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最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料数学数学必修必修 1(人教人教 A 版版)一、零点一、零点1零点定义：对于函数零点定义：对于函数 yf(x)，我们把使得方程，我们把使得方程 f(x)0 的实的实数数 x 叫做函数叫做函数 yf(x)的零点的零点特别关注：特别关注：零点不是点，而是实数零点不是点，而是实数2函数零点与方程根之间的等价关系：函数零点与方程根之间的等价关系：方方程程 f(x)0 有实数根有实数根函函数数 yf(x)的图象的图象与与 x 轴有交点轴有交点函函数数yf(x)有零点有零点3函数零点存在性定理：如果函数函数零点存在性定理：如果函数 yf(x)在区间在区间a，b上的图上的图象是连续不断的一条曲线，并且有象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)0，那么，函数，那么，函数 yf(x)在区间在区间(a，b)内有零点，即存在内有零点，即存在 c(a，b)，使得，使得 f(c)0，这个，这个 c 也也就是方程就是方程 f(x)0 的根的根特别关注：特别关注：正确理解函数零点存在性定理正确理解函数零点存在性定理若函数若函数 yf(x)图象在图象在a，b上是连续的，上是连续的，Af(a)f(b)0，则，则 yf(x)在在(a，b)内有零点？内有零点？不一定不一定Cf(a)f(b)0，则，则 yf(x)在在(a，b)内只有一个零点？内只有一个零点？不一定不一定Dyf(x)在在(a，b)内有零点，则内有零点，则 f(a)f(b)0?不一定不一定得出结论得出结论：(1)函数零点的存在性定理，只是判断函数在某区间函数零点的存在性定理，只是判断函数在某区间有零点的其中一种方法有零点的其中一种方法， 不是唯一方法不是唯一方法， 且不能确定零点的个数有多且不能确定零点的个数有多少少(2)不能由存在性定理的结论反推出条件不能由存在性定理的结论反推出条件4判断函数零点个数的求法：判断函数零点个数的求法：方法一，解对应方程的实根；方法一，解对应方程的实根；方法二方法二， 画出函数图象画出函数图象， 图象与图象与 x 轴的交点个数即为函数的零点轴的交点个数即为函数的零点个数；个数；方法三方法三， 对于超越方程对于超越方程， 则可以将超越方程分解为两个基本的初则可以将超越方程分解为两个基本的初等函数，两个初等函数的交点个数，即为原函数零点的个数等函数，两个初等函数的交点个数，即为原函数零点的个数方法四方法四，若是单调函数若是单调函数，则可以利用函数零点存在性定理则可以利用函数零点存在性定理，判断判断出原函数只有一个零点出原函数只有一个零点二、二分法二、二分法1二分法定义二分法定义：对于区间对于区间a，b上连续不断且上连续不断且 f(a)f(b)0 的函的函数数yf(x)，通过不断地把函数通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二的零点所在的区间一分为二，使区间使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法2利用二分法求近似解的解题步骤：利用二分法求近似解的解题步骤：(1)确定区间确定区间a，b，验证，验证 f(a)f(b)0，给定精确度，给定精确度.(2)求区间求区间(a，b)的中点的中点 c.(3)计算计算 f(c)：若若 f(c)0，则，则 c 就是函数的零点；就是函数的零点；若若 f(a) f(c)0，则令，则令 b c此时零点此时零点 x0(a, c)；若若 f(c) f(b)0，则令，则令 a c此时零点此时零点 x0( c, b)(4)判断是否达到精确度判断是否达到精确度： 即若即若|ab|0，且，且 a1)；(4)对数函数模型：对数函数模型：ylogax(a0，且，且 a1)；(5)幂函数模型：幂函数模型：yx；(6)分段函数模型分段函数模型特别关注特别关注： 指数增长模型是爆炸性增长模型指数增长模型是爆炸性增长模型， 其增长速度非常惊其增长速度非常惊人人2指数函数、对数函数、幂函数的增长速度比较指数函数、对数函数、幂函数的增长速度比较(1)在区间在区间(0，)上，尽管函数上，尽管函数 yax(a1)，ylogax(a1)和和yxn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次档次”上上随着随着 x 的增大的增大， y ax(a1)，增长速度越来越快增长速度越来越快，会会超过并远远大于超过并远远大于 y xn(n0)的增长速度的增长速度，而而 ylogax (a1)的增长速的增长速度越来越慢因此总存在一个度越来越慢因此总存在一个 x0，当，当 xx0时，就有时，就有 logaxxnax.