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课时巩固过关练(七)导数的综合应用一、选择题1设函数f(x)lnx,则()Ax为f(x)的极大值点Bx为f(x)的极小值点Cx2为f(x)的极大值点Dx2为f(x)的极小值点解析:f (x),令f (x)0,则x2.当x<2时,f (x)<0;当x>2时,f (x)>0.即当x<2时,f(x)是单调递减的;当x>2时,f(x)是单调递增的所以x2是f(x)的极小值点,故选D.答案:D2设直线xt与函数f(x)x2,g(x)lnx的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为()A1 B.C. D.解析:由题|MN|x2lnx(x>0),不妨令h(x)x2lnx,则h(x)2x,令h(x)0,解得x,因为x时,h(x)<0,当x时,h(x)>0,所以当x时,|MN|达到最小,即t.答案:D3设函数f(x)sin.若存在f(x)的极值点x0满足xf(x0)2<m2,则m的取值范围是()A(,6)(6,)B(,4)(4,)C(,2)(2,)D(,1)(1,)解析:由题意知f(x)的极值为±,所以f(x0)23,因为f (x0)·cos0,所以k,kZ,所以k,kZ,即,所以|x0|,即xf(x0)23,而已知xf(x0)2<m2,所以m2>3,故>3,解得m>2或m<2,故选C.答案:C4(2015·福建高考)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)1,其导函数f (x)满足f (x)>k>1,则下列结论中一定错误的是()Af< Bf>Cf< Df>解析:f (x)li ,f (x)>k>1,>k>1,即>k>1,当x时,f 1>×k,即f>1,则f>,所以f<一定错误故选C.答案:C5(2016·吉林四模)设函数f(x)在R上存在导数f(x),对任意的xR,有f(x)f(x)x2,且x(0,)时,f(x)>x.若f(2a)f(a)22a,则实数a的取值范围为()A1,) B(,1C(,2 D2,)解析:f(x)f(x)x2,f(x)x2f(x)x20,令g(x)f(x)x2,g(x)g(x)f(x)x2f(x)x20,函数g(x)为奇函数x(0,)时,f(x)>x.x(0,)时,g(x)f(x)x>0,故函数g(x)在(0,)上是增函数,故函数g(x)在(,0)上也是增函数,由f(0)0,可得g(x)在R上是增函数f(2a)f(a)22a,等价于f(2a)f(a),即g(2a)g(a),2aa,解得a1,故选B.答案:B6(2016·贵州模拟)若函数f(x)lnx(a>0,b>0)的图象在x1处的切线与圆x2y21相切,则ab的最大值是()A4 B2C2 D.解析:f(x)lnx的导数为f (x)·,令x1,则f (1),又f(1),则切线方程为y(x1),即axby10,切线与圆x2y21相切,1,a2b21.又a>0,b>0,a2b22ab,2(a2b2)(ab)2,ab.ab的最大值为,故选D.答案:D7(2015·全国卷)设函数f(x)ex(2x1)axa,其中a<1,若存在唯一的整数x0,使得f(x0)<0,则a的取值范围是()A. B.C. D.解析:设g(x)ex(2x1),yaxa,由题知存在唯一的整数x0,使得g(x0)在直线yaxa的下方因为g(x)ex(2x1),所以当x<时,g(x)<0,当x>时,g(x)>0,所以当x时,(g(x)min2e,当x0时,g(0)1,当x1时,g(1)e>0,直线yaxa恒过(1,0),斜率为a,故a>g(0)1,且g(1)3e1aa,解得a<1,故选D.答案:D二、填空题8(2015·安徽高考)设x3axb0,其中a,b均为实数,下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的是_(写出所有正确条件的序号)a3,b3;a3,b2;a3,b>2;a0,b2;a1,b2.解析:令f(x)x3axb,求导得f (x)3x2a,当a0时,f (x)0,所以f(x)单调递增,且至少存在一个数使f(x)<0,至少存在一个数使f(x)>0,所以f(x)x3axb必有一个零点,即方程x3axb0仅有一根,故正确;当a<0时,若a3,则f (x)3x233(x1)·(x1),易知,f(x)在(,1),(1,)上单调递增,在1,1上单调递减,所以f(x)极大值f(1)13bb2,f(x)最小值f(1)13bb2,要使方程仅有一根,则f(x)极大值f(1)13bb2<0或者f(x)极小值f(1)13bb2>0,解得b<2或b>2,故正确,所以使得三次方程仅有一个实根的是.答案:三、解答题9(2015·北京高考)已知函数f(x)ln.(1)求曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)求证:当x(0,1)时,f(x)>2;(3)设实数k使得f(x)>k对x(0,1)恒成立,求k的最大值解:(1)f(x)ln,x(1,1),f (x),f (0)2,f(0)0,曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程为2xy0.