【走向高考】全国通用高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题6 三角变换、三角函数的图象与性质含解析

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【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题6 三角变换、三角函数的图象与性质一、选择题1(2015·河南八市质检)已知sincos ,则2sin cos()A B.C D.答案B解析2sin cos2sin sin 2sin,又由于sincos sin cos cos sin cos sin,又sincoscos12sin21,所以2sincos.方法点拨1.已知条件为角的终边过某点时,直接运用三角函数定义求解;已知条件为角的终边在某条直线上,在直线取一点后用定义求解;已知sin、cos、tan中的一个值求其他值时,直接运用同角关系公式求解,能用诱导公式化简的先化简2已知tan求sin与cos的齐次式的值时,将分子分母同除以cosn化“切”代入,所求式为整式时,视分母为1,用1sin2cos2代换3sincos,sincos,sincos知一求其他值时,利用关系(sin±cos)21±2coscos.要特别注意利用平方关系巧解题已知某三角函数式的值,求另一三角函数式的值时,关键是分析找出两三角函数式的联系恰当化简变形,再代入计算2(文)(2015·洛阳市期末)已知角的终边经过点A(,a),若点A在抛物线yx2的准线上,则sin ()A B.C D.答案D解析由已知得抛物线的准线方程为y1,故A(,1),所以sin.(理)(2015·山东理,3)要得到函数ysin的图象,只需将函数ysin 4x的图象()A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位答案B解析因为ysin(4x)sin4(x)所以要得到ysin4(x)的图象,只需将函数ysin 4x的图象向右平移个单位故选B.3函数f(x)Asin(x)(其中A>0,>0,|<)的图象如图所示,为了得到g(x)sin3x的图象,则只要将f(x)的图象()A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度答案B解析由题知,函数f(x)的周期T4(),所以,解得3,易知A1,所以f(x)sin(3x)又f(x)sin(3x)过点(,1),所以sin(3×)1,所以3×2k,kZ,所以2k,kZ,又|<,所以,所以f(x)sin(3x)sin3(x),所以将函数f(x)的图象向右平移个单位长度可以得到函数g(x)sin3x的图象,故选B.方法点拨1.已知正弦型(或余弦型)函数的图象求其解析式时,用待定系数法求解由图中的最大值或最小值确定A,再由周期确定,由图象上特殊点的坐标来确定,只有限定的取值范围,才能得出唯一解,否则的值不确定,解析式也就不唯一将点的坐标代入解析式时,要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为x002k(kZ),其他依次类推即可2解答有关平移伸缩变换的题目时,向左(或右)平移m个单位时,用xm(或xm)代替x,向下(或上)平移n个单位时,用yn(或yn)代替y,横(或纵)坐标伸长或缩短到原来的k倍,用代替x(或代替y),即可获解4(文)已知R,sin2cos,则tan2()A. B.CD答案C解析本题考查三角函数同角间的基本关系将sin2cos两边平方可得,sin24sincos4cos2,4sincos3cos2.将左边分子分母同除以cos2得,解得tan3或tan,tan2.(理)(2015·唐山市一模)已知2sin21cos2,则tan2()A B.C或0 D.或0答案D解析,或tan20或tan2.5(2015·安徽理,10)已知函数f(x)Asin(x)(A,均为正的常数)的最小正周期为,当x时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是()Af(2)f(2)f(0)Bf(0)f(2)f(2)Cf(2)f(0)f(2)Df(2)f(0)f(2)答案A解析考查三角函数的图象与应用及函数值的大小比较解法1:由题意, f(x)Asin(x)(A>0,>0,>0),T,所以2,则f(x)Asin(2x),而当x时,2×2k,kZ,解得2k,kZ,所以f(x)Asin(2x)(A>0),则当2x2n,nZ,即xn,时,nZ,f(x)取得最大值要比较f(2),f(2),f(0)的大小,只需判断2,2,0与最近的最高点处对称轴的距离大小,距离越大,值越小,易知0,2与比较近,2与比较近,所以,当k0时,x,此时|0|0.52,|2|1.47,当k1时,x,此时|2()|0.6,所以f(2)<f(2)<f(0),故选A.解法2:f(x)的最小正周期为,且在x时f(x)取最小值,在x时取到最大值f(2)f(2),f(x)在,上单调递减,f(2)>f(2),即f(2)>f(2),又2>0,f(x)图象的一条对称轴方程为x,f(2)<f(0),即f(2)<f(0),f(2)<f(2)<f(0)6(文)函数f(x)Asin(x)(A>0,>0,|<)的图象关于直线x对称,它的最小正周期为,则函数f(x)图象的一个对称中心是()A(,1)B(,0)C(,0)D(,0)答案B解析由题意知T,2,由函数图象关于直线x对称,得2×k(kZ),即k(kZ)又|<,f(x)Asin(2x),令2xk(kZ),则x(kZ)一个对称中心为(,0),故选B.