(2)在区间在区间(0， )上上， 尽管函数尽管函数 y ax(0a1)， ylogax(0a1)和和 y xn(n0)都是减函数，但它们的衰减速度不同，而且不在同一都是减函数，但它们的衰减速度不同，而且不在同一个个“档次档次”上随着上随着 x 的增大，的增大，ylogax (0a1)的衰减速度比的衰减速度比 yxn(n0)和和 yax(0a x0时，就有时，就有 logaxxnax.3解决应用问题的基本步骤：解决应用问题的基本步骤：(1)实际应用题实际应用题 明确题意，找出题设与结论的数学关系明确题意，找出题设与结论的数学关系数量关系和空间位置关系；数量关系和空间位置关系；(2)在分析联想的基础上，转化为数学问题，抽象构建成一个或在分析联想的基础上，转化为数学问题，抽象构建成一个或几个数学模型来解；几个数学模型来解；(3)阅读、分析、联想、转化、抽象；阅读、分析、联想、转化、抽象；(4)建立数学模型；建立数学模型；(5)运用数学知识作为工具；运用数学知识作为工具；(6)解答数学问题；解答数学问题；(7)解决实际问题解决实际问题(作答作答)函数零点的判断函数零点的判断1函数零点存在性定理：若函数函数零点存在性定理：若函数 yf(x)的零点在区间的零点在区间a，b上上的图象是一条连续不断的曲线的图象是一条连续不断的曲线，且且 f(a)f(b)0，则函数则函数 yf(x)在区间在区间(a，b)内有零点内有零点2求曲线和求曲线和 x 轴的交点的横坐标，就是求函数的零点，即求方轴的交点的横坐标，就是求函数的零点，即求方程的根程的根已知函数已知函数 f(x)3xx2，问方程问方程 f(x)0 在区间在区间1,0内有内有没有实数根？为什么？没有实数根？为什么？解析解析：f(1)31(1)2230，f(0)30010，函数，函数 f(x)3xx2的图象是连续曲线，所的图象是连续曲线，所以以f(x)在区间在区间1,0内有实数根内有实数根 跟踪训练跟踪训练1设函数设函数 yx3与与 y12x2的图象的交点为的图象的交点为(x0，y0)，则则 x0所在所在的区间是的区间是()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)解析解析：令令 g(x)x322x，则有则有 g(0)0，g(1)0，g(2)0，g(3)0，g(4)0.故函数故函数 g(x)的零点所在区间为的零点所在区间为(1,2)选选 B.答案：答案：B2已知已知 f(x)2log3x(1x9)，判断函数，判断函数 g(x)f2(x)f(x2)有有无零点，并说明理由无零点，并说明理由解析：解析：log3x 在区间在区间1,9上为增函数，且上为增函数，且 g(x)f2(x)f(x2)1x29.1x3.故故 g(x)的定义域为的定义域为1,3g(x)f2(x)f(x2)44log3x(log3x)22log3x266log3x(log3x)2.在区间在区间1,3上，上，g(x)也为增函数也为增函数所以所以 g(x)g(1)6，所以，所以 g(x)无零点无零点1对于在区间对于在区间a，b上连续不断，且满足上连续不断，且满足 f(a)f(b)0 的函数的函数yf(x)，通过不断地把函数通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二的零点所在的区间一分为二，使使区间的两个端点逐步逼近零点区间的两个端点逐步逼近零点， 进而得到零点近似值的方法叫做进而得到零点近似值的方法叫做二分法二分法2给定精确度给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤：，用二分法求函数零点近似值的步骤：(1)确定初始区间确定初始区间a，b，验证，验证 f(a)f(b)0，给定精确度，给定精确度.(2)求区间求区间(a，b)的中点的中点 x1（将将ab2称为区间称为区间a，b的中点的中点） (3)计算计算 f(x1)：若若 f(x1)0，则，则 x1是函数的零点；是函数的零点；若若 f(a)f(x1)0，则令，则令 bx1此时零点此时零点 x0(a，x1)；若若 f(x1)f(b)0，则令，则令 ax1此时零点此时零点 x0(x1，b)(4)判断是否达到精确度判断是否达到精确度， 即若即若|ab|， 则得到零点近似值则得到零点近似值 a(或或b)；否则重复；否则重复(2)(4)步骤步骤用二分法求函数用二分法求函数 f(x)x3x1 在区间在区间1,1.5内的一个零点内的一个零点(精确度精确度 0.1).解析：解析：由于由于 f(1)11110，f(x)在区间在区间1,1.5上存在零点，上存在零点，取区间取区间1,1.5作为计算的初始区间，作为计算的初始区间，用二分法逐次计算列表如下：用二分法逐次计算列表如下：端端(中中)点点坐标坐标中点函数值中点函数值符号符号零点所零点所在区间在区间|anbn|1，1.50.51.25f(1.25)01.25，1.50.251.375f(1.375)01.25，1.3750.1251.312 5f(1.312 5)01.312 5，1.3750.062 5二分法的应用二分法的应用|1.3751.312 5|0.062 50，a1a1.