精校版高中数学人教A版选修44教学案： 第一讲 章末小结与测评 Word版含答案

最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料(1)利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要就是兼顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好是坐标系中的 x 轴，y 轴(坐标原点)(2)坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单舰 A 在舰 B 正东，距离 6 km，舰 C 在舰 B 的北偏西 30，距离 4 km，它们准备围捕海洋动物，某时刻 A 发现动物信号，4 s 后，B、C 同时发现这种信号，A 于是发射麻醉炮弹假设舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为 1 km/s.空气阻力不计，求 A 炮击的方位角解如图，以 BA 为 x 轴，BA 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系，则 B(3，0)，A(3，0)，C(5，2 3)设动物所在位置 P(x，y)，P 在 BC 中垂线上kBC2 353 3，BC 中点 M(4， 3)，BC 的中垂线方程为 y 333(x4)即 y33(x7)|PB|PA|4|AB|6，P 在双曲线x24y251的右支上由得 P(8，5 3)，设xAP，则 tan 3，60.炮弹发射的方位角为北偏东 30.设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：xx（0） ，yy（0）的作用下，点 P(x，y)对应点 P(x，y)称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换x2x，y2y后，曲线 C 变为曲线(x5)2(y6)21，求曲线 C 的方程，并判断其形状解将x2x，y2y，代入(x5)2(y6)21 中，得(2x5)2(2y6)21.化简，得x522(y3)214.该曲线是以52，3为圆心，半径为12的圆.(1)在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程 F(，)0，如果曲线 C 是由极坐标(，)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程 F(，)0为曲线 C 的极坐标方程(2)由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程(3)求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所设点的坐标、的关系ABC 底边 BC10，A12B，以 B 为极点，BC 为极轴，求顶点 A 的轨迹的极坐标方程解如图：令 A(，)，ABC 内，设B，A2，又|BC|10，|AB|.于是由正弦定理，得sin3210sin2，化简，得 A 点轨迹的极坐标方程为1020cos.(1)互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点， x 轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位(2)互化公式为xcos，ysin2x2y2tanyx（x0）(3)直角坐标方程化极坐标方程可直接将 xcos，ysin代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为cos，sin 的整体形式，然后用 x，y代替较为方便，常常两端同乘以即可达到目的，但要注意变形的等价性把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并指出它们分别表示什么曲线(1)2acos(a0)；(2)9(sincos)；(3)4；(4)2cos3sin5.解(1)2acos，两边同时乘以得22acos，即 x2y22ax.整理得 x2y22ax0，即(xa)2y2a2.是以(a，0)为圆心，以 a 为半径的圆(2)两边同时乘以得29(sincos)，即 x2y29x9y，又可化为x922y922812，是以92，92 为圆心，以9 22为半径的圆(3)将4 两边平方得216，即 x2y216.是以原点为圆心，以 4 为半径的圆(4)2cos3sin5，即 2x3y5，是一条直线.(1)柱坐标定义：设 P 是空间内任意一点，它在 Oxy 平面上的射影为 Q，用(，)(0，02)来表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标这时点 P 的位置可由有序数组(，z)表示，叫做点 P 的柱坐标(2)球坐标：建立空间直角坐标系 O xyz，设 P 是空间任意一点，连接 OP，记|OP|r，OP 与 Oz 轴正向所夹的角为，设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q.Ox 轴逆时针方向旋转到 OQ时，所转过的最小正角为，则 P(r，)为 P 点的球坐标如图， 在长方体 OABCDABC中， |OA|3， |OC|3， |OD|3， AC与 BD相交于点 P，分别写出点 C，B，P 的柱坐标解C 点的、分别为|OC|及COA.B点的为|OB| |OA|2|AB|2 32323 2；BOA，而 tan BOA|AB|OA|1.所以BOA4.P 点的、分别为 OE、AOE，|OE|12|OB|3 22，AOEAOB.所以 C 点的柱坐标为3，2，0；B点的柱坐标为3 2，4，3；P 点的柱坐标为3 22，4，3.