第一章质点运动学课后习题解答

第一章质点运动学1-1.质点的曲线运动中，下列各式表示什么物理量?dr ； Idr I ； ds ； dr ； ； ； ；dt |dt| dt dtdr d2rdtdv ； dvdt dt解:1-2.设质点的运动方程为X=x(t); y = y(t)。在计算质点的瞬时速度和瞬时加速度时，有Idr人先求出 S，然后再根据八恳和a =吐求解。也有人用分量式求解，即dtvW"和 a(dt问哪种方法正确?解：第二种方法正确231-3 .已知质点沿x轴作直线运动，其运动方程为x = 2 6t - 2t ,式中x的单位为m,t的单位为s .求：(1) 质点在运动开始后4.0 s内的位移的大小；(2) 质点在该时间内所通过的路程；(3) t = 4 s时质点的速度和加速度.A x2 Tt A x 二厂也 £ f1' x/m-30Q210解：(1)质点在4.0 s内位移的大小Ax = x4 - 冷-32 m丄dx 小(2)由0dt得知质点的换向时刻为tp = 2s （ t = 0不合题意）x2 =x4 -x2 = -40 m所以，质点在4.0 s时间间隔内的路程为(3) t = 4.0 s 时sJdxv =dt t ¥.osdxdt2 tj.os=-36 m.s"21-4. 质点的运动方程为x = 10t 30t2y = 15t -20t2式中x, y的单位为m,t的单位为s.试求：（1）初速度的大小和方向;加速度的大小和方向.解（1）速度的分量式为当 t = 0 时，v 0x = -10 m -1V0vx哼一10 60tvydy =15-40tdtv 0y = 15 m s -1 ,则初速度大小为2iv0y18.0 m s设V0与x轴的夹角为a ,则tan a V0y（2）加速度的分量式为a =123° 41'dvxdtdvyay40 mdt-2sxx则加速度的大小为 2 2_2a = axay72.1 m sx设a与x轴的夹角为3 ,则3 = -33° 41'(或326° 19')1-5.一质点的运动学方程为2 2x=t ,y = t-1(S1)。试求：(1)质点的轨迹方程：在t =2 s时，质点的速度和加速度。解(1)由质点的运动方程x =t2(1)y =(t 1 )(2)消去参数t，可得质点的轨迹方程.y 二 x -1(2)由(1)、(2)对时间t求一阶导数和二阶导数可得任一时刻质点的速度和加速度dxdyVx2tVy21 -1dtdt所以v 二 Vx i Vy j= 2ti 2t -1 j(3)d2xd2yax 2ay22dtdt所以a =2 i 2 j(4)把t=2s代入式(3)、(4)，可得该时刻质点的速度和加速度。v = 4 i 2 ja = 2 i 2 j1-6.已知运动函数为r = Rcos tP Rsint? (R, 3为常量)，求质点的速度、加速度、切向加速度和法向加速度。亠-I 亠解：速度：v = 一 r - - R - sin t? R cos t?dt速度大小：v = R a.a.加速度：a v - -Rsin；：；ti?-R , cos t?dt加速度大小：a =R 2切向加速度：a = Qv=O ；法向加速度：a* = Ja2 _ a： = Rt:>2” dt'1-7.质点沿半径为1m的圆周运动,运动方程为日=2+3t (SI).求：t = 2s时,质点的切向加速度和法向加速度 . 当加速度的方向和半径成 45°角时，角位移是多少?解：质点运动的角速度和角加速度分别为:dr 29t2 dtd -18t dt切向加速度:法向加速度:a = dV =： = 1 18t = 18t dt2224a* 二 r 1 (9t )81t当t =2s时a =18t=18 2 = 36m/ s2a81t=81 24 =1296m/s2加速度的方向和半径成 45°时，即a = an481t =18t此时角位移33八 2 3t =2 3 t =2.67rad1-8.飞轮半径为0.4 m，自静止启动，其角加速度为3 =0.2 rad S，求t = 2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度.解：当 t =2s 时，用二 =0.22 =0.4ads则 v = R =0.4 0.4 =0.16 m san =R 2 =0.4(0.4)0.064 m 孑a 二 r1： =0.4 0.2 =0.08 m sa pa； a2 二.(0.064)2(0.08)0.102 m s'1-9.飞机以100 m -s -1的速度沿水平直线飞行,在离地面高为100 m时，驾驶员要把物品空投到前方某一地面目标处，问：（1）此时目标在飞机正下方位置的前面多远？（2）投放物品时,驾驶员看目标的视线和水平线成何角度？（3）物品投出2.0 s后,它的法向加速度和切向加速度各为多少？2Tx、决!7/解：（1）取如图所示的坐标，物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为2x = vt, y = 1/2 gt飞机水平飞行速度 v= 100 m-s -1 ,飞机离地面的高度y= 100 m,由上述两式可得目标在飞机正下方前的距离2yx = v452 m飞g（2）视线和水平线的夹角为B 二 arctan y =12.5°x（3）在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为Vygta arcta narctan一Vxv取自然坐标，物品在抛出2s时，重力加速度的切向分量与法向分量分别为4 = gsin a gsin arcta门笑=1.88 m s''、 v 丿an =gcos。