统计学计算公式

统计学计算公式第 4 章实际完成数100%计划完成程度相对指标计划任务数K 总X 实际（公式 4- 2）100%X 计划计划任务数为平均数时K 平X 实际100%（公式 4-3）X 计划（）当计划任务数表现为提高率时1实际提高百分数（公式 4- 4）K100%1计划提高百分数）当计划任务数表现为降低率时1实际降低百分数(公式 4 -5)K100%1- 计划降低百分数本期内累计实际完成数100%计划执行进度全期的计划任务数时间进度 =截止到本期的累计时间（公式4-7）100%全期时间计划完成程度相对指标计划期间实际完成累计数计划期间计划规定累计100% (公式 4 - 8)数计划完成程度相对指标计划末期实际达到的水平100%（公式 4 - 9）计划规定末期应达到的 水平结构相对指标总体中某一部分数值100 %( 公总体的全部数值比例相对指标总体中某一部分数值(公式 4 -11)总体中另一部分数值甲地区（部门或单位）的某一指标数值比较相对指标(公式 4 -12)同时期乙地区（部门或单位）的同一指标数值强度相对数某一总量指标数值(公式 4 -13)另一性质不同但有一定 联系的总量指标数值动态相对数某指标报告期数值(公式 4 - 14)100%该指标基期数值对于分组数据，众数的求解公式为：上限公式： M 0Uf mf m 1df m 1 )( f m( f mfm 1 )上限公式： M 0Uf mf m 1df m 1 )( f m( f mfm 1 )对于分组的数值型数据，中位数按照下述公式求解：nsm 1nsm 12上限公式： M e U - 2下限公式： M e Lddfmf m对于分组的数值型数据，四分位数按照下述公式求解：nSL 13nSU 1QLLL4dLQU LU4f LfU（1）简单算数平均数（ 2）加权算数平均数knxi fixi1xikxi 1fini1各变量值与算术平均数的离差之和为零。( xx)0或( xx) f0dukfixiki 1fii 1各变量值与算术平均数的离差平方和为最小。( xx)2min 或 ( x x)2 fmin2、调和平均数 (Harmonic mean)（1）简单调和平均数（2）加权调和平均数nnnx Hm1m2. mnmi111x H1ni 1.m1m2mnnmix1x2xni 1xixx.xx3、几何平均数（1）简单几何平均数（2）加权几何平均数nnfif 2f nnx1 x2 . xnxii 1f1nxGx1x2. xnxGi 1一、分类数据：异众比率二、顺序数据：四分位差fifm1fmQdQu QLVrfifi三、数值型数据的离散程度测度值1、极差 (Range)R max( xi ) min( xi )2、平均差（1）如果数据是未分组数据（原始数据） ，则用简单算术平均法来计算平均差：nxixi 1(n为变量值个数 )M dn（2）如果数据是分组数据，采用加权算术平均法来计算平均差：kxix fiM di 1(k为组数 )kfii 13、方差 (Variance) 与标准差总体方差和标准差的计算公式：方差：（未分组数据）（分组数据）NK( Xi)2( Xi) 2fi2i12i1NN标准差：（未分组数据）（分组数据）N)2K)2 fi( X i( X ii 1i 1NN样本方差和标准差方差的计算公式未分组数据 ：分组数据：nx) 2kx)2 f(x( xi2i2isi 1i 1n 1sn1标准差的计算公式未分组数据 ：分组数据：nx)2kx)2 f( x( xiiisi 1si 1n1n14、变异系数 (离散系数 )标准差系数计算公式v（总体离散系数）s （样本离散系数）vsXx一、分布的偏态对未分组数据对分组数据3k3nxixi 1xi x fisk3skn1 n32 s二、分布的峰态（未分组数据）对已分组数据42 2kxi4n n 1xi x 3xi xn 1x fikki13n 1 n 2 n 3 s44ns第 5 章离散型随机变量的概率分布（2）二项分布(3) 泊松分布 :kP ( Xk )ek !当 n 很大， p 很小时， B(n,p) 可近似看成参数=np 的 P( ).即，kP Xklim C kpk (1p)n ke, k 0,1,2,Lnnk!分布函数F ( x) P( X x)P( X xi )pixi xxixF(x) 的性质：x2F ( x1 ) F ( x2 )(a)单调性若 x1，则P(axb)F (b)F (a)(b)有界性0F ( x)1lim F ( x)1lim F ( x) 0xx(c)右连续性F ( x0 )limF (x)x x0(d)对任意的 x0P(Xx0)F(x0)F(x00)若 F(x)在 X=x0 处连续，则P( Xx0 )0连续型随机变量的概率分布F ( x)xf (t)dt概率密度函数f(x)的性质(a)非负性 f(x) 0;(b)归一性f ( x ) dx1;(c)x b )F ( b )F ( a )bP ( af ( x ) dxa(d)在 f(x)的连续点 x 处，有 f( x )F ( x );(e) P(a X b) P(a X b) P(a X b) P(a X b)几种常见的连续型分布1(1)均匀分布a x b若随机变量 X 的概率密度为f ( x)b a0其他则称 X 在(a,b)上服从均匀分布，记为XU (a,b).