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精品资料第十五节用导数解决生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题来源: 知识梳理优化问题：社会经济生活、生产实践与科学研究等实际问题中有关求利润_、用料_、效率_等问题通常称为_问题利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：(1)分析实际问题中各个量之间的关系，建立实际问题的_，写出实际问题中_，根据实际问题确定定义域；来源:(2)求函数yf(x)的_，解方程_，得出定义域内的实根，确定_；(3)比较函数在_和_的函数值的大小，获得所求函数的最大(小)值；(4)还原到实际问题中作答 基础自测1以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为()A10B15C25D50答案：C2某产品的销售收入y1 (万元)是产品x(千台)的函数，y117x2，生产总成本y2(万元)也是x的函数，y22x3x2(x0)，为使利润最大，应生产()A9千台 B8千台C6千台 D3千台解析：f(x)y1y22x318x2，f(x)6x236x0，x6，故选C.答案：C3一个物体的运动方程为s1tt2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是()A7米/秒 B6米/秒C5米/秒 D8米/秒解析：由导数的物理意义知，位移的导数是瞬时速度，由s1tt2求导得vs12t，当t3时，v5.故选C.来源:答案：C 4.当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的底面半径_时，才能使饮料罐的体积最大.解析：设圆柱形金属饮料罐的底面半径为R，高为h.S2Rh2R2 h来源:数理化网 V(R)R2(S2R2)RSRR3 V(R)S3R2，令V(R)0，R .因V(R)只有一个极值点，故它就是最大值点答案： 1放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系M(t)M02，其中M0为t0时铯137的含量已知t30时，铯137的含量的变化率是10ln 2(单位：太贝克/年)，则M(60)()A5太贝克B75ln 2太贝克C150ln 2太贝克 D150太贝克解析：因为M(t)ln 2×M02，则M(30)ln 2×M0210ln 2，解得M0600，所以M(t)600×2，那么M(60)600×2600×150(太贝克)故选D.答案：D2某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大来源:解析：(1)因为x5时，y11，所以1011a2.(2)由(1)知该商品每日的销售量y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)(x3)10(x6)2210(x3)(x6)2,3x6.f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)，3<x<6，令f(x)0，得x4.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况见下表：x来源:(3,4)来源:4(4,6)f(x)0f(x)极大值42由上表可得，x4是f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以当x4时，函数f(x)取得最大值f(4)42.答案：见解析1某工厂从2005年开始，近8年以来生产某种产品的情况是：前4年年产量的增长速度越来越慢，后4年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的产量与时间的函数图象可能是()解析：观察知，选项B中，0<t<4时，图中曲线的切线斜率越来越小，表明增长速度越来越慢；4<t<8时，是一条线段，斜率为定值，表明增长速度不变故选B.答案：B来源:2一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知当速度为10 km/h时燃料费是6元/h，而其他与速度无关的费用是96元/h，问轮船以何种速度航行时，能使行使路程的费用总和最小？解析：设船的行使速度为x km/h(x0)时，燃料费用为Q元/h，则Qkx3，则6k·103，k，从而Qx3，设总费用为y元，行驶路程为a，则y·a，ya，令y0得x20，且x(0,20)时，y0；当x(20，)时，y0，来源:所以当x20时，y最小答案：见解析来源:
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