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课时作业50圆的方程一、选择题1圆(x2)2y25关于原点(0,0)对称的圆的方程为()Ax2(y2)25 B(x2)2y25Cx2(y2)25 D(x1)2y25解析：因为所求圆的圆心与圆(x2)2y25的圆心(2,0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆的圆心为(2,0)，半径为，故所求圆的方程为(x2)2y25.答案：B2设圆的方程是x2y22ax2y(a1)20，若0<a<1，则原点与圆的位置关系是()A原点在圆上 B原点在圆外C原点在圆内 D不确定解析：将圆的一般方程化成标准方程为(xa)2(y1)22a，因为0<a<1，所以(0a)2(01)22a(a1)2>0，即>，所以原点在圆外答案：B3点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是()A(x2)2(y1)21B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24D(x2)2(y1)21解析：设圆上任一点坐标为(x0，y0)，xy4，连线中点坐标为(x，y)，则代入xy4中得(x2)2(y1)21.答案：A4若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A(x2)2(y1)21B(x2)2(y1)21C(x2)2(y1)21D(x3)2(y1)21解析：由于圆心在第一象限且与x轴相切，故设圆心为(a,1)(a>0)，又由圆与直线4x3y0相切可得1，解得a2，故圆的标准方程为(x2)2(y1)21.答案：A5已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l1：x2的右侧，若圆M截直线l1所得的弦长为2，且与直线l2：2xy40相切，则圆M的方程为()A(x1)2y24 B(x1)2y24Cx2(y1)24 Dx2(y1)24解析：由已知，可设圆M的圆心坐标为(a,0)，a>2，半径为r，得解得满足条件的一组解为所以圆M的方程为(x1)2y24.答案：B6圆心在曲线y(x>0)上，且与直线2xy10相切的面积最小的圆的方程为()A(x1)2(y2)25B(x2)2(y1)25C(x1)2(y2)225D(x2)2(y1)225解析：由圆心在曲线y(x>0)上，设圆心坐标为，a>0.又圆与直线2xy10相切，所以圆心到直线的距离d，当且仅当2a，即a1时取等号，所以圆心坐标为(1,2)，圆的半径的最小值为，则所求圆的方程为(x1)2(y2)25.答案：A二、填空题7如果圆的方程为x2y2kx2yk20，那么当圆面积最大时，该圆的方程为_解析：将圆的方程配方，得2(y1)2k21，r21k21，rmax1，此时k0.故圆的方程为x2(y1)21.答案：x2(y1)218已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段，弧长比为12，则圆C的方程为_解析：由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心(0，a)，半径为r，则rsin1，rcos|a|，解得r，即r2，|a|，即a±，故圆C的方程为x22.答案：x229已知圆O：x2y21，直线x2y50上动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为A，则·的最小值为_解析：圆心O到直线x2y50的距离为，则|min.PA与圆O相切，PAOA，即·0，·()·2|2|2514.答案：4三、解答题10一圆经过A(4,2)，B(1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程解：设所求圆的方程为x2y2DxEyF0.令y0，得x2DxF0，所以x1x2D.令x0，得y2EyF0，所以y1y2E.由题意知DE2，即DE20.又因为圆过点A、B，所以1644D2EF0.19D3EF0.解组成的方程组得D2，E0，F12.故所求圆的方程为x2y22x120.11在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线yx的距离为，求圆P的方程解：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.则y22r2，x23r2.y22x23，即y2x21.P点的轨迹方程为y2x21.(2)设P的坐标为(x0，y0)，则，即|x0y0|1.y0x0±1，即y0x0±1.当y0x01时，由yx1得(x01)2x1.r23.圆P的方程为x2(y1)23.当y0x01时，由yx1得(x01)2x1，r23.圆P的方程为x2(y1)23.综上所述，圆P的方程为x2(y±1)23.1已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为()A150° B135°C120° D不存在解析：由y得x2y22(y0)，它表示以原点O为圆心，以为半径的圆的一部分，其图象如图所示设过点P(2,0)的直线为yk(x2)，则圆心到此直线的距离d，弦长|AB|22，所以SAOB××21，当且仅当(2k)222k2，即k2时等号成立由图可得k，故直线l的倾斜角为150°.答案：A2(20xx·邯郸模拟)若PAB是圆C：(x2)2(y2)24的内接三角形，且PAPB，APB120°，则线段AB的中点的轨迹方程为()A(x2)2(y2)21B(x2)2(y2)22C(x2)2(y2)23Dx2y21解析：设线段AB的中点为D，则由题意，PAPB，APB120°，所以ACB120°，因为CB2，所以CD1，所以线段AB的中点的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，所以线段AB的中点的轨迹方程是：(x2)2(y2)21.答案：A3(20xx·安徽合肥第一次质检)存在实数，使得圆面x2y24恰好覆盖函数ysin图象的最高点或最低点共三个，则正数k的取值范围是_解析：由题意，知函数ysin图象的最高点或最低点一定在直线y±1上，则由得x.又由题意，得T2k，T2<2T，解得正数k的取值范围为.答案：4已知圆C经过P(4，2)，Q(1,3)两点，且y轴被圆C截得的弦长为4，半径小于5.(1)求直线PQ与圆C的方程；(2)若直线lPQ，且l与圆C交于点A，B，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程解：(1)易得直线PQ的方程为xy20.设圆心C(a，b)，半径为r.由于线段PQ的垂直平分线的方程是yx，即yx1，且圆心C在该条直线上，所以ba1.又因为y轴被圆C所截得的弦长为4，所以r2(a1)2(b3)212a2.由得a1，b0或a5，b4.当a1，b0时，r213，满足题意；当a5，b4时，r237，不满足题意故圆C的方程为(x1)2y213.(2)设直线l的方程为yxm，A(x1，mx1)，B(x2，mx2)由题意可知OAOB，即·0，所以x1x2(mx1)(mx2)0，整理得m2m(x1x2)2x1x20.将yxm代入(x1)2y213，可得2x22(m1)xm2120，所以x1x21m，x1x2，4(m22m25)，所以m2m·(1m)m2120，解得m4或m3，经验证均满足>0，直线l的方程为yx4或yx3.
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