另：对于 a c db, 我们有dcP(c Xd )ab(2) 指数分布若随机变量 X的概率密度为ex ,x0f (x)x00,其中常数，则称 服从参数为的指数分布，相应的分布函数为X1 ex , x0F ( x)x00,0.随机变量的数学期望EXxi pii 1连续型随机变量的数学期望：EXxf ( x)dx数学期望的性质性质性质性质性质1.2.3.4.设 C 是常数，则 E(C)=C ；若 X 和 Y 相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)；E(X Y) =E(X)E(Y)；设 C 是常数，则E(CX)=C E(X) 。性质 2 可推广到任意有限多个相互独立的随机变量之积的情形。常见的离散型随机变量的数学期望：(a)两点分布若 X B(1，p)，则EX=p.(b)二项分布若 XB(n ，p)，则EX=np.(c)泊松分布若 XP()，则EX=.常见的连续型随机变量的数学期望：(a）均匀分布 :设 XU (a,b)，则 EX=(a+b)/2。1(b）指数分布 :设 X 服从参数为的指数分布，则EX=。*方差的性质性质 1设 X 是一个随机变量， C 为常数，则有D(C)=0；性质 2D(CX)=C2DX；性质 3若 X 与 Y 相互独立，则 D(XY) =D(X) +D(Y)特别地D(X-C)=DX；性质 3 可以推广到 n 个随机变量的情形。性质 4DX =0 的充要条件是X 以概率 1 取常数 EX。常见的离散型随机变量的方差：(a)两点分布若 X B(1，p)，则 DX=p(1-p)；(b)二项分布若 XB(n， p)，则 DX=np(1-p)；(c)泊松分布若 X P()，则 DX =。常见的连续型随机变量的方差：(a）均匀分布设 XU (a,b)，则 DX=(b-a)2/12；1(b）指数分布设 X 服从参数为的指数分布，则DX=2。离散型随机变量的数字特征：N期望：EXX 1P1X 2P2X n PnX i Pii12NXE X2P方差： Xiii1N2标准差 ： XX iPiE Xi1概率数学期望方差论N2N2XiE XX iPi XE X Pii1i 1统计平均数方差学nf i2n2 f ixi xxx i xf if ii 1i1连续型随机变量的数字特征：方差 2XxEX2fxdx标准差 XxEX2 fx dx则：2222nXL212nii122221 22 X； X2 X12nnnn2ni重置抽样下的抽样分布考虑顺序时：样本个数=Nn=52=25不考虑顺序时：样本个数=C nNn12( Nn1)!( N1)! n !E( x)D ( x )n不重置抽样下的抽样分布考虑顺序时：样本个数=PNnN !( N n )!CNnN !不考虑顺序时：样本个数 =( N n)! n!与重复抽样相比，不重复抽样平均误差是在重复抽样平均误差的基础上，再乘以修正系数即：( N n) / (N1)E(x)2NnD(x)N1n正态分布密度函数及其数学性质正态分布的密度函数：1x2222f xe记作X N，2正态分布的分布函数：xFx-标准正态分布的密度函数：t2122edt2x1x 2记作XN 01，e 22x1t22 dt标准正态分布的分布函数：xe-2( x) 1( x)(0)0.5X，作变换Z对任意正态分布 N，2N 0，1第六章二、 总体平均数的检验1.大样本（n30）( 2 已知或2 未知 )假定条件总体服从正态分布若不服从正态分布 , 可用正态分布来近似 (n 30)使用 Z-统计量2X0 N(0,1)已知：Zn2X0 N (0,1)未知： ZSn2. 小样本（n 30）( 2已知或2 未知)假定条件 :总体服从正态分布 ,小样本 (n 30)检验统计量2 已知：zx0 (0,1)nNx0t(n1)2 未知： tsn均值的单尾 t 检验检验统计量 :x0tsn三、总体比例的检验 41000400000.894500020假定条件 :1、有两类结果； 2、总体服从二项分布； 3、可用正态分布来近似。P0比例检验的 Z 统计量 Z0 N (0,1)0 (10 )0其中：0 为假设的总体比例n第八章总体的简单线性相关系数：样本的简单线性相关系数：cov(x, y)var(x) var( y)( x x)( yy)nxyx yr( y y)2n x2(x)2 ny 2( y)2( x x) 2相关系数 r 的取值范围是 -1,1当|r|=1，表示完全相关，其中r =-1 此时表示完全负相关，r =1，表示完全正相关r = 0 时不存在线性相关关系当-1 r0 时，表示负相关， 0t，则拒绝 H0，认为模型通过检验，认为x 对 y 有显著影响；若 |t| t，不拒绝 H0，认为模型没有通过检验，认为x 对 y 没有显著影响。