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课时巩固过关练(七)导数的综合应用一、选择题1设函数f(x)lnx，则()Ax为f(x)的极大值点Bx为f(x)的极小值点Cx2为f(x)的极大值点Dx2为f(x)的极小值点解析：f (x)，令f (x)0，则x2.当x<2时，f (x)<0；当x>2时，f (x)>0.即当x<2时，f(x)是单调递减的；当x>2时，f(x)是单调递增的所以x2是f(x)的极小值点，故选D.答案：D2设直线xt与函数f(x)x2，g(x)lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为()A1 B.C. D.解析：由题|MN|x2lnx(x>0)，不妨令h(x)x2lnx，则h(x)2x，令h(x)0，解得x，因为x时，h(x)<0，当x时，h(x)>0，所以当x时，|MN|达到最小，即t.答案：D3设函数f(x)sin.若存在f(x)的极值点x0满足xf(x0)2<m2，则m的取值范围是()A(，6)(6，)B(，4)(4，)C(，2)(2，)D(，1)(1，)解析：由题意知f(x)的极值为±，所以f(x0)23，因为f (x0)·cos0，所以k，kZ，所以k，kZ，即，所以|x0|，即xf(x0)23，而已知xf(x0)2<m2，所以m2>3，故>3，解得m>2或m<2，故选C.答案：C4(2015·福建高考)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)1，其导函数f (x)满足f (x)>k>1，则下列结论中一定错误的是()Af< Bf>Cf< Df>解析：f (x)li ，f (x)>k>1，>k>1，即>k>1，当x时，f 1>×k，即f>1，则f>，所以f<一定错误故选C.答案：C5(2016·吉林四模)设函数f(x)在R上存在导数f(x)，对任意的xR，有f(x)f(x)x2，且x(0，)时，f(x)>x.若f(2a)f(a)22a，则实数a的取值范围为()A1，) B(，1C(，2 D2，)解析：f(x)f(x)x2，f(x)x2f(x)x20，令g(x)f(x)x2，g(x)g(x)f(x)x2f(x)x20，函数g(x)为奇函数x(0，)时，f(x)>x.x(0，)时，g(x)f(x)x>0，故函数g(x)在(0，)上是增函数，故函数g(x)在(，0)上也是增函数，由f(0)0，可得g(x)在R上是增函数f(2a)f(a)22a，等价于f(2a)f(a)，即g(2a)g(a)，2aa，解得a1，故选B.答案：B6(2016·贵州模拟)若函数f(x)lnx(a>0，b>0)的图象在x1处的切线与圆x2y21相切，则ab的最大值是()A4 B2C2 D.解析：f(x)lnx的导数为f (x)·，令x1，则f (1)，又f(1)，则切线方程为y(x1)，即axby10，切线与圆x2y21相切，1，a2b21.又a>0，b>0，a2b22ab,2(a2b2)(ab)2，ab.ab的最大值为，故选D.答案：D7(2015·全国卷)设函数f(x)ex(2x1)axa，其中a<1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)<0，则a的取值范围是()A. B.C. D.解析：设g(x)ex(2x1)，yaxa，由题知存在唯一的整数x0，使得g(x0)在直线yaxa的下方因为g(x)ex(2x1)，所以当x<时，g(x)<0，当x>时，g(x)>0，所以当x时，(g(x)min2e，当x0时，g(0)1，当x1时，g(1)e>0，直线yaxa恒过(1,0)，斜率为a，故a>g(0)1，且g(1)3e1aa，解得a<1，故选D.答案：D二、填空题8(2015·安徽高考)设x3axb0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是_(写出所有正确条件的序号)a3，b3；a3，b2；a3，b>2；a0，b2；a1，b2.解析：令f(x)x3axb，求导得f (x)3x2a，当a0时，f (x)0，所以f(x)单调递增，且至少存在一个数使f(x)<0，至少存在一个数使f(x)>0，所以f(x)x3axb必有一个零点，即方程x3axb0仅有一根，故正确；当a<0时，若a3，则f (x)3x233(x1)·(x1)，易知，f(x)在(，1)，(1，)上单调递增，在1,1上单调递减，所以f(x)极大值f(1)13bb2，f(x)最小值f(1)13bb2，要使方程仅有一根，则f(x)极大值f(1)13bb2<0或者f(x)极小值f(1)13bb2>0，解得b<2或b>2，故正确，所以使得三次方程仅有一个实根的是.答案：三、解答题9(2015·北京高考)已知函数f(x)ln.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求证：当x(0,1)时，f(x)>2；(3)设实数k使得f(x)>k对x(0,1)恒成立，求k的最大值解：(1)f(x)ln，x(1,1)，f (x)，f (0)2，f(0)0，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为2xy0.