高考文科数学 题型秘籍【27】数系的扩充与复数的引入解析版

专题二十七专题二十七 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 【高频考点解读】【高频考点解读】 1理解复数的基本概念 2.理解复数相等的充要条件 3.了解复数的代数表示形式及其几何意义 4.会进行复数代数形式的四则运算 5.了解复数的代数形式的加、减运算的几何意义 【热点题型】【热点题型】 题型一题型一 复数的有关概念复数的有关概念 例 1、(1)设 i 是虚数单位，若复数 a103i(aR)是纯虚数，则 a 的值为( ) A3 B1 C1 D3 (2)复数 z 满足(z3)(2i)5(i 为虚数单位)，则 z 的共轭复数 z 为( ) A2i B2i C5i D5i 【提分秘籍】【提分秘籍】 1处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理由于复数 zabi(a，bR)，由它的实部与虚部唯一确定，故复数 z 与点 Z(a，b)相对应 2z z zR. 3若 z0 且 z z 0，则 z 为纯虚数，利用这个性质可证明一个复数为纯虚数 【举一反三】【举一反三】 已知 a 是实数，ai1i是纯虚数，则 a 等于( ) A1 B1 C. 2 D 2 【热点题型】【热点题型】 题型二题型二 复数的代数运算复数的代数运算 例 2、(1)12i2( ) A112i B112i C112i D112i (2)设 i 是虚数单位， z 是复数 z 的共轭复数若 zz i22z，则 z( ) A1i B1i C1i D1i 【提分秘籍】【提分秘籍】 1复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把 i 的幂写成最简形式 2记住以下结论，可提高运算速度， (1)(1 i)2 2i；(2)1i1ii；(3)1i1ii； (4)abiibai. 【举一反三】【举一反三】 复数1232i3(i 为虚数单位)的值是( ) A1 B1 Ci Di 【热点题型】【热点题型】 题型三题型三 复数的几何表示复数的几何表示 例 3、(1)如图，在复平面内，点 A 表示复数 z，则图中表示 z 的共轭复数的点是( ) AA BB CC DD (2)(高考北京卷)在复平面内，复数(2i)2对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【提分秘籍】【提分秘籍】 复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题 【举一反三】【举一反三】 已知复数 z2i1i则 z 在复平面内对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【热点题型】【热点题型】 题型四题型四 数形结合思想在复数中的应用数形结合思想在复数中的应用 例 4、设复数 z1，z2满足|z1|z2|2，|z1z2|2 3，则|z1z2|_. 【提分秘籍】【提分秘籍】 1. 在复数中实际上有关系式|z1z2|2|z1z2|22(|z1|2|z2|2)，这个关系式和平面向量中的关系式|ab|2|ab|22(|a|2|b|2)的意义是完全一致的，其几何意义就是平面四边形两条对角线长度的平方和等于四个边的长度的平方和 2.复数 z1z2是以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形的对角线OZ所对应的复数；复数 z1z2是连接向量OZ1，OZ2的终点，并指向被减数的向量Z2Z1所对应的复数 【举一反三】【举一反三】 已知复数 zxyi，且|z2| 3，则yx的最大值为_ 【高考风向标】【高考风向标】 1 （20 xx安徽卷）设 i 是虚数单位，复数 i32i1i( ) Ai Bi C1 D1 【答案】D 【解析】 i32i1ii2i（1i）21. 2 （20 xx北京卷）若(xi)i12i(xR)，则 x_ 【答案】2 【解析】 (xi)i1xi12i，x2. 3 （20 xx福建卷）复数(32i)i 等于( ) A23i B23i C23i D23i 4 （20 xx广东卷）已知复数 z 满足(34i)z25，则 z( ) A34i B34i C34i D34i 【答案】D 【解析】 (34i)z25，z2534i25（34i）（34i）（34i）34i. 5 （20 xx湖北卷）i 为虚数单位，1i1i2( ) A1 B1 Ci Di 6 （20 xx湖南卷）复数3ii2(i 为虚数单位)的实部等于_ 113 【解析】 因为3ii23i13i，所以实部为3. 