资源描述
第七章第七章 不等式、推理与证明不等式、推理与证明 全国卷全国卷5年考情图解年考情图解 高考命题规律把握高考命题规律把握 1.高考在本章一般命制高考在本章一般命制 12 个小题， 分值个小题， 分值 510 分分 2.主要考查一元二次不等式的解法， 常与集合主要考查一元二次不等式的解法， 常与集合相结合，简单的线性规划中线性目标函数的相结合，简单的线性规划中线性目标函数的最值、范围问题最值、范围问题；或由最值求参数、或考查；或由最值求参数、或考查非线性目标函数最值问题非线性目标函数最值问题 3.基本不等式一般不单独考查、 有时在解三角基本不等式一般不单独考查、 有时在解三角形、导数与函数、解析几何等问题中会用到形、导数与函数、解析几何等问题中会用到基本不等式求最值基本不等式求最值(或范围或范围) 4.对演绎推理、 直接证明与间接证明以及数学对演绎推理、 直接证明与间接证明以及数学归纳法的考查，单独命题的可能性不大，但归纳法的考查，单独命题的可能性不大，但其思想也会渗透到解题之中其思想也会渗透到解题之中. 第一节第一节不等关系与一元二次不等式不等关系与一元二次不等式 1两个实数比较大小的依据两个实数比较大小的依据 (1)ab0ab. (2)ab0ab. (3)ab0ab. 2不等式的性质不等式的性质 (1)对称性：对称性：abba； (2)传递性：传递性：ab，bcac； (3)可加性：可加性：abacbc；ab，cdacbd； (4)可乘性：可乘性：ab，c0acbc； ab0，cd0acbd； (5)可乘方性：可乘方性：ab0anbn(nN，n1)； (6)可开方性：可开方性：ab0na nb(nN，n2) 3一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式判别式 b24ac 0 0 0 二次函数二次函数 yax2bxc(a0)的图象的图象 一元二次方程一元二次方程 ax2bxc0 (a0)的根的根 有两相异实数根有两相异实数根 x1，x2(x1x2) 有两相等实数根有两相等实数根 x1x2b2a 没有实数根没有实数根 一元二次不等式一元二次不等式 ax2bxc0 (a0)的解集的解集 x|xx1或或 xx2 x| xb2a R 一元二次不等式一元二次不等式 ax2bxc0 (a0)的解集的解集 x|x1xx2 由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法, 1 一元二次一元二次不等式不等式 ax2bxc0 对任意实数对任意实数 x 恒成立恒成立 a0， b24ac0. 2 一元二次不等式一元二次不等式 ax2bxc0 对任意实数对任意实数 x 恒成立恒成立 a0， b24ac0. 熟记常用结论熟记常用结论 1倒数性质的几个必备结论倒数性质的几个必备结论 (1)ab，ab01a1b. (2)a0b1a1b. (3)ab0,0cdacbd. (4)0axb 或或 axb01b1x1a. 2两个重要不等式两个重要不等式 若若 ab0，m0，则，则 (1)babmam；babmam(bm0) (2)abambm；abambm(bm0) 小题查验基础小题查验基础 一、判断题一、判断题(对的打对的打“”，错的打，错的打“”“”) (1)两个实数两个实数 a，b 之间，有且只有之间，有且只有 ab，ab，ab 三种关系中的一种三种关系中的一种( ) (2)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数，不等号方向不变一个不等式的两边同时加上或乘同一个数，不等号方向不变( ) (3)一个非零实数越大，则其倒数就越小一个非零实数越大，则其倒数就越小( ) (4)若不等式若不等式 ax2bxc0 的解集为的解集为(x1，x2)，则必有，则必有 a0.( ) (5)若方程若方程 ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式没有实数根，则不等式 ax2bxc0 的解集为的解集为 R.( ) 答案答案：(1) (2) (3) (4) (5) 二、选填题二、选填题 1设设 A(x3)2，B(x2)(x4)，则，则 A 与与 B 的大小关系为的大小关系为( ) AAB BAB CAB DAB 解析：解析：选选 B 因为因为 AB(x26x9)(x26x8)10，所以，所以 AB.