中考数学试题汇编及解析探索型问题

2006年中考数学试题汇编及解析 探索型问题探索型问题这类问题往往涉及面很广，主要是探索题设结论是否存在，或是否成立，或是让学生自己先猜想结论，再进行研究从而得出正确的结论等等，这些题通常有一定的难度，几乎在全国各地的中考数学试卷中都能见到。1、（2006浙江舟山）如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为边在第四象限内作等边AOB，点C为x轴的正半轴上一动点（OC1），连结BC，以BC为边在第四象限内作等边CBD，直线DA交y轴于点E（1）试问OBC与ABD全等吗？并证明你的结论（2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化，若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由（3）如图2，以OC为直径作圆，与直线DE分别交于点F、G，设AC=m，AF=n，用含n的代数式表示m解析 （1）两个三角形全等 AOB、CBD都是等边三角形 OBA=CBD=60 OBA+ABC=CBD+ABC 即OBC=ABD OB=AB，BC=BD OBCABD （2）点E位置不变 OBCABD BAD=BOC=60 OAE=180-60-60=60 在RtEOA中，EO=OAtan60= 或AEO=30，得AE=2，OE=点E的坐标为（0，） （3）AC=m，AF=n，由相交弦定理知1m=nAG，即AG= 又OC是直径，OE是圆的切线，OE2=EGEF 在RtEOA中，AE=2 （）2=（2-）（2+n） 即2n2+n-2m-mn=0 解得m=.2、（2006浙江金华）如图,平面直角坐标系中,直线AB与轴,轴分别交于A(3,0),B(0,)两点, ,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD轴于点D.(1)求直线AB的解析式;(2)若S梯形OBCD,求点C的坐标;(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的三角形与OBA相似.若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.解析 （1）直线AB解析式为：y=x+ （2）方法一：设点坐标为（x，x+），那么ODx，CDx+ 由题意： ，解得（舍去）（，）方法二：,，由OA=OB，得BAO30，AD=CDCDAD可得CD AD=，ODC（，）（）当OBPRt时，如图 若BOPOBA，则BOPBAO=30，BP=OB=3，（3，） 若BPOOBA，则BPOBAO=30,OP=OB=1（1，）当OPBRt时 过点P作OPBC于点P(如图)，此时PBOOBA，BOPBAO30过点P作PMOA于点M方法一： 在RtPBO中，BPOB，OPBP 在RtPO中，OPM30， OMOP；PMOM（，）方法二：设（x ，x+），得OMx ，PMx+由BOPBAO,得POMABOtanPOM= ，tanABOC=x+x，解得x此时，（，） 若POBOBA(如图)，则OBP=BAO30，POM30 PMOM（，）（由对称性也可得到点的坐标）当OPBRt时，点P在轴上,不符合要求.综合得，符合条件的点有四个，分别是：（3，），（1，），（，），（，）3、（2006湖南常德）如图，在直角坐标系中，以点为圆心，以为半径的圆与轴相交于点，与轴相交于点（1）若抛物线经过两点，求抛物线的解析式，并判断点是否在该抛物线上（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点，使得的周长最小（3）设为（1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点，使得四边形是平行四边形若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由解析 （1），又在中，的坐标为 又两点在抛物线上，解得抛物线的解析式为： 当时，点在抛物线上（2）抛物线的对称轴方程为 在抛物线的对称轴上存在点，使的周长最小的长为定值要使周长最小只需最小连结，则与对称轴的交点即为使周长最小的点设直线的解析式为由得直线的解析式为由得故点的坐标为 （3）存在，设为抛物线对称轴上一点，在抛物线上要使四边形为平行四边形，则且，点在对称轴的左侧于是，过点作直线与抛物线交于点由得从而，故在抛物线上存在点，使得四边形为平行四边形4、（2006湖南常德）把两块全等的直角三角形和叠放在一起，使三角板的锐角顶点与三角板的斜边中点重合，其中，把三角板固定不动，让三角板绕点旋转，设射线与射线相交于点，射线与线段相交于点（1）如图9，当射线经过点，即点与点重合时，易证此时，（2）将三角板由图1所示的位置绕点沿逆时针方向旋转，设旋转角为其中，问的值是否改变？说明你的理由()()()B(Q)CFEAP图1图3图3（3）在（2）的条件下，设，两块三角板重叠面积为，求与的函数关系式解析 （1）8 （）（2）的值不会改变 理由如下：在与中，即 （）（3）情形1：当时，即，此时两三角板重叠部分为四边形，过作于，于，由（2）知：得于是 情形2：当时，时，即，此时两三角板重叠部分为，由于，易证：，即解得于是综上所述，当时，当时， 法二：连结，并过作于点，在与中，即法三：过作于点，在中，于是在与中即5、（2006湖北宜昌）如图，点O是坐标原点，点A（n，0）是x轴上一动点(n0）以AO为一边作矩形AOBC，点C在第二象限，且OB2OA矩形AOBC绕点A逆时针旋转90o得矩形AGDE过点A的直线ykxm 交y轴于点F，FBFA抛物线y=ax2+bx+c过点E、F、G且和直线AF交于点H，过点H作HMx轴，垂足为点M(1)求k的值；(2)点A位置改变时，AMH的面积和矩形AOBC 的面积的比值是否改变？