新课标高三数学 一轮复习 第7篇 空间向量在立体几何中的应用二学案 理

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第四十七课时 空间向量在立体几何中的应用 (二) 课前预习案考纲要求1.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题2.体会向量方法在研究几何问题中的作用。基础知识梳理1、二面角的定义(1)平面内的一条直线把平面分为两部分,其中的每一部分都叫做_。(2)二面角的定义:_,_叫做二面角的棱,_叫做二面角的面。(3)二面角的记法:棱为,两个面分别为的二面角,记作_。(4)二面角的平面角:在二面角的棱上任取一点,在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线,则 是二面角的平面角. (5)直二面角:_。2、二面角的平面角的求法(1)如图,分别在二面角的面内,作向量,则等于二面角的平面角.(2)若分别为平面的法向量,二面角的大小为,则预习自测1 若平面的一个法向量为n(4,1,1),直线l的一个方向向量为a(2,3,3),则l与所成角的正弦值为_2 若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120°,则直线l与平面所成的角_.3 从空间一点P向二面角l的两个面,分别作垂线PE,PF,垂足分别为E,F,若二面角l的大小为60°,则EPF的大小为_4 如图所示,在空间直角坐标系中,有一棱长为a的正方体ABCOABCD,AC的中点E与AB的中点F的距离为_课堂探究案典型例题【典例1】(20xx年辽宁)如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.(1)求证:平面平面; (2)若,求二面角的余弦值 【变式1】(20xx广东)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,点 E在线段PC上,PC平面BDE(1)证明:BD平面PAC;(2)若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A的正切值;【典例2】【20xx山东】在如图所示的几何体中,四边形是等腰梯形,平面.()求证:平面;()求二面角的余弦值.【变式2】(20xx年重庆理)如图,四棱锥中,为的中点,.(1)求的长;(2)求二面角的正弦值.【典例3】(20xx年天津理)如图, 四棱柱中, 侧棱底面, ,,,为棱的中点. (1) 证明;(2) 求二面角的正弦值. (3) 设点在线段上, 且直线与平面所成角的正弦值为, 求线段的长. 当堂检测1.在空间直角坐标系Oxyz中,平面OAB的一个法向量为n(2,2,1),已知点P(1,3,2),则点P到平面OAB的距离d等于()A4 B2 C3 D12 在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A. B. C. D.3 设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,则点D1到平面A1BD的距离是_4.如图,在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中,ADBC,ABC90°,PA平面ABCD,PA3,AD2,AB2,BC6.(1)求证:BD平面PAC;(2)求二面角PBDA的大小课后拓展案 A组全员必做题1、如图,在圆锥PO中,已知,O的直径,C是的中点,D为AC的中点(1)证明:平面平面;(2)求二面角的余弦值。2、【20xx新课标】如图,直三棱柱中,是棱的中点,(1)证明:(2)求二面角的大小.B组提高选做题如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA底面ABCD,AC=2,PA=2,E是PC上的一点,PE=2EC.()证明:PC平面BED;()设二面角A-PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小.参考答案预习自测1.【答案】【解析】n·a8338,|n|3,|a|,cosn,a.又l与所成角记为,则sin |cosn,a|.2.【答案】30°【解析】由题意得直线l与平面的法向量所在直线的夹角为60°,直线l与平面所成的角为90°60°30°.3.【答案】60°或120°4.【答案】a【解析】由图易知A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A(a,0,a)F,E.EFa.典型例题【典例1】(1)(略);(2)【变式1】(1)(略);(2)3【典例2】(1)(略);(2)【变式2】(1);(2)【典例3】(1)(略);(2);(3)当堂检测1.【答案】B【解析】P点到平面OAB的距离为d2,故选B.2.【答案】B【解析】以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,设棱长为1,则A1(0,0,1),E,D(0,1,0),(0,1,1),设平面A1ED的一个法向量为n1(1,y,z),则n1(1,2,2)平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1),cosn1,n2.即所成的锐二面角的余弦值为.3.【答案】【解析】建立如图空间直角坐标系,则D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),(2,0,0),(2,0,2),(2,2,0),设平面A1BD的一个法向量n(x,y,z),则.令x1,则n(1,1,1),点D1到平面A1BD的距离d.4.(1)证明如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,6,0),D(0,2,0),P(0,0,3),(0,0,3),(2,6,0),(2,2,0)·0,·0.BDAP,BDAC.又PAACA,BD面PAC.(2)解平面ABD的一个法向量为m(0,0,1),设平面PBD的法向量为n(x,y,z),则n·0,n·0.(2,0,3),解得令x,则n(,3,2),cosm,n.二面角PBDA的大小为60°. A组全员必做题1.(1)(略);(2)2.(1)(略);(2)B组提高选做题(1)(略) (2)
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