故选故选 B. 2若若 ab0，则下列不等式不能成立的是，则下列不等式不能成立的是( ) A.1ab1a B.1a1b C|a|b| Da2b2 解析：解析：选选 A 取取 a2，b1，则，则1ab1a不成立不成立 3函数函数 f(x) 3xx2的定义域为的定义域为( ) A0,3 B(0,3) C(，03，) D(，0)(3，) 解析：解析： 选选 A 要使函数要使函数 f(x) 3xx2有意义， 则有意义， 则 3xx20， 即， 即 x23x0， 解得解得 0 x3. 4若集合若集合 Ax|ax2ax10 ，则实数，则实数 a 的取值范围是的取值范围是_ 解析：解析：当当 a0 时，满足条件；当时，满足条件；当 a0 时，由题意知时，由题意知 a0 且且 a24a0，得，得 0a4，所以所以 0a4. 答案：答案：0,4 5若若 13，42，则，则 |的取值范围是的取值范围是_ 解析：解析：42，0|4，4| |0. 3|3. 答案答案：(3,3) 考点一考点一不等式的性质及应用不等式的性质及应用基础自学过关基础自学过关 题组练透题组练透 1若若 ab0，cd0，则一定有，则一定有( ) A.adbc B.adbc C.acbd D.acbd 解析：解析：选选 B 因为因为 cd0，所以，所以cd0， 所以所以1d1c0.又又 ab0，所以，所以adbc， 所以所以adbc.故选故选 B. 2设设 a，bR，则，则“(ab) a20”是是“ab”的的( ) A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析：解析：选选 A (ab) a20，则必有，则必有 ab0，即，即 ab；而；而 ab 时，不能推出时，不能推出(ab) a20，如，如 a0，b1，所以，所以“(ab) a20”是是“ab”的充分不必要条件的充分不必要条件 3若若 aln 22，bln 33，则，则 a_b(填填“”或或“”) 解析解析：易知：易知 a，b 都是正数，都是正数，ba2ln 33ln 2log891，所以，所以 ba. 答案答案： 4已知等比数列已知等比数列an中，中，a10，q0，前，前 n 项和为项和为 Sn，则，则S3a3与与S5a5的大小关系为的大小关系为_ 解析：解析：当当 q1 时，时，S3a33，S5a55，所以，所以S3a3S5a5. 当当 q0 且且 q1 时，时， S3a3S5a5a1 1q3 a1q2 1q a1 1q5 a1q4 1q q2 1q3 1q5 q4 1q q1q40， 所以所以S3a3S5a5.综上可知综上可知S3a3S5a5. 答案：答案：S3a3S5a5 5已知已知1x4,2y3，则，则 xy 的取值范围是的取值范围是_，3x2y 的取值范围是的取值范围是_ 解析：解析：1x4,2y3，3y2， 4xy2. 由由1x4,2y3，得，得33x12,42y6， 13x2y18. 答案：答案：(4,2) (1,18) 名师微点名师微点 比较大小的方法比较大小的方法 (1)作差法，其步骤作差法，其步骤：作差：作差变形变形判断差与判断差与 0 的大小的大小得出结论得出结论 (2)作商法，其步骤：作商作商法，其步骤：作商变形变形判断商与判断商与 1 的大小的大小得出结论得出结论 (3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小 (4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论 考点二一元二次不等式的解法考点二一元二次不等式的解法师生共研过关师生共研过关 典例精析典例精析 (1)解不等式：解不等式：x22x30； (2)已知函数已知函数 f(x) x22x，x0，x22x，x0，解不等式解不等式 f(x)3； (3)解关于解关于 x 的不等式的不等式 ax222xax(a0) 解解 (1)不等式两边同乘以不等式两边同乘以1，原不等式可化为，原不等式可化为 x22x30. 方程方程 x22x30 的解为的解为 x13，x21. 而而 yx22x3 的图象开口向上， 可得原不等式的图象开口向上， 可得原不等式x22x30 的解集是的解集是x|3x1 (2)由题意得由题意得 x0，x22x3或或 x0，x22x3，解得解得 x1. 故原不等式的解集为故原不等式的解集为x|x1 (3)原不等式可化为原不等式可化为 ax2(a2)x20. 当当 a0 时，原不等式化为时，原不等式化为 x10，解得，解得 x1. 当当 a0 时，原不等式化为时，原不等式化为 x2a(x1)0. 当当2a1，即，即 a2 时，解得时，解得1x2a； 当当2a1，即，即 a2 时，解得时，解得 x1 满足题意；满足题意； 当当2a1，即，即2a0 时，解得时，解得2ax1. 