说明你的理由解析 （1）根据题意得到：E（3n，0）， G（n，n）当x0时，ykxmm，点F坐标为（0，m）RtAOF中，AF2m2n2，FBAF，m2n2(-2nm)2，化简得：m0.75n， 对于ykxm，当xn时，y0，0kn0.75n，k0.75 （2）抛物线y=ax2+bx+c过点E、F、G， 解得：a，b，c0.75n 抛物线为y=x2x0.75n 解方程组： 得：x15n，y13n；x20，y20.75n H坐标是：（5n，3n），HM3n，AMn5n4n，AMH的面积0.5HMAM6n2； 而矩形AOBC 的面积2n2，AMH的面积矩形AOBC 的面积3:1，不随着点A的位置的改变而改变 6、（2006山东日照）如图（1），在以AB为直径的半圆O内有一点P，AP、BP的延长线分别交半圆O于点C、D求证：APAC+BPBD=AB2证明：连结AD、BC，过P作PMAB，则ADB=AMP=90，点D、M在以AP为直径的圆上；同理：M、C在以BP为直径的圆上由割线定理得： APAC=AMAB，BPBD=BMBA，所以，APAC+BPBD=AMAB+BMAB=AB（AM+BM）=AB2当点P在半圆周上时，也有APAC+BPBD=AP2+BP2=AB2成立，那么： （1）如图（2）当点P在半圆周外时，结论APAC+BPBD=AB2是否成立？为什么？（2）如图（3）当点P在切线BE外侧时，你能得到什么结论？将你得到的结论写出来解析 （1）成立 证明：如图（2），PCM=PDM=900，点C、D在以PM为直径的圆上， ACAP=AMMD，BDBP=BMBC，ACAP+BDBP=AMMD+BMBC， 由已知，AMMD+BMBC=AB2， APAC+BPBD=AB2 （2）如图（3），过P作PMAB，交AB的延长线于M，连结AD、BC，则C、M在以PB为直径的圆上，APAC=ABAM，D、M在以PA为直径的圆上，BPBD=ABBM， 由图象可知：AB=AM-BM，由可得：APAC-BPBD=AB（AM-BM）=AB2 7、（2006江西南昌）问题背景；课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题： 如图1，在正三角形ABC中，M，N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若BON=60则BM=CN： 如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点BM 与CN相交于点O，若BON=90则BM=CN.然后运用类似的思想提出了如下命题： 如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，若BON=108，则BM=CN. 任务要求 (1)请你从，三个命题中选择一个进行证明； (2) 请你继续完成下面的探索； 如图4，在正n(n3)边形ABCDEF中，M，N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当BON等于多少度时，结论BM=CN成立(不要求证明) 如图5，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE，AE上的点，BM与CN相交于点O，BON=108时，试问结论BM=CN是否还成立，若成立，请给予证明若不成立，请说明理由(I)我选 解析 （1） 如选命题 证明：在图1中，BON=601+2=603+2=60，1=3 又BC=CA，BCM=CAN=60BCMCAN BM=CN （2）如选命题证明：在图2中，BON=901+2=903+2=90，1=3 又BC=CD，BCM=CDN=90BCMCDN BM=CN （3）如选命题证明；在图3中，BON=1081+2=1082+3=1081=3 又BC=CD，BCM=CDN=108BCMCDN BM=CN (2)答：当BON=时结论BM=CN成立 答当BON=108时。BM=CN还成立 证明；如图5连结BD、CE. 在BCI)和CDE中BC=CD, BCD=CDE=108,CD=DEBCD CDE BD=CE , BDC=CED, DBC=CEN CDE=DEC=108, BDM=CEN OBC+ECD=108, OCB+OCD=108MBC=NCD又DBC=ECD=36, DBM=ECN BDM CNE BM=CN 8、（2006江西南昌）已知抛物线，经过点A(0，5)和点B（3 ，2） (1)求抛物线的解析式： (2)现有一半径为l，圆心P在抛物线上运动的动圆，问P在运动过程中，是否存在P 与坐标轴相切的情况？若存在，请求出圆心P的坐标：若不存在，请说明理由； (3)若 Q的半径为r，点Q 在抛物线上、Q与两坐轴都相切时求半径r的值解析 (1)由题意，得； 抛物线的解析式为 (2)当P在运动过程中，存在P与坐标轴相切的情况 设点P坐标为()，则 则当P与y轴相切时，有=1，=1 由= -1，得， 由= 1，得6 当P与x轴相切时有 抛物线开口向上，且顶点在x轴的上方=1 由=1，得，解得=2，B(2，1) 综上所述，符合要求的圆心P有三个，其坐标分别为： (3)设点Q坐标为(x，y)，则当Q与两条坐标轴都相切时，有y=x 由y=x得，即，解得 由y=-x，得即，此方程无解 O的半径为 9、（2006湖南长沙）如图1，已知直线与抛物线交于两点（1）求两点的坐标；（2）求线段的垂直平分线的解析式；（3）如图2，取与线段等长的一根橡皮筋，端点分别固定在两处用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线上方的抛物线上移动，动点将与构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点的坐标；如果不存在，请简要说明理由PA图2图1（1）解：依题意得解之得 （2）作的垂直平分线交轴，轴于两点，交于（如图1）图1DMACB 由（1）可知： 过作轴，为垂足 由，得：， 同理： 设的解析式为 的垂直平分线的解析式为：（3）若存在点使的面积最大，则点在与直线平行且和抛物线只有一个交点的直线上，并设该直线与轴，轴交于两点（如图2） PA图2HGB 抛物线与直线只有一个交点， ， 在直线中， 设到的距离为， 到的距离等于到的距离