第九章拉氏指数数量指标的q1 p0质量指标的q0 p1拉氏指数q0 p0拉氏指数q0 p0帕氏指数q1 p1数量指标的质量指标的q1 p1帕氏指数q0 p1帕氏指数q1 p0算术平均指数设： k qq1, k pp1q0p0kqq0 p0q1 q0 p0Aqq0q0 p0q0 p0k pq0 p0p1q0p0p0A pq0 p0q0 p0 q0 p0 为权数：xfxfq1 p0q0 p0q0 p1q0 p0调和平均指数 q1 p1 为权数mHmq1 p1q1 p1xH qq1 p11q1p1q0 q1 p1q0 p1k qq1H pq1 p1q1 p1q1 p11p0 q1 p1q1 p0q1 p1k pp1指数因素分析方法简单现象数因素分析q0 q 1p0p1p1q0 p0q1 p0q1q1 p1q1 p0 q1 p1q1p1q0 p0q0 p0 q1 p0q 0p0q1 p1q0p0q1p0q0 p0q1 p1 q1 p0q1 q0 p0 q1 p1 p0总体现象的因素分析q1 p1q pq1 p110q0 p0q0 p0q1 p0q1 p1q0 p0q1 p0q0 p0q1 p1q1 p0a0 a1b0 b1c0c1a1b1c1a0b0 c0a1 b0c0a1 b1c0a 1 b 1 c 1a 1 b 0 c 0a 1 b 1 c 0a 1 b 1 c 1a 0 b 0 c 0a 0 b 0 c 0a 1 b 0 c 0a 1 b 1 c 0a 1 b 1 c 1a 0 b 0 c 0a 1 b 0 c 0a 0 b 0 c 0a 1 b 1 c 0a 1 b 0 c 0a 1 b 1 c 1a 1 b 1 c 0平均数变动的因素分析平均指标指数 :结构指标水平指标x fxf频率 (总体的结构 )编制平均指标指数:fxf变量值 (各组的水平 )结构影响指数：I结构f 1 x 0f 0 x0f 1f 0固定构成指数：I固定f 1 x 1f 1 x 0f 1f 1可变构成指数f1 x 1f 0 x0：I可变f 1f 0I可变I结构I固定f 1 x1f 1 x0f 1 x1f 1 x1f 0 x0f 1 x 0f 0 x 0f 1 x1f 1 x0f 1f 0f 1f 0f 1f 1x0f 0 x0x假f 1 x0f1 x1f 0f1x1f 1x 1x 假x 1x 0x 0x 假x 1 x 0x 假x 0x 1x 假1)两因素分析x1 f1f 1x1x0 f 0f 0x0x1 f1x0 f 0f 1f 0x 0f1 x 1 x 02.指数体系 :x0f0x0f1x0f1 x1x假f1x1f0f1x 1x 假x 1x 0x 0x 假x1 f1f1x 假x0 f0f 0x 0x1f1x0f 03.建立平均指标指数体系 :x1 x0x假 x0x1 x假第 10章时间数列时期时连每天资料持续天内续指标不变间间隔点相等间隔断不等序时平均数y1y 2yn1y iynnyy 1 f1y 2 f 2y n f nf 1f 2f n1 y0y 1y n 11 yny22ny0 y1y1y2f 2y n 1ynf ny2f122f1f 2f1相对数ac平均数bcab3.1 增长量和平均增长量增长量 =报告期水平基期水平逐期增长量ty ty t 1增长量sty ty 0累计增长量1. 累计增长量2.逐期增长量styt yn 1逐期增长量； tstst 1相邻两期累计增长量之差平均增长量 逐期增长量的序时平均数环比增长量累计增长量tsny ny0n环比增产量项数期 数nny ny0n累计法（总和法）计算平均增长量2 y1y 2ynn y0n n13.2 发展速度与增长速度1. 发展速度：发展速度报告期水平100%基期水平环比发展速度y ty t 1发展速度y t定基发展速度yyty1y2y t1定基发展速度环比发展速度0y0y0y1yt 12环比发展速度相邻定基发展速度的比y ty ty 0y ty t 1y 012. 增长速度：增长速度报告期增长量基期水平y ty t 1环比y t1增长速度yt y0定基y0增长速度发展速度1发展速度增长速度13. 增长 1% 的绝对值 ：增长 1%逐期增长量ytyt 1y t 1ytyt 1绝 对值环比增长速度100增长 1% 绝对值100100yt13.3 平均发展速度和平均增长速度平均增长速度 平均发展速度1（2）平均发展速度的计算方法：几何平均法n y1y2ynn ynby1yn 1y0y0nn环比发展速度定基发展速度高次方程法ny i2nn2ni 1y 0 b bby ibbb y 0i 1最小平方法（直线趋势）如果将原数列的中间项作为原点，使t = 0 ，则联立方程式可简化为下式季节变动的测定方法按月 (季)平均法第二步，计算各年所有月(季)的总平均数第三步，计算季节比率第四步，预测