综上所述，当综上所述，当 a0 时，不等式的解集为时，不等式的解集为x|x1； 当当2a0 时，不等式的解集为时，不等式的解集为 x 2ax1； 当当 a2 时，不等式的解集为时，不等式的解集为1； 当当 a2 时，不等式的解集为时，不等式的解集为 x 1x2a. 解题技法解题技法 1解一元二次不等解一元二次不等式的一般步骤式的一般步骤 2解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据 (1)对于对于 ax2bxc0(0)的形式：的形式： 当当 a0 时，转化为一次不等式时，转化为一次不等式 当当 a0 时，转化为二次项系数为正的形式时，转化为二次项系数为正的形式 当当 a0 时，直接求解时，直接求解 (2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式 与与 0 的关系的关系 (3)确定无根或一个根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，确定无根或一个根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式从而确定解集形式 过关训练过关训练 1不等式不等式 0 x2x24 的解集为的解集为_ 解析：解析：原不等式等价于原不等式等价于 x2x20，x2x24，即即 x2x20，x2x60， 即即 x2 x1 0， x3 x2 0，解得解得 x2或或x1，2x3. 故原不等式的解集为故原不等式的解集为x|2x1 或或 2x3 答案：答案：2，1)(2,3 2求不等式求不等式 12x2axa2(aR)的解集的解集 解：解：原不等式可化为原不等式可化为 12x2axa20， 即即(4xa)(3xa)0，令，令(4xa)(3xa)0， 解得解得 x1a4，x2a3. 当当 a0 时，不等式的解集为时，不等式的解集为 ，a4 a3， ； 当当 a0 时，不等式的解集为时，不等式的解集为(，0)(0，)； 当当 a0 时，不等式的解集为时，不等式的解集为 ，a3 a4， . 考点三一元二次不等式的恒成立问题考点三一元二次不等式的恒成立问题全析考法过关全析考法过关 考法全析考法全析 考法考法(一一) 在在 R 上的恒成立问题上的恒成立问题 例例 1 若不等式若不等式(a2)x22(a2)x40 对一切对一切 xR 恒成立，则实数恒成立，则实数 a 的取值范围是的取值范围是( ) A(，2 B2,2 C(2,2 D(，2) 解析解析 当当 a20，即，即 a2 时，不等式为时，不等式为40 对一切对一切 xR 恒成立恒成立 当当 a2 时，则时，则 a20，4 a2 216 a2 0， 即即 a20，a24，解得解得2a2. 实数实数 a 的取值范围是的取值范围是(2,2 答案答案 C 考法考法(二二) 在给定区间上的恒成立问题在给定区间上的恒成立问题 例例 2 设函数设函数 f(x)mx2mx1.若对于若对于 x1,3，f(x)m5 恒成立，求实数恒成立，求实数 m 的取的取值范围值范围 解解 要使要使 f(x)m5 在在 x1,3上恒成立，上恒成立， 即即 mx2mxm60 在在 x1,3上恒成立上恒成立 有以下两种方法：有以下两种方法： 法一法一：令：令 g(x)mx2mxm6m x12234m6，x1,3 当当 m0 时，时，g(x)在在1,3上是增函数，上是增函数， 所以所以 g(x)maxg(3)，即，即 7m60， 所以所以 m67，所以，所以 0m67； 当当 m0 时，时，60 恒成立；恒成立； 当当 m0 时，时，g(x)在在1,3上是减函数，上是减函数， 所以所以 g(x)maxg(1)，即，即 m60， 所以所以 m6，所以，所以 m0. 综上所述，实数综上所述，实数 m 的取值范围是的取值范围是 ，67. 法二法二：因为因为 x2x1 x122340， 又因为又因为 mx2mxm60，所以，所以 m6x2x1. 因为函数因为函数 y6x2x16 x12234在在1,3上的最小值为上的最小值为67，所以只需，所以只需 m67即可即可 所以实数所以实数 m 的取值范围是的取值范围是 ，67. 考法考法(三三) 给定参数范围求给定参数范围求 x 的范围的恒成立问题的范围的恒成立问题 例例 3 若对任意若对任意 m1,1，函数，函数 f(x)x2(m4)x42m 的值恒大于零，求的值恒大于零，求 x 的取的取值范围值范围 解解 由由 f(x)x2(m4)x42m (x2)mx24x4， 令令 g(m)(x2)mx24x4. 