如图， 长方体 OABCDABC中 OAOCa， BB 2OA， 对角线 OB与 BD相交于点 P，顶点 O 为坐标原点；OA，OC 分别在 x 轴，y 轴的正半轴上试写出点 P 的球坐标解r|OP|，DOP，AOB，而|OP|a，DOPOBB，tan OBB|OB|BB|1，OBB4，AOB4.点 P 的球坐标为a，4，4 .一、选择题1点 M 的直角坐标是(1,3)，则点 M 的极坐标为()A.2，3B.2，3C.2，23D.2，2k3 ，(kZ)解析：选 D2(1)2( 3)24，2.又xcos，ysin，cos12，sin32，232k，kZ.即点 M 的极坐标为(2，2k23)，(kZ)2化极坐标方程2cos0 为直角坐标方程为()Ax2y20 或 y1Bx1Cx2y20 或 x1Dy1解析：选 C(cos1)0， x2y20，或cosx1.3极坐标方程cos2sin 2表示的曲线为()A一条射线和一个圆B两条直线C一条直线和一个圆D一个圆解析：选 Ccos4sincos，cos0，或4sin，(24sin)，则x0，或 x2y24y.4(安徽高考)在极坐标系中，圆2cos的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A0(R)和cos2B2(R)和cos2C2(R)和cos1D0(R) 和cos1解析：选 B由2cos，可得圆的直角坐标方程为(x1)2y21，所以垂直于 x 轴的两条切线方程分别为 x0 和 x2，即所求垂直于极轴的两条切线方程分别为2(R)和cos2，故选 B.二、填空题5点 M 的柱坐标为2，3，8，则它的直角坐标为_解析：x2cos31，y2sin3 3，z8.它的直角坐标为(1，3，8)答案：(1，3，8)6点 M 的球坐标为6，2，3 ，则它的直角坐标为_解析：x6sin2cos33，y6sin2sin33 3，z6cos20，它的直角坐标为(3，3 3，0)答案：(3，3 3，0)7在极坐标系中，点(1，2)到直线(cossin)2 的距离为_解析：直线的直角坐标方程为 xy20，d|122|222.答案：228在极坐标系中，过点 A(6，)作圆4cos的切线，则切线长为_解析：圆4cos化为(x2)2y24，点(6，)化为(6，0)，故切线长为 4222 122 3.答案：2 3三、解答题9求由曲线 4x29y236 变成曲线 x2y21 的伸缩变换解：设变换为xx， （0） ，yy， （0） ，将其代入方程x2y21，得2x22y21.又4x29y236，即x29y241.219，214.又0，0，13，12.将曲线 4x29y236 变成曲线 x2y21 的伸缩变换为x13x，y12y.10.如图， 圆 O1和圆 O2的半径都是 1， |O1O2|4， 过动点 P 分别作圆 O1和圆 O2的切线 PM、PN(M、N 分别为切点)使得|PM| 2|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程解：如图，以直线 O1O2为 x 轴，线段 O1O2的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则两圆心的坐标分别为 O1(2，0)，O2(2，0)设 P(x，y)，则|PM|2|PO1|2|MO1|2(x2)2y21.同理，|PN|2(x2)2y21.|PM| 2|PN|，即|PM|22|PN|2.即(x2)2y212(x2)2y21即 x212xy230.即动点 P 的轨迹方程为(x6)2y233.11在极坐标系中，已知圆 C 的圆心 C3，6 ，半径为 1.Q 点在圆周上运动，O 为极点(1)求圆 C 的极坐标方程；(2)若 P 在直线 OQ 上运动，且满足OQQP23，求动点 P 的轨迹方程解：(1)如图所示，设 M(，)为圆 C 上任意一点，如图，在OCM 中，|OC|3，|OM|，|CM|1，COM|6|，根据余弦定理，得 12923cos|6|，化简整理，得26cos (6)80 为圆 C 的轨迹方程(2)设 Q(1，1)，则有2161cos (16)80.设 P(，)，则 OQQP1(1)23125，又1，即125，1，代入得4252625cos (6)80，整理得215cos (6)500 为 P 点的轨迹方程(时间：90 分钟满分：120 分)一、选择题(本大题共 10 个小题，每小题 5 分，满分 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1点 M 的极坐标为2，3 ，则它的直角坐标为()A( 3，1)B(1， 3)C(1， 3)D( 3，1)解析：选 Cxcos2cos31，ysin2sin3 3.它的直角坐标为(1， 3)2原点与极点重合，x 轴正半轴与极轴重合，则点(2，2 3)的极坐标是()A.4，3B.4，43C.4，23D.4，23解析：选 B由直角坐标与极坐标互化公式：2x2y2，tanyx(x0)把点(2，2 3)代入即可得4，tan 3，因为点(2，2 3)在第三象限，所以43.3可以将椭圆x210y281 变为圆 x2y24 的伸缩变换为()A.5x2x，2yyB.2x 5x，y 2yC.2xx，5y 2xD.5x 2x，2yy解析：选 D法一：将椭圆方程x210y281 化为2x25y224，(2x5)2(y2)24.令x25x，yy2得 x2y24，即 x2y24.伸缩变换5x 2x，2yy为所求法二：将 x2y24 改写为 x2y24，设满足题意的伸缩变换为xx（0） ，yy（0） ，代入 x2y24 得2x22y24，即2x242y241.与椭圆x210y281 比较系数得24110，2418，解得25，12.伸缩变换为x25x，y12y.