=gcos arctan虫：=9.62 m s'v1-10 一质点沿半径为 0.10m的圆周运动，其角位置(以弧度表示)可用公式表示:0= 2 + 4t3 求：(1) t = 2s时，它的法向加速度和切向加速度；(2) 当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，0为何值？(3) 在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？解：(1 )角速度为 3 = d 9/dt = 12t2 = 48(rad s、，法向加速度为an = r 3 = 230.4(m s-2);角加速度为3 =d 3/dt = 24t = 48(rad s-2),切向加速度为 at = r 3 4.8(m s-2) (2)总加速度为 a = (at2 + an2)1/2,当at = a/2 时，有4at2=at2+ an2,即卩an=at3 .由此得，2 二3，即(12t2)2 =24t-.,3,解得 t3 二 3/6 .所以 v - 2 4t3 =2(1、3/3)=3.154(rad).(3)当 at = an 时，可得 r 3= r 3, 即：24t = (12t2)2, 解得：t = (1/6)1/3 = 0.55(s).1-11. 一物体沿x轴运动，其加速度与位置的关系为a=2+6x。物体在x=0处的速度为10m s ,求物体的速度与位置的关系。解:dv dv dx dvdxdt dx dtvdv = adx对上式两边积分得vdv = adx =2 6x dx化简得v = . 6x2 4x c由题意知=6 024 0 c =10c Foo故物体的速度与位置的关系为v = 6x2 4x 1001-12. 一质点在平面内运动， 其加速度a = axi ay j，且ax , ay为常量。求v_t和rt的表达式；(2)证明质点的轨迹为一抛物线t=0时，r = r0, v =vo。解：由a二dV得dtv tv =adt两边积分得，二oadt因ax，ay为常量，所以a是常矢量，上式变为v_v°= at即v= v°atd r由 v = 得 d r =vdt = v0 at dtdtrt两边积分，并考虑到 v0和a是常矢量，r二o v0 at dt1即 r =r o votat2(2)为了证明过程简单起见，按下列方式选取坐标系，使一个坐标轴(如x轴)与a平行,并使质点在t=0时刻位于坐标原点。这样 x =Gt - axt22y pt(2)由前面推导过程知G =v0xG =v0y(3)V0xV0 yxc 22V0y联立(1)(3)式，消去参数t得2V0x2ax此即为轨道方程，它为一条抛物线。1-13.在重力和空气阻力的作用下，某物体下落的加速度为a=g-Bv, g为重力加速度，B为与物体的质量、形状及媒质有关的常数。设t=0时物体的初速度为零。(1)试求物体的速度随时间变化的关系式；(2)当加速度为零时的速度(称为收尾速度)值为多大？解：(1)由 a =dv/dt 得一也dtg Bv两边积分，得dVdt，g _Bv 即In(g -Bv) = -Bt In c由t=0时v=0得c=g所以，物体的速率随时间变化的关系为g 一 少、v (1 _e_ )B当a=0时有a=g-Bv=0由此得收尾速率v=g/B1-14 一物体悬挂于弹簧上沿竖直方向做谐振动，其加速度a =-ky， k为常数，y是离开平衡位置的坐标值。设y处物体的速度为 Vo，求速度v与y的函数关系。解：建立如图坐标，由dv a =dtdv dydvv -，dy dtdy所以，物体的速率随时间变化的关系为所以，物体的速率随时间变化的关系为J (yOrVO)又 a = -ky所以dv-ky =v -，dy分离变量vdv =-kydy，积分vv vdvy二,y (-ky)dyy0所以v22=v0 -k(y2 -y。2)。21-15火车在曲率半径 R =400m的圆弧轨道上行驶。已知火车的切向加速度 q =0.2m/ s2，求火车的瞬时速率为10m/s时的法向加速度和加速度。解：法向加速度2vKU1024002=0.25m/ s所以，物体的速率随时间变化的关系为所以，物体的速率随时间变化的关系为加速度大小 a 二.an2 at2 二 0.252 0.22 = 0.32m/s2= 51.36 arctan% 二 arctan025 at0.21-16 一物体做如附图所示的抛体运动，测得轨道上A点处，速度的大小为 V ,其方向与水平线的夹角为30，求点A的切向加速度和该处的曲率半径。解：a =_gsin30 =-0.5gan2、-V爲V2=g cos30 - g ,=一2an1-17 一火炮在原点处以仰角哥=30、初速v10 =100m/s发射一枚炮弹。另有一门位于x0 =60m处的火炮同时以初速 v20 =80m/s发射另一枚炮弹，其仰角 屯为何值时，能与第一枚炮弹在空中相碰？相碰时间和位置如何（忽略空气阻力的影响）？ 解：建立如图坐标，设经过时间t在x处两只时有：弹1：X =cost（1）y 二 VgSin t -2gt2（2）弹2：x =怡 v20 cos；2t（3）y =v20 sin- 丄 gt22（4）由（1）（2）（3）（4），解得：sin 1 =5广-38.6828或者v -141.32 t = 0.403sx 二 34.87 m炮弹相碰，分别讨论两炮弹的抛体运动，相遇，t = 2.48s，x 二 214.7m，y 二 93.86my=19.34m。（答案里少这种情况）