(2)当x(0,1)时,f(x)>2,即不等式f(x)2>0,对x(0,1)成立,设F(x)ln2ln(1x)ln(1x)2,则F(x),当x(0,1)时,F(x)>0,故F(x)在(0,1)上为增函数,则F(x)>F(0)0,对x(0,1),f(x)>2成立(3)要使f(x)>k成立,x(0,1),等价于G(x)lnk>0,x(0,1),G(x)k(1x2),当k0,2时,G(x)0,函数G(x)在(0,1)上为增函数,G(x)>G(0)0,符合题意;当k>2时,令G(x)0,x(0,1),G(x0)<G(0)0,显然所要证不等式不恒成立,综上所述可知k的最大值为2.10(2015·福建高考)已知函数f(x)ln(1x),g(x)kx,(kR)(1)证明:当x>0时,f(x)<x;(2)证明:当k<1时,存在x0>0,使得对任意x(0,x0),恒有f(x)>g(x);(3)确定k的所有可能取值,使得存在t>0,对任意的x(0,t),恒有|f(x)g(x)|<x2.解:解法一:(1)令F(x)f(x)xln(1x)x,x(0,),则F(x)1,当x(0,),F(x)<0,所以F(x)在(0,)上单调递减;故当x>0时,F(x)<F(0)0,即当x>0时,f(x)<x.(2)令G(x)f(x)g(x)ln(1x)kx,x(0,),则有G(x)k,k0时,显然成立,当k<0时,G(x)>0,所以G(x)在(0,)上单调递增,G(x)>G(0)0.故对任意正实数x0均满足题意当0<k<1时,令G(x)0,得x1>0.取x01,对任意x(0,x0),恒有G(x)>0,所以G(x)在(0,x0)上单调递增,G(x)>G(0)0,即f(x)>g(x)综上,当k1时,总存在x0>0,使得对任意的x(0,x0),恒有f(x)>g(x)(3)当k>1时,由(1)知,对于x(0,),g(x)>x>f(x),故g(x)>f(x),|f(x)g(x)|g(x)f(x)kxln(1x),令M(x)kxln(1x)x2,则有M(x)k2x,故当x时,M(x)>0,M(x)在上单调递增,故M(x)>M(0)0,即|f(x)g(x)|>x2,所以满足题意的t不存在当k<1时,由(2)知存在x0>0,使得对任意的x(0,x0)恒有f(x)>g(x)此时|f(x)g(x)|f(x)g(x)ln(1x)kx,令N(x)ln(1x)kxx2,则有N(x)k2x,故当x时,N(x)>0,N(x)在上单调递增,故N(x)>N(0)0,即f(x)g(x)>x2,记x0与中较小的为x1,则当x(0,x1),恒有|f(x)g(x)|>x2,故满足题意的t不存在当k1,由(1)知,x(0,),|f(x)g(x)|g(x)f(x)xln(1x),令H(x)xln(1x)x2,则有H(x)12x.当x>0时,H(x)<0,所以H(x)在0,)上单调递减,故H(x)<H(0)0,故当x>0时,恒有|f(x)g(x)|<x2,此时,任意实数t满足题意综上,k1.解法二:(1)(2)同解法一(3)当k>1时,由(1)知,对于x(0,),g(x)>x>f(x),故|f(x)g(x)|g(x)f(x)kxln(1x)>kxx(k1)x,令(k1)x>x2,解得0<x<k1,从而得到当k>1时,对于x(0,k1)恒有|f(x)g(x)|>x2,所以满足题意的t不存在当k<1时,取k1,从而k<k1<1.由(2)知存在x0>0,使得任意x(0,x0),恒有f(x)>k1x>kxg(x)此时|f(x)g(x)|f(x)g(x)>(k1k)xx,令x>x2,解得0<x<,此时f(x)g(x)>x2,记x0与中较小的为x1,则当x(0,x1)时,恒有|f(x)g(x)|>x2,故满足题意的t不存在当k1,由(1)知,当x(0,),|f(x)g(x)|g(x)f(x)xln(1x),令M(x)xln(1x)x2,x0,),则有M(x)12x,当x>0时,M(x)<0,所以M(x)在0,)上单调递减,故M(x)<M(0)0,故当x>0时,恒有|f(x)g(x)|<x2,此时,任意实数t满足题意综上,k1.11(2015·课标)设函数f(x)emxx2mx.(1)证明:f(x)在(,0)单调递减,在(0,)单调递增;(2)若对于任意x1,x21,1,都有|f(x1)f(x2)|e1,求m的取值范围解:(1)f (x)m(emx1)2x.若m0,则当x(,0)时,emx10,f (x)<0;当x(0,)时,emx10,f (x)>0.若m<0,则当x(,0)时,emx1>0,f (x)<0;当x(0,)时,emx1<0,f (x)>0.所以,f(x)在(,0)上单调递减,在(0,)上单调递增(2)由(1)知,对任意的m,f(x)在1,0单调递减,在0,1单调递增,故f(x)在x0处取得最小值所以对于任意x1,x21,1,|f(x1)f(x2)|e1的充要条件是即设函数g(t)ette1,则g(t)et1.当t<0时,g(t)<0;当t>0时,g(t)>0.故g(t)在(,0)单调递减,在(0,)单调递增又g(1)0,g(1)e12e<0,故当t1,1时,g(t)0.当m1,1时,g(m)0,g(m)0,即式成立;当m>1时,由g(t)的单调性知,g(m)>0,即emm>e1;当m<1时,g(m)>0,即emm>e1.综上,m的取值范围是1,1
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