开方法典型例题：例1、解方程： =0; 例2、解关于x的方程：例3、若，则x的值为 。针对练习：下列方程无解的是（ ）A. B. C. D.类型二、因式分解法:方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，方程形式：如， ，典型例题：例1、的根为（ ）A B C D 例2、若，则4x+y的值为 。例3、方程的解为（ ）A. B. C. D.例4、解方程： 例5、已知,则的值为 。类型三、配方法在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题：例1、试用配方法说明的值恒大于0。例2、已知x、y为实数，求代数式的最小值。例3、已知为实数，求的值。例4、分解因式：类型四、公式法条件：公式： ,典型例题：例1、选择适当方法解下列方程： 说明：解一元二次方程时，首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法；一般不选择配方法。说明：对于二次三项式的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令=0，求出两根，再写成=.分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.类型五、 “降次思想”的应用求代数式的值； 解二元二次方程组。典型例题：例1、已知，求代数式的值。例2、如果，那么代数式的值。例3、已知是一元二次方程的一根，求的值。例4、用两种不同的方法解方程组考点四、根的判别式根的判别式的作用：定根的个数；求待定系数的值；应用于其它。典型例题：例1、若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。例2、关于x的方程有实数根，则m的取值范围是( )A. B. C. D.例3、已知关于x的方程(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。例4、已知二次三项式是一个完全平方式，试求的值.例5、为何值时，方程组有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？考点五、应用解答题“碰面”问题；“复利率”问题；“几何”问题；“最值”型问题；“图表”类问题典型例题：1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席？2、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入资金600万元，第二年比第一年减少，第三年比第二年减少，该产品第一年收入资金约400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结果精确到0.1，）3、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？4、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。（3）两个正方形的面积之和最小为多少？考点七、根与系数的关系前提：对于而言，当满足、时，才能用韦达定理。主要内容：应用：整体代入求值。典型例题：例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根，则这个直角三角形的斜边是（ ） A. B.3 C.6 D.例2、解方程组：例3、已知关于x的方程有两个不相等的实数根，（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。例4、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例5、已知，求 例6、已知是方程的两个根，那么 .一元二次方程的应用题1、学校举行拔河友谊赛，采用单循环赛形式（即每两个队要比赛一场），计算下来共要比赛10场，问共有多少个队报名参赛？2、为了美化环境，某市加大对绿化的投资2007年用于绿化投资20万元，2009年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率设这两年绿化投资的年平均增长率为，根据题意所列方程为（ ）A、 B、 C、 D、3、2008年爆发的世界金融危机，是自上世纪三十年代以来世界最严重的一场金融危机。受金融危机的影响，某商品原价为200元，连续两次降价后售价为148元，下面所列方程正确的是A B C D4、某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：（1）该企业2007年盈利多少万元？（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元？5、中国内地部分养鸡场突发禽流感疫情，某养鸡场中、一只带病毒的小鸡经过两天的传染后、鸡场共有169只小鸡遭感染患病，在每一天的传染中平均一只鸡传染了几只小鸡？6、在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80，求所截去小正方形的边长。7、要在长32m，宽20m的长方形绿地上修建宽度相同的3条道路，剩下六块绿地面积共570m2,问道路宽应为多少？BCAD16米8、如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD求该矩形草坪BC边的长9、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？一元二次方程解法复习练习题一元二次方程解法归纳：（1）直接开方和配方法；（2）求根公式法法；（3）提取因式法；（4）公式法；（5）因式分解法；1、 2.、 3、4、 5、 6、(x-1)+2x(x-1)=0 7、2x2-4x-5=0 8、3x2-4x4=0 9、2（x3）2x2=9 10、 11、 12、 13、 14、 15、 16、 17、3x2+5(2x+1)=0 18、 一元二次方程专题练习题1、关于的方程有两个不相等的实根、，且有，则的值是A1B1C1或1D22、关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（ ）ABCD或3、若一元二次方程式 的两根为0、2，则之值为何？A2 B5 C7 D 84、已知关于x的方程x 2bxa0有一个根是a(a0)，则ab的值为A B0 C1 D25、已知关于x的方程的两根为、，且满足.求的值。6、已知关于x的方程x22（k1）x+k2=0有两个实数根x1，x2.（1）求k的取值范围；（2）若，求k的值.7、先化简,再求值:，其中.11、2008年10月29日，央行宣布，从10月30日起下调金融机构人民币存款基准利率.其中一年期存款基准利率由现行的3.87%下调至3.60%.11月26日，央行宣布，从11月27日,一年期存款基准利率由现行的3.60%下调至2.52%.短短一个月,连续两次降息.设平均每次存款基准利率下调的百分率为,根据以上信息可列方程A. B. C. D.8、为了让国人分享“神七”升空的骄傲，中央电视台在神七发射期间与“问问”网站联合举办“神七我问问”的活动，网友可以自由地提出问题，解答问题，对问题的解答发表评论。小红提了一个问题，几天后她发现有人次作出解答，每一个解答又恰好有人次作出评论，已知包括小红在内，参与该问题讨论的共有73人次，则=_.9、新年里，一个有若干人的小组，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺年卡共72次，此小组的人数是（A）7 （B）8 （C）9 （D）1010、某校准备组织一次排球比赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,共有多少个队参赛?设有x个队参赛,则列方程为 .11、对于一元二次方程,下列说话:若,那么方程没有实数根；若，则方程必有一根为-1；若方程有两个不等的实数根，则方程也有两个不等的实数根.其中正确的是A. B. C. D.12、已知一元二次方程2+b+c=0的一根为1=1,另一根为122，给出下列结论：1c2；3b2；b+c=1.其中正确结论的个数是 (A)3 (B)2 (C)1 (D)013、对于-元二次方程a+bx+c=O(a0)，下列说法：当b=0时，方程a+bx+c=O一定有两个互为相反数的实数根； 当b0且c=0时，方程a+bx+c=O一定有两个实数根且有一根为0； 当a+b+c=0时，方程a+bx+c=O一定有两个不相等的实数根； 当a0，c0且a-b+c0时，方程a+bx+c=O一定有两个不相等的实数根 其中正确的是( ) A. B. C. D.、14、下列命题： 若b=2a+c,则一元二次方程a+bx+c=O必有一根为-2；若ac0, 则方程 c+bx+a=O有两个不等实数根；若-4ac=0, 则方程 c+bx+a=O有两个相等实数根；其中正确的个数是（ ） A.O个 B.l个 C.2个 D。3 个15、利用公式法解下列方程（1） （2） 16、用配方法解下列方程：（1）3x2-5x=2 （2）x2+8x=917、 十字交叉法解方程(1) a27a+6=0； (2)8x2+6x35=0； (3)18x221x+5=0； (4) 209y20y2=0； (5)2x2+3x+1=0； (6)2y2+y6=0；18、 用合适方法解题 （1） （2） （3） （4） （5）(x-1)+2x(x-1)=019、已知是一元二次方程的一根，求的值。20、解方程组：21、若，则的值为 。22、已知是一元二次方程的两个实数根(1) 是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请您说明理由(2) 求使的值为整数的实数的整数值