正余弦定理 的应用

正余弦定理考点分析及例题讲解考点回顾：1. 直角三角形中各元素间的关系：如图，在ABC中，C90，ABc，ACb，BCa。（1）三边之间的关系：a2b2c2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：AB90；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sinAcosB，cosAsinB，tanA。2. 2斜三角形中各元素间的关系：如图6-29，在ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。（1）三角形内角和：ABC。（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 。（R为外接圆半径）3. 正弦定理：2R的常见变形：(1) sin Asin Bsin Cabc；(2) 2R；(3) a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(4) sin A，sin B，sin C.4. 三角形面积公式：Sabsin Cbcsin Acasin B.5. 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 余弦定理的公式： 或.6. （1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两边和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.7. 判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.8. 解题中利用中，以及由此推得的一些基本关系式实行三角变换的运算， 如： .9. 解三角形的问题一般可分为下面两种情形： 若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形 解斜三角形的主要依据是：设ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C。（1）角与角关系：A+B+C = ；（2）边与边关系：a + b c，b + c a，c + a b，ab c，bc b；（3）边与角关系：典例解析题型1：正弦定理例1、在ABC中，已知BC12，A60，B45，则AC 例2在ABC中，sinAsinC，则ABC是( )A直角三角形B等腰三角形 C锐角三角形D钝角三角形题型2：余弦定理例1、在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A，a，b1，则c等于( ) A1B2 C.1D.解析 由余弦定理得cosA， c22c，c2或c1(舍)巩固练习：1、在ABC中，(1)若a2b2c20，则C_；(2)若c2a2b2ab，则C_；(3)若c2a2b2ab，则C_.(4)在ABC中，已知a1，b2，C60，则c等于( ) A. B3 C. D52、在ABC中，若b2a2c2ac，则B等于()A60 B45或135 C120 D30题型3：正弦、余弦定理求角度例1、(2013湖南文5)在锐角ABC中,角A、B所对的边长分别为a,b.若2asinB=b,则角A等于( ).1. 3、在ABC中，已知b3，c3，A30，则角C等于()A30 B120 C60 D1502. 4、在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos 2C.(1)求sin C的值；(2)当a2,2sin Asin C时，求b及c的长 2解(1)cos 2C12sin2C，0C，sin C.(2)当a2,2sin Asin C时，由正弦定理，得c4.由cos 2C2cos2C1及0C0)，解得b或2，或题型2：三角形面积例1、在ABC中，a10，b8，C30，则ABC的面积S .例2、在ABC中，A60，b1，SABC，则ABC外接圆的面积是_例3、在ABC中，若A120，AB5，BC7，求ABC的面积题型3：正、余弦定理判断三角形形状2、 判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状例1、在ABC中，已知a2tanBb2tanA，试判断ABC的形状例2、在中，已知，那么一定是（ ）A 直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形1、在ABC中，acos Abcos Bccos C，试判断三角形的形状解由余弦定理知cos A，cos B，cos C，代入已知条件得abc0，通分得a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)c2(c2a2b2)0，展开整理得(a2b2)2c4.a2b2c2，即a2b2c2或b2a2c2.根据勾股定理知ABC是直角三角形2、在ABC中，sin2 (a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则ABC的形状为()A正三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰三角形答案B解析sin2，cos Aa2b2c2，符合勾股定理故ABC为直角三角形3、已知a、b、c为ABC的三边长，若满足(abc)(abc)ab，则C的大小为()A60 B90 C120 D150解析(abc)(abc)ab，a2b2c2ab，即，cos C，C120.5、在ABC中，若2cos Bsin Asin C，则ABC的形状一定是 ()A等腰直角三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等边三角形解析2cos Bsin Asin Csin(AB)，sin Acos Bcos Asin B0，即sin(AB)0，AB.6、在ABC中，已知sin Asin Bsin C357，则这个三角形的最小外角为 ()A30 B60 C90 D120解析abcsin Asin Bsin C357，不妨设a3，b5，c7，C为最大内角，则cos C.C120.最小外角为60.7、ABC的三边分别为a，b，c且满足b2ac,2bac，则此三角形是()A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形8、在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C120，ca，则()Aab Ba0，a2b2，ab.9、如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是()A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D由增加的长度确定解析：设直角三角形三边长为a，b，c，且a2b2c2，则(ax)2(bx)2(cx)2a2b22x22(ab)xc22cxx22(abc)xx20，cx所对的最大角变为锐角10、在ABC中，sin Asin B，则ABC是()A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形11、在ABC中，若，则ABC是()A直角三角形 B等边三角形 C钝角三角形 D等腰直角三角形答案B解析由正弦定理知：，tan Atan Btan C，ABC.12、在ABC中，sin A，a10，则边长c的取值范围是()A. B(10，) C(0,10) D.解析，csin C.0b，得AB，B30，故C90，由勾股定理得c2.18、在单位圆上有三点A，B，C，设ABC三边长分别为a，b，c，则_.19、在ABC中，A60，a6，b12，SABC18，则_，c_.解析12.SABCabsin C612sin C18，sin C，12，c6.20、在ABC中，求证：.证明因为在ABC中，2R，所以左边右边所以等式成立，即.22、在ABC中，B60，最大边与最小边之比为(1)2，则最大角为()A45 B60 C75 D90解析设C为最大角，则A为最小角，则AC120， ， tan A1，A45，C75.23、在ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a2，C，cos ， 求ABC的面积S.解cos B2cos2 1，故B为锐角，sin B.所以sin Asin(BC)sin.由正弦定理得c，所以SABCacsin B2.