(2)当x(0,1)时，f(x)>2，即不等式f(x)2>0，对x(0,1)成立，设F(x)ln2ln(1x)ln(1x)2，则F(x)，当x(0,1)时，F(x)>0，故F(x)在(0,1)上为增函数，则F(x)>F(0)0，对x(0,1)，f(x)>2成立(3)要使f(x)>k成立，x(0,1)，等价于G(x)lnk>0，x(0,1)，G(x)k(1x2)，当k0,2时，G(x)0，函数G(x)在(0,1)上为增函数，G(x)>G(0)0，符合题意；当k>2时，令G(x)0，x(0,1)，G(x0)<G(0)0，显然所要证不等式不恒成立，综上所述可知k的最大值为2.10(2015·福建高考)已知函数f(x)ln(1x)，g(x)kx，(kR)(1)证明：当x>0时，f(x)<x；(2)证明：当k<1时，存在x0>0，使得对任意x(0，x0)，恒有f(x)>g(x)；(3)确定k的所有可能取值，使得存在t>0，对任意的x(0，t)，恒有|f(x)g(x)|<x2.解：解法一：(1)令F(x)f(x)xln(1x)x，x(0，)，则F(x)1，当x(0，)，F(x)<0，所以F(x)在(0，)上单调递减；故当x>0时，F(x)<F(0)0，即当x>0时，f(x)<x.(2)令G(x)f(x)g(x)ln(1x)kx，x(0，)，则有G(x)k，k0时，显然成立，当k<0时，G(x)>0，所以G(x)在(0，)上单调递增，G(x)>G(0)0.故对任意正实数x0均满足题意当0<k<1时，令G(x)0，得x1>0.取x01，对任意x(0，x0)，恒有G(x)>0，所以G(x)在(0，x0)上单调递增，G(x)>G(0)0，即f(x)>g(x)综上，当k1时，总存在x0>0，使得对任意的x(0，x0)，恒有f(x)>g(x)(3)当k>1时，由(1)知，对于x(0，)，g(x)>x>f(x)，故g(x)>f(x)，|f(x)g(x)|g(x)f(x)kxln(1x)，令M(x)kxln(1x)x2，则有M(x)k2x，故当x时，M(x)>0，M(x)在上单调递增，故M(x)>M(0)0，即|f(x)g(x)|>x2，所以满足题意的t不存在当k<1时，由(2)知存在x0>0，使得对任意的x(0，x0)恒有f(x)>g(x)此时|f(x)g(x)|f(x)g(x)ln(1x)kx，令N(x)ln(1x)kxx2，则有N(x)k2x，故当x时，N(x)>0，N(x)在上单调递增，故N(x)>N(0)0，即f(x)g(x)>x2，记x0与中较小的为x1，则当x(0，x1)，恒有|f(x)g(x)|>x2，故满足题意的t不存在当k1，由(1)知，x(0，)，|f(x)g(x)|g(x)f(x)xln(1x)，令H(x)xln(1x)x2，则有H(x)12x.当x>0时，H(x)<0，所以H(x)在0，)上单调递减，故H(x)<H(0)0，故当x>0时，恒有|f(x)g(x)|<x2，此时，任意实数t满足题意综上，k1.解法二：(1)(2)同解法一(3)当k>1时，由(1)知，对于x(0，)，g(x)>x>f(x)，故|f(x)g(x)|g(x)f(x)kxln(1x)>kxx(k1)x，令(k1)x>x2，解得0<x<k1，从而得到当k>1时，对于x(0，k1)恒有|f(x)g(x)|>x2，所以满足题意的t不存在当k<1时，取k1，从而k<k1<1.由(2)知存在x0>0，使得任意x(0，x0)，恒有f(x)>k1x>kxg(x)此时|f(x)g(x)|f(x)g(x)>(k1k)xx，令x>x2，解得0<x<，此时f(x)g(x)>x2，记x0与中较小的为x1，则当x(0，x1)时，恒有|f(x)g(x)|>x2，故满足题意的t不存在当k1，由(1)知，当x(0，)，|f(x)g(x)|g(x)f(x)xln(1x)，令M(x)xln(1x)x2，x0，)，则有M(x)12x，当x>0时，M(x)<0，所以M(x)在0，)上单调递减，故M(x)<M(0)0，故当x>0时，恒有|f(x)g(x)|<x2，此时，任意实数t满足题意综上，k1.11(2015·课标)设函数f(x)emxx2mx.(1)证明：f(x)在(，0)单调递减，在(0，)单调递增；(2)若对于任意x1，x21,1，都有|f(x1)f(x2)|e1，求m的取值范围解：(1)f (x)m(emx1)2x.若m0，则当x(，0)时，emx10，f (x)<0；当x(0，)时，emx10，f (x)>0.若m<0，则当x(，0)时，emx1>0，f (x)<0；当x(0，)时，emx1<0，f (x)>0.所以，f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增(2)由(1)知，对任意的m，f(x)在1，0单调递减，在0,1单调递增，故f(x)在x0处取得最小值所以对于任意x1，x21,1，|f(x1)f(x2)|e1的充要条件是即设函数g(t)ette1，则g(t)et1.当t<0时，g(t)<0；当t>0时，g(t)>0.故g(t)在(，0)单调递减，在(0，)单调递增又g(1)0，g(1)e12e<0，故当t1,1时，g(t)0.当m1,1时，g(m)0，g(m)0，即式成立；当m>1时，由g(t)的单调性知，g(m)>0，即emm>e1；当m<1时，g(m)>0，即emm>e1.综上，m的取值范围是1,1
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