情形情形 2：a0，a1a1 或或 a18 某种汽车安全行驶的稳定性系数某种汽车安全行驶的稳定性系数随使用年数随使用年数 t 的变化规律是的变化规律是0et，其中，其中0、是正常数经检测，当是正常数经检测，当 t2 时，时，0.090，则当稳定系数降为则当稳定系数降为 0.500时时， 该种汽车的使用年数为该种汽车的使用年数为_年年(结果精结果精确到确到 1，参考数据：，参考数据：lg 20.301 0，lg 30.477 1)解析：解析： 由由 0.9000(e)2，得，得 e 0.90，于是于是 0.5000(e)t12( 0.90)t，两边取常用对数两边取常用对数，lg12t2lg 0.90，解得解得 t2lg 22lg 310.602 00.045 813.1.答案答案：13三、分类讨论思想三、分类讨论思想如下图，三个机器人如下图，三个机器人 M1，M2，M3和检测台和检测台 M 位于一条位于一条直线上三个机器人需把各自生产的零件送交直线上三个机器人需把各自生产的零件送交 M 处进行检测，送检处进行检测，送检程序规定程序规定：当当 M1把零件送达把零件送达 M 处时处时，M2即刻自动出发送检即刻自动出发送检，当当 M2把零件送达把零件送达 M 处时处时，M3即刻自动出发送检即刻自动出发送检设设 M2的送检速度为的送检速度为 v，且送检速度是且送检速度是 M1的的 2 倍、倍、M3的的 3 倍倍(1)求三台机器人求三台机器人 M1，M2，M3把各自生产的零件送达检测台把各自生产的零件送达检测台 M处的时间总和；处的时间总和；(2)现要求现要求 M1，M2，M3送检时间总和必须最短，请你设计出检送检时间总和必须最短，请你设计出检测台测台 M 在该直线上的位置在该直线上的位置(M 与与 M1，M2，M3均不能重合均不能重合)解析：解析：借助数轴构建分段函数模型使抽象问题具体化借助数轴构建分段函数模型使抽象问题具体化(1)由题设条件知，检测台由题设条件知，检测台 M 的位置坐标为的位置坐标为 0，机器人与检测台，机器人与检测台的距离分别为的距离分别为 2,1,3.故机器人故机器人 M1，M2，M3按程序把各自的生产零件送达检测台按程序把各自的生产零件送达检测台 M处的时间总和为处的时间总和为 y212v1v313v14v.(2)设设 x 为检测台为检测台 M 的位置坐标的位置坐标，则机器人则机器人 M1，M2，M3与检测与检测台台 M 的距离分别为的距离分别为|x(2)|，|x1|和和|x3|，于是机器人送交检测，于是机器人送交检测台台 M 的时间的总和为的时间的总和为y|x 2 |12v|x1|v|x3|13v1v(2|x2|x1|3|x3|)只要求只要求f(x)2|x2|x1|3|x3|取最小值取最小值f(x)6x6 x2 ，2x14 2x3 .由其图象可知，由其图象可知，x1,3时，所对应的时，所对应的 f(x)均取最小值均取最小值 12，即送检时间总和最短为即送检时间总和最短为12v. 依题意，检测台依题意，检测台 M 与与 M1，M2，M3均不能重合均不能重合，故可将检测台故可将检测台 M 设置在直线上机器人设置在直线上机器人 M2与与 M3之间的之间的任何位置任何位置(不含不含 M2、M3的位置的位置)，都能使各机器人，都能使各机器人 M1，M2，M3的送的送检时间总和最短检时间总和最短 跟踪训练跟踪训练9若函数若函数 f(x)mx22x3 只有一个零点只有一个零点，求实数求实数 m 的取值范的取值范围围解析：解析：(1)当当 m0 时，时，f(x)2x3 与与 x 轴只有一个交点，此轴只有一个交点，此时函数时函数 f(x)只有一个零点只有一个零点(2)当当 m0 时时，要使得要使得 f(x)mx22x3 只有一个零点只有一个零点，则则(2)243m0，此时，此时 m13.综上所述，当综上所述，当 m0 或或 m13时，函数时，函数 f(x)mx22x3 只有一只有一个零点个零点一、关系分析法一、关系分析法即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型的方法的数学模型的方法进货价为进货价为 80 元的商品共元的商品共 400 个个，按按 90 元一个售出时元一个售出时，可可全部卖出已知这种商品每涨价全部卖出已知这种商品每涨价 1 元，其销售数量就减少元，其销售数量就减少 20 个，问个，问销售价为多少时所获得的利润最大？销售价为多少时所获得的利润最大？