7 （20 xx江苏卷）已知复数 z(52i)2(i 为虚数单位)，则 z 的实部为_ 8 （20 xx江西卷）若复数 z 满足 z(1i)2i(i 为虚数单位)，则|z|( ) A1 B2 C. 2 D. 3 9 （20 xx辽宁卷）设复数 z 满足(z2i)(2i)5，则 z( ) A23i B23i C32i D32i 【答案】A 【解析】 由(z2i)(2i)5，得 z2i52i2i，故 z23i. 10 （20 xx新课标全国卷 13i1i( ) A12i B12i C12i D12i 11 （20 xx全国新课标卷 设 z11ii，则|z|( ) A.12 B.22 C.32 D2 【答案】B 【解析】 z11ii1i2i1212i，则|z|22. 12 （20 xx山东卷）已知 a，bR，i 是虚数单位，若 ai2bi，则(abi)2( ) A34i B34i C43i D43i 13 （20 xx陕西卷）已知复数 z2i，则 z z的值为( ) A5 B. 5 C3 D. 3 【答案】A 【解析】 z2i， z2i，z z(2i)(2i)415. 14 （20 xx四川卷）复数22i1i_ 15 （20 xx天津卷）i 是虚数单位，复数7i34i( ) A1i B1i C.17253125i D177257i 【答案】A 【解析】 7i34i（7i）（34i）（34i）（34i）2525i32421i. 16 （20 xx浙江卷）已知 i 是虚数单位，计算1i（1i）2_ 17 （20 xx 安徽卷）设 i 是虚数单位，若复数 a103i(aR)是纯虚数，则 a 的值为( ) A3 B1 C1 D3 18 （20 xx 北京卷）在复平面内，复数 i(2i)对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】A 【解析】 i(2i)2i1，i(2i)对应的点为(1，2)，因此在第一象限 19 （20 xx 福建卷）复数 z12i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】C 【解析】 z12i 对应的点为 P(1，2)，故选 C. 20 （20 xx 广东卷）若 i(xyi)34i，x，yR，则复数 xyi 的模是( ) A2 B3 C4 D5 21 （20 xx 湖北卷）i 为虚数单位，设复数 z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z123i，则 z2_ 【答案】23i 【解析】 由 z2与 z1对应的点关于原点对称知：z223i. 【随堂巩固】【随堂巩固】 1设复数 z1i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为 z ，则|(1z)z |( ) A. 10 B2 C. 2 D1 2若复数 zm(m1)(m1)i 是纯虚数，其中 m 是实数，则1z( ) Ai Bi C2i D2i 3已知 i 为虚数单位，则复数32i2i( ) A.4575i B4575i C.4575i D4575i 4复数 z1i，则1zz 对应的点所在的象限为( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 5已知复数 z1ai(aR，i 是虚数单位)，zz3545i，则 a( ) A2 B2 C 2 D12 6已知复数 z1i， z 为 z 的共轭复数，则下列结论正确的是( ) A. z 1i B. z 1i C| z |2 D| z | 2 7若 i 为虚数单位，则复数 z5i(34i)在复平面内对应的点所在的象限为( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 8复数13ii3的共轭复数是( ) A3i B3i C3i D3i 9已知 i 是虚数单位，且复数 z13bi，z212i，若z1z2是实数，则实数 b 的值为( ) A6 B6 C0 D.16 10复数i在复平面内对应的点到原点的距离为_ 11i 为虚数单位，1i1i31i51i7_. 12已知复数 x26x5(x2)i 在复平面内对应的点在第三象限，则实数 x 的取值范围是_ 13实数 m 分别取什么数值时，复数 z(m25m6)(m22m15)i (1)与复数 212i 相等； (2)与复数 1216i 互为共轭复数； (3)对应的点在 x 轴上方 14已知复数 z1满足(z12)(1i)1i(i 为虚数单位)，复数 z2的虚部为 2，且 z1 z2是实数，求 z2 . 15复数 z13a5(10a2)i，z221a(2a5)i，若 z1z2是实数，求实数 a 的值