(理)已知函数f(x)cosxsin2x,下列结论中错误的是()Af(x)既是偶函数又是周期函数Bf(x)最大值是1Cf(x)的图象关于点(,0)对称Df(x)的图象关于直线x对称答案B解析f(x)cos(x)sin2(x)cosxsin2xf(x),f(x)为偶函数f(x2)cos(x2)sin2(x2)cosxsin2x,2是f(x)一个周期,故A选项正确f(x)cosxsin2xcos3xcosx,令tcosx则t1,1,g(t)t3t,g(t)3t21令g(t)0,则t±,易知f(x)在区间1,)上单调递减,在(,)上单调递增,在(,1上单调递减,g(1)0,g(),g(t)max1,故B项错误7(文)给出下列四个命题:f(x)sin(2x)的对称轴为x,kZ;函数f(x)sinxcosx最大值为2;函数f(x)sinxcosx1的周期为2;函数f(x)sin(x)在,上是增函数其中正确命题的个数是()A1B2C3D4答案B解析由2xk,kZ,得x(kZ),即f(x)sin(2x)的对称轴为x,kZ,正确;由f(x)sinxcosx2sin(x)知,函数的最大值为2,正确;f(x)sinxcosx1sin2x1,函数的周期为,故错误;函数f(x)sin(x)的图象是由f(x)sinx的图象向左平移个单位得到的,故错误(理)若f(x)2sin(x)m,对任意实数t都有f(t)f(t),且f()3,则实数m的值等于()A1B±5C5或1D5或1答案C解析依题意得,函数f(x)的图象关于直线x对称,于是x时,函数f(x)取得最值,因此有±2m3,m5或m1,选C.8(文)在ABC中,若tanAtanBtanAtanB1,则cosC的值是()A B.C.D答案B解析由tanA·tanBtanAtanB1,可得1,即tan(AB)1,所以AB,则C,cosC,故选B.(理)(2014·新课标理,8)设(0,),(0,),且tan,则()A3B3C2D2答案C解析本题考查了诱导公式以及三角恒等变换运用验证法解法1:当2时,2,所以tan.解法2:tan,sin()cossin(),、(0,),(,),(0,),2.9(2015·石家庄市二模)在平面直角坐标系中,角的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点P,则sin()A.BC.D答案A解析由于角的终边经过点P(sin,cos),即P(cos,sin),2k,kZ.sin(2)sin(4k)sin,故选A.10(文)(2015·河南六市联考) 函数ycos(x)(>0,0<<)为奇函数,该函数的部分图象如图所示,A、B分别为最高点与最低点,并且两点间的距离为2,则该函数图象的一条对称轴为()AxBxCx1Dx2答案C解析ycos(x)为奇函数,其图象过原点,cos0,0<<,ycos(x)sinx,设周期为T,则由条件知()21(1)2(2)2,T4.,函数为ysin(x)令xk(kZ)得x2k1,x1为其一条对称轴(理)(2015·陕西理,3)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y3sink.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A5B6C8D10答案C解析由图象知,最小值为2,3k2,k5,最大值为3k8.故选C.二、填空题11(2015·葫芦岛市一模)已知函数f(x)cosx·sincos2x,xR则f(x)在闭区间上的最大值和最小值分别为_答案、解析f(x)sinxcosxcos2xcos2xsin2x(cos2x1)sin,当x时,2x,sin.f(x).12(文)(2014·陕西文,13)设0<<,向量a(sin2,cos),b(1,cos),若a·b0,则tan_.答案解析本题考查向量垂直、向量坐标运算等a·b0,sin2cos20,即cos(2sincos)0.又0<<,cos0,2sincos,tan.(理)如果两个函数的图象平移后能够重合,那么称这两个函数为“互为生成”函数给出下列四个函数:f(x)sinxcosx;f(x)(sinxcosx);f(x)sinx;f(x)sinx.其中为“互为生成”函数的是_(填序号)答案解析首先化简题中的四个解析式可得:f(x)sin(x),f(x)2sin(x),f(x)sinx,f(x)sinx,可知f(x)sinx的图象要与其他的函数图象重合,单纯经过平移不能完成,必须经过伸缩变换才能实现,所以f(x)sinx不能与其他函数成为“互为生成”函数,同理f(x)sin(x)的图象与f(x)2sin(x)的图象也必须经过伸缩变换才能重合,而f(x)sinx的图象向左平移个单位,再向下平移个单位即可得到f(x)sin(x)的图象,所以为“互为生成”函数三、解答题13(文)(2014·甘肃三诊)已知f(x)sinx2sin2(>0)的最小正周期为3.(1)当x,时,求函数f(x)的最小值;(2)在ABC中,若f(C)1,且2sin2BcosBcos(AC),求sinA的值解析f(x)sin(x)2·sin(x)cos(x)12sin(x)1,由3得,f(x)2sin(x)1.