分析分析：题中显示题中显示“利润最大利润最大”的语句的语句，因此因此，应从构造利润的函应从构造利润的函数关系入手数关系入手(利润销售额成本利润销售额成本)解析：解析：设销售价为设销售价为 90 x 元时利润为元时利润为 y，此时销售数量为，此时销售数量为 40020 x.y(90 x)(40020 x)(40020 x)8020(x5)24 500，建立函数模型的方法建立函数模型的方法当当 x5 时，时，ymax4 500(元元)答答：销售价为销售价为 95 元时所获得的利润最大元时所获得的利润最大，其最大值为其最大值为 4 500 元元 跟踪训练跟踪训练10某公司生产一种产品每年投入固定成本某公司生产一种产品每年投入固定成本 0.5 万元万元，此外每生此外每生产产 100 件这种产品还需要增加投资件这种产品还需要增加投资 0.25 万元，经预测知，市场对这万元，经预测知，市场对这种产品的年需求量为种产品的年需求量为 500 件，且当出售的这种产品的数量为件，且当出售的这种产品的数量为 t(单位单位：百件百件)时，销售所得的收入约为时，销售所得的收入约为 5t12t2(万元万元)(1)若该公司这种产品的年产量为若该公司这种产品的年产量为 x(单位：百件，单位：百件，x0)，试把该，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为当年产量公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为当年产量 x 的函数；的函数；(2)当该公司的年产量多大时，当年所得利润最大？当该公司的年产量多大时，当年所得利润最大？二、列表分析法二、列表分析法即通过列表的方式探求问题的数学模型的方法即通过列表的方式探求问题的数学模型的方法 例题分析例题分析某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器 12 台台和和6 台台现销售给现销售给 A 地地 10 台台，B 地地 8 台台已知从甲地调运已知从甲地调运 1 台至台至 A 地地、B 地的运费分别为地的运费分别为 400 元和元和 800 元元， 从乙地调运从乙地调运 1 台至台至 A 地地、 B 地的地的运费分别为运费分别为 300 元和元和 500 元元(1)设从乙地调运设从乙地调运 x 台至台至 A 地地，求总运费求总运费 y 关于关于 x 的函数关系式的函数关系式(2)若总运费不超过若总运费不超过 9 000 元，共有几种调运方案？元，共有几种调运方案？(3)求出总运费最低的调运方案及最低的运费求出总运费最低的调运方案及最低的运费分析分析：本题数量关系较多本题数量关系较多，利用列表法将数量关系明朗化利用列表法将数量关系明朗化，有利有利于函数关系的确立由甲、乙两地调运至于函数关系的确立由甲、乙两地调运至 A 地、地、B 地的机器台数及地的机器台数及运费如下表所示：运费如下表所示：调出地调出地甲地甲地乙地乙地调至地调至地A 地地B 地地A 地地B 地地台数台数10 x12(10 x)x6x每台运每台运费费/元元400800300500运费合运费合计计/元元400(10 x)80012(10 x)300 x500(6x)解析：解析：(1)依题意，得：依题意，得：y400(10 x)80012(10 x)300 x500(6x)，即即 y200(x43)(0 x6，xZ)(2)由由 y9 000，解得，解得 x2.xZ,0 x6，x0,1,2.故，共有三种调运方案故，共有三种调运方案(3)由一次函数的单调性可知由一次函数的单调性可知，当当 x0 时时，总运费最低总运费最低，ymin8600(元元)即从乙地调即从乙地调 6 台给台给 B 地地， 甲地调甲地调 10 台给台给 A 地地、 调调 2 台给台给 B 地的地的调运方案的运费最低，最低运费为调运方案的运费最低，最低运费为 8 600 元元 跟踪训练跟踪训练11某厂为了尽快解决职工住房困难问题某厂为了尽快解决职工住房困难问题，鼓励个人购房和积累鼓励个人购房和积累建房基金，决定住房的职工必须按基本工资的高低交纳建房公积金建房基金，决定住房的职工必须按基本工资的高低交纳建房公积金，办法如下：办法如下：每月工资每月工资公积金公积金1 000 元以下元以下不交纳不交纳1 000 元至元至 2 000 元元交纳超过交纳超过 1 000 元部分元部分 5%2 000 元至元至 3 000 元元1 000 元至元至 2 000 元部分交纳元部分交纳 5%， 超过超过 2 000 元部分元部分交纳交纳 10%3 000 元以上元以上1 000 元至元至 2 000 元部分交纳元部分交纳 5%，2 000 至至 3 000 部部分分 10%,3 000 元以上部分交纳元以上部分交纳 15%设职工每月工资为设职工每月工资为 x 元元，交纳公积金后实得数为交纳公积金后实得数为 y 元元，求求 y 与与 x 之间之间的关系式的关系式最新精品资料
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