由题意知在由题意知在1,1上，上，g(m)的值恒大于零，的值恒大于零， 所以所以 g 1 x2 1 x24x40，g 1 x2 x24x40， 解得解得 x1 或或 x3. 故故 x 的取值范围为的取值范围为(，1)(3，) 规律探求规律探求 看个性看个性 考法考法(一一)是一元二次不等式在是一元二次不等式在 R 上恒成立问题：上恒成立问题： 解决此类问题常利用一元二次不等式在解决此类问题常利用一元二次不等式在 R 上恒成立的条件， 注意如果不等式上恒成立的条件， 注意如果不等式 ax2bxc0 恒成立，不要忽略恒成立，不要忽略 a0 时的情况时的情况 考法考法(二二)在给定区间上的恒成立问题求解方法：在给定区间上的恒成立问题求解方法： (1)若若 f(x)0 在集合在集合 A 中恒成立，即集合中恒成立，即集合 A 是不等式是不等式 f(x)0 的解集的子集，可的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围或范围) (2)转化为函数值域问题，即转化为函数值域问题，即 已知函数已知函数 f(x)的值域为的值域为m，n，则，则 f(x)a 恒成立恒成立f(x)mina，即，即 ma；f(x)a恒成立恒成立f(x)maxa，即，即 na. 考法考法(三三)给定参数范围求给定参数范围求 x 的范围的恒成立问题求解方法：的范围的恒成立问题求解方法： 解决此类问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数一般情况下，知道谁的范围，解决此类问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数即把变元与参数交换位置，构造以就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解 找共性找共性 对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于零就是相应的二次函数的图象在给定对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于零就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在的区间上全部在 x 轴上轴上方，恒小于零就是相应的二次函数的图象在给定的区间方，恒小于零就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在上全部在 x 轴下方另外，常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值轴下方另外，常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值. 过关训练过关训练 1若不等式若不等式 x2mx10 对于任意对于任意 xm，m1都成立，则实数都成立，则实数 m 的取值范围是的取值范围是 _ 解析：解析：由题意，得函数由题意，得函数 f(x)x2mx1 在在m，m1上的最大值小于上的最大值小于 0，又抛物线，又抛物线 f(x)x2mx1 开口向上，开口向上， 所以只需所以只需 f m m2m210，f m1 m1 2m m1 10， 即即 2m210，2m23m0，解得解得22m0. 答案答案： 22，0 2函数函数 f(x)x2ax3. (1)当当 xR 时，时，f(x)a 恒成立，求实数恒成立，求实数 a 的取值范围；的取值范围； (2)当当 x2,2时，时，f(x)a 恒成立，求实数恒成立，求实数 a 的取值范围；的取值范围； (3)当当 a4,6时，时，f(x)0 恒成立，求实数恒成立，求实数 x 的取值范围的取值范围 解：解：(1)当当 xR 时，时，x2ax3a0 恒成立，恒成立， 需需 a24(3a)0，即，即 a24a120，解得，解得6a2， 实数实数 a 的取值范围是的取值范围是6,2 (2)对于任意对于任意 x2,2，f(x)0 恒成立恒成立 即即 x2ax3a0 对任意对任意 x2,2恒成立，令恒成立，令 g(x)x2ax3a. 则有则有0 或或 0，a22，g 2 73a0 或或 0，a22，g 2 7a0. 解解得得6a2，解，解得得 a ，解，解得得7a6. 综上可知，实数综上可知，实数 a 的取值范围为的取值范围为7,2 (3)令令 h(a)xax23. 当当 a4,6时，时，h(a)0 恒成立恒成立 只需只需 h 4 0，h 6 0，即即 x24x30，x26x30， 解得解得 x3 6或或 x3 6. 实数实数 x 的取值范围是的取值范围是 (，3 63 6，)
展开阅读全文