即5x 2x，2yy.4曲线的极坐标方程为4sin，化成直角坐标方程为()Ax2(y2)24Bx2(y2)24C(x2)2y24D(x2)2y24解析：选 B由直角坐标和极坐标的互化公式 ysin，即2x2y2，可得 x2y24y，整理得：x2(y2)24.5圆 2(cossin)的圆心坐标是()A.1，4B.12，4C.2，4D.2，4解析：选 A法一：圆 2(cossin)2sin (4)，可以看作由圆2sin顺时针旋转4得到而2sin的圆心为(1，2)，顺时针旋转4得到(1，4)， 2(cossin)的圆心坐标为(1，4)法二：圆 2(cossin)直角坐标方程为x2y2 2x 2y0，(x22)2(y22)21，圆心的直角坐标为(22，22)，化为极坐标为(1，4)6已知点 P 的坐标为(1，)，则过点 P 且垂直极轴的直线方程是()A1BcosC1cosD1cos解析：选 C由点 P 的坐标可知，过点 P 且垂直极轴的直线方程在直角坐标中为 x1，即cos1.7曲线23与6sin的两个交点之间的距离为()A1B. 3C3 3D6解析：选 C极坐标方程23，6sin分别表示直线与圆，如图所示，圆心 C(3，2)，AOC6，|AO|23cos66323 3.8点 M1，76关于直线4(R)的对称点的极坐标为()A.1，43B.1，23C.1，3D.1，76解析：选 A法一：点 M(1，76)关于直线4(R)的对称点为(1，766)，即(1，43)法二：点 M(1，76)的直角坐标为(cos76，sin76)(32，12)，直线4(R)，即直线 yx，点(32，12)关于直线 yx 的对称点为(12，32)，再化为极坐标即(1，43)9圆4cos的圆心到直线 tan1 的距离为()A.22B. 2C2D2 2解析：选 B圆4cos的圆心 C(2，0)，如图，|OC|2，在 RtCOD 中，ODC2，COD4，|CD| 2.10圆r 与圆2rsin4 (r0)的公共弦所在直线的方程为()A2(sincos)rB2(sincos)rC. 2(sincos)rD. 2(sincos)r解析：选 D圆r 的直角坐标方程为 x2y2r2圆2rsin (4)2r(sincos4cossin4) 2r(sincos)两边同乘以得2 2r(sincos)xcos，ysin，2x2y2，x2y2 2rx 2ry0.整理得 2(xy)r，即为两圆公共弦所在直线的普通方程再将直线 2(xy)r 化为极坐标方程为 2(cossin)r.二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，满分 20 分把答案填写在题中的横线上)11直线 xcosysin0 的极坐标方程为_解析：coscossinsin0，cos ()0，取2.答案：212在极坐标系中，若过点 A(4，0)的直线 l 与曲线24cos3 有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围为_解析：将24cos3 化为直角坐标方程得(x2)2y21，如右图易得33k33.答案：33，3313已知点 M 的柱坐标为23，23，23，则点 M 的直角坐标为_，球坐标为_解析：设点 M 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(，z)，球坐标为(r，)，由xcos，ysin，zz，得x23cos233，y23sin2333，z23，由r x2y2z2，coszr，得r2 23，cos22.即r2 23，4.点 M 的直角坐标为(3，33，23)，球坐标为(2 23，4，23)答案：(3，33，23)(2 23，4，23)14(湖南高考)在极坐标系中，曲线 C1：( 2cossin)1 与曲线 C2：a(a0)的一个交点在极轴上，则 a_解析：曲线 C1的直角坐标方程为2xy1，曲线 C2的直角坐标方程为 x2y2a2，C1与 x 轴的交点坐标为(22，0)，此点也在曲线 C2上，代入解得 a22.答案：22三、解答题(本大题共 4 个小题，满分 50 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(12 分)极坐标系中，求点m，3 (m0)到直线cos(3)2 的距离解：将直线极坐标方程化为(coscos3sinsin3)2，化为直角坐标方程为x 3y40，点(m，3)的直角坐标为(12m，32m)，点(12m，32m)到直线 x 3y40 的距离为|12m 332m4|132|m2|2|m2|.16(12 分)极坐标方程cos与cos3 1 表示的两个图形的位置关系是什么？解：cos可变为2cos，化为普通方程为x2y2x，即(x12)2y214它表示圆心为(12，0)，半径为12的圆将cos (3)1 化为普通方程为 x 3y20，圆心(12，0)到直线的距离为|122|13541，直线与圆相离17 (12分)(江苏高考)在极坐标系中， 已知圆C经过点P2，4 ， 圆心为直线sin332与极轴的交点，求圆 C 的极坐标方程解：在sin(3)32中令0，得1，所以圆 C 的圆心坐标为(1，0)因为圆 C 经过点 P( 2，4)，所以圆 C 的半径 PC（ 2）21221 2cos41，于是圆 C 过极点，所以圆 C 的极坐标方程为2cos.18(14 分)已知线段 BB4，直线 l 垂直平分 BB，交 BB于点 O，在属于 l 并且以 O为起点的同一射线上取两点 P、P，使 OPOP9，建立适当的坐标系，求直线 BP 与直线BP的交点 M 的轨迹方程解：以 O 为原点， BB为 y 轴， l 为 x 轴， 建立如图所示的直角坐标系， 则 B(0，2)，B(0，2)，设 P(a，0)(a0)，则由 OPOP9，得 P(9a，0)，直线 BP 的方程为xay21，直线 BP的方程为x9ay21，即 lBP：2xay2a0，lBP：2ax9y180.设 M(x，y)，则由2xay2a0，2ax9y180，解得2x（2y）a，9y182ax(a 为参数)消去 a，可得 4x29y236(x0)，所以点 M 的轨迹是焦点在 x 轴上，长轴长为 6，短轴长为 4 的椭圆(除去点 B，B)最新精品资料