(1)由x得x,当sin(x)时,f(x)min2×11.(2)由f(C)2sin(C)1及f(C)1,得sin(C)1,而C, 所以C,解得C.在RtABC中,AB,2sin2BcosBcos(AC),2cos2AsinAsinA0,sin2AsinA10,解得sinA.0<sinA<1,sinA.(理)已知函数f(x)(2cos2 x1)sin2xcos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值;(2)若,且f(),求的值解析(1)因为f(x)(2cos2x1)sin2xcos4xcos2xsin2xcos4x(sin4xcos4x)sin(4x)所以f(x)的最小正周期为,最大值为.(2)因为f(),所以sin(4)1.因为(,),所以4(,),所以4,故.14已知函数f(x)2sin(x)cos(x)2cos2(x)1.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)的单调递增区间解析(1)f(x)2sin(x)cos(x)2cos2(x)1sin(2x)cos(2x)sin(2x)·coscos(2x)·sinsin(2x)sin(2x)f(x)的最小正周期T.(2)由(1)可知f(x)sin(2x)当2k2x2k(kZ),即kxk(kZ)时,函数f(x)sin(2x)是增函数,函数f(x)的单调递增区间是k,k(kZ)方法点拨1.解答三角函数性质(单调性、周期性、最值等)问题时,通常是利用三角函数的有关公式,通过将三角函数化为只含一个函数名称且角度唯一,最高次数为一次(一角一函)的形式,再依正(余)弦型函数依次对所求问题作出解答2求三角函数的最值的方法:(1)化为正弦(余弦)型函数yasinxbcosx型引入辅助角化为一角一函(2)化为关于sinx(或cosx)的二次函数15设函数f(x)2cos2x2sinxcosxm(xR)(1)化简函数f(x)的表达式,并求函数f(x)的最小正周期;(2)若x0,是否存在实数m,使函数f(x)的值域恰为,?若存在,请求出m的值;若不存在,请说明理由解析(1)f(x)2cos2x2sinxcosxm1cos2xsin2xm2sin(2x)m1,函数f(x)的最小正周期T.(2)假设存在实数m,符合题意x0,2x,则sin(2x),1,f(x)2sin(2x)m1m,3m又f(x)的值域为,解得m.存在实数m,使函数f(x)的值域恰为,方法点拨1.求值题一般先将三角函数式化简,再求值2讨论三角函数的性质(求单调区间、求最值、求周期等)的题目,一般先运用三角公式化简函数表达式,再依据正弦型或余弦型函数的性质进行讨论3三角变换的基本策略:(1)1的变换;(2)切化弦;(3)升降次;(4)引入辅助角;(5)角的变换与项的分拆16(文)(2015·广东文,16)已知tan 2.(1)求tan的值;(2)求的值分析考查:1.两角和的正切公式;2.特殊角的三角函数值;3.二倍角的正、余弦公式;4.同角三角函数的基本关系(1)由两角和的正切公式展开,代入数值,即可得tan的值;(2)先利用二倍角的正、余弦公式变形,然后化切求解解析(1) tan3,(2) 1.(理)(2015·福建文,21)已知函数f(x)10sin cos 10cos2.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再向下平移a(a>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,且函数g(x)的最大值为2.()求函数g(x)的解析式;()证明:存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得g(x0)>0.解析(1)因为f(x)10sincos10cos25sin x5cos x510sin5.所以函数f(x)的最小正周期T2.(2)(i)将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y10sin x5的图象,再向下平移a(a>0)个单位长度后得到g(x)10sin x5a的图象又已知函数g(x)的最大值为2,所以105a2,解得a13.所以g(x)10sin x8.(ii)要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得g(x0)>0,就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得10sin x08>0,即sin x0>.由<知,存在0<0<,使得sin 0.由正弦函数的性质可知,当x(0,0)时,均有sin x>.因为ysin x的周期为2,所以当x(2k0,2k0)(kZ)时,均有sin x>.因为对任意的整数k,(2k0)(2k0)20>>1,所以对任意的正整数k,都存在正整数xk(2k0,2k0),使得sin xk>.即,存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得g(x0)>0.
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