【走向高考】全国通用高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题6 三角变换、三角函数的图象与性质含解析

【走向高考】（全国通用）2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题6 三角变换、三角函数的图象与性质一、选择题1(2015·河南八市质检)已知sincos ，则2sin cos()A B.C D.答案B解析2sin cos2sin sin 2sin，又由于sincos sin cos cos sin cos sin，又sincoscos12sin21，所以2sincos.方法点拨1.已知条件为角的终边过某点时，直接运用三角函数定义求解；已知条件为角的终边在某条直线上，在直线取一点后用定义求解；已知sin、cos、tan中的一个值求其他值时，直接运用同角关系公式求解，能用诱导公式化简的先化简2已知tan求sin与cos的齐次式的值时，将分子分母同除以cosn化“切”代入，所求式为整式时，视分母为1，用1sin2cos2代换3sincos，sincos，sincos知一求其他值时，利用关系(sin±cos)21±2coscos.要特别注意利用平方关系巧解题已知某三角函数式的值，求另一三角函数式的值时，关键是分析找出两三角函数式的联系恰当化简变形，再代入计算2(文)(2015·洛阳市期末)已知角的终边经过点A(，a)，若点A在抛物线yx2的准线上，则sin ()A B.C D.答案D解析由已知得抛物线的准线方程为y1，故A(，1)，所以sin.(理)(2015·山东理，3)要得到函数ysin的图象，只需将函数ysin 4x的图象()A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位答案B解析因为ysin(4x)sin4(x)所以要得到ysin4(x)的图象，只需将函数ysin 4x的图象向右平移个单位故选B.3函数f(x)Asin(x)(其中A>0，>0，|<)的图象如图所示，为了得到g(x)sin3x的图象，则只要将f(x)的图象()A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度答案B解析由题知，函数f(x)的周期T4()，所以，解得3，易知A1，所以f(x)sin(3x)又f(x)sin(3x)过点(，1)，所以sin(3×)1，所以3×2k，kZ，所以2k，kZ，又|<，所以，所以f(x)sin(3x)sin3(x)，所以将函数f(x)的图象向右平移个单位长度可以得到函数g(x)sin3x的图象，故选B.方法点拨1.已知正弦型(或余弦型)函数的图象求其解析式时，用待定系数法求解由图中的最大值或最小值确定A，再由周期确定，由图象上特殊点的坐标来确定，只有限定的取值范围，才能得出唯一解，否则的值不确定，解析式也就不唯一将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为x002k(kZ)，其他依次类推即可2解答有关平移伸缩变换的题目时，向左(或右)平移m个单位时，用xm(或xm)代替x，向下(或上)平移n个单位时，用yn(或yn)代替y，横(或纵)坐标伸长或缩短到原来的k倍，用代替x(或代替y)，即可获解4(文)已知R，sin2cos，则tan2()A. B.CD答案C解析本题考查三角函数同角间的基本关系将sin2cos两边平方可得，sin24sincos4cos2，4sincos3cos2.将左边分子分母同除以cos2得，解得tan3或tan，tan2.(理)(2015·唐山市一模)已知2sin21cos2，则tan2()A B.C或0 D.或0答案D解析，或tan20或tan2.5(2015·安徽理，10)已知函数f(x)Asin(x)(A，均为正的常数)的最小正周期为，当x时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是()Af(2)f(2)f(0)Bf(0)f(2)f(2)Cf(2)f(0)f(2)Df(2)f(0)f(2)答案A解析考查三角函数的图象与应用及函数值的大小比较解法1：由题意， f(x)Asin(x)(A>0，>0，>0)，T，所以2，则f(x)Asin(2x)，而当x时，2×2k，kZ，解得2k，kZ，所以f(x)Asin(2x)(A>0)，则当2x2n，nZ，即xn，时，nZ，f(x)取得最大值要比较f(2)，f(2)，f(0)的大小，只需判断2，2,0与最近的最高点处对称轴的距离大小，距离越大，值越小，易知0,2与比较近，2与比较近，所以，当k0时，x，此时|0|0.52，|2|1.47，当k1时，x，此时|2()|0.6，所以f(2)<f(2)<f(0)，故选A.解法2：f(x)的最小正周期为，且在x时f(x)取最小值，在x时取到最大值f(2)f(2)，f(x)在，上单调递减，f(2)>f(2)，即f(2)>f(2)，又2>0，f(x)图象的一条对称轴方程为x，f(2)<f(0)，即f(2)<f(0)，f(2)<f(2)<f(0)6(文)函数f(x)Asin(x)(A>0，>0，|<)的图象关于直线x对称，它的最小正周期为，则函数f(x)图象的一个对称中心是()A(，1)B(，0)C(，0)D(，0)答案B解析由题意知T，2，由函数图象关于直线x对称，得2×k(kZ)，即k(kZ)又|<，f(x)Asin(2x)，令2xk(kZ)，则x(kZ)一个对称中心为(，0)，故选B.(理)已知函数f(x)cosxsin2x，下列结论中错误的是()Af(x)既是偶函数又是周期函数Bf(x)最大值是1Cf(x)的图象关于点(，0)对称Df(x)的图象关于直线x对称答案B解析f(x)cos(x)sin2(x)cosxsin2xf(x)，f(x)为偶函数f(x2)cos(x2)sin2(x2)cosxsin2x，2是f(x)一个周期，故A选项正确f(x)cosxsin2xcos3xcosx，令tcosx则t1,1，g(t)t3t，g(t)3t21令g(t)0，则t±，易知f(x)在区间1，)上单调递减，在(，)上单调递增，在(，1上单调递减，g(1)0，g()，g(t)max1，故B项错误7(文)给出下列四个命题：f(x)sin(2x)的对称轴为x，kZ；函数f(x)sinxcosx最大值为2；函数f(x)sinxcosx1的周期为2；函数f(x)sin(x)在，上是增函数其中正确命题的个数是()A1B2C3D4答案B解析由2xk，kZ，得x(kZ)，即f(x)sin(2x)的对称轴为x，kZ，正确；由f(x)sinxcosx2sin(x)知，函数的最大值为2，正确；f(x)sinxcosx1sin2x1，函数的周期为，故错误；函数f(x)sin(x)的图象是由f(x)sinx的图象向左平移个单位得到的，故错误(理)若f(x)2sin(x)m，对任意实数t都有f(t)f(t)，且f()3，则实数m的值等于()A1B±5C5或1D5或1答案C解析依题意得，函数f(x)的图象关于直线x对称，于是x时，函数f(x)取得最值，因此有±2m3，m5或m1，选C.8(文)在ABC中，若tanAtanBtanAtanB1，则cosC的值是()A B.C.D答案B解析由tanA·tanBtanAtanB1，可得1，即tan(AB)1，所以AB，则C，cosC，故选B.(理)(2014·新课标理，8)设(0，)，(0，)，且tan，则()A3B3C2D2答案C解析本题考查了诱导公式以及三角恒等变换运用验证法解法1：当2时，2，所以tan.解法2：tan，sin()cossin()，、(0，)，(，)，(0，)，2.9(2015·石家庄市二模)在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P，则sin()A.BC.D答案A解析由于角的终边经过点P(sin，cos)，即P(cos，sin)，2k，kZ.sin(2)sin(4k)sin，故选A.10(文)(2015·河南六市联考) 函数ycos(x)(>0,0<<)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为2，则该函数图象的一条对称轴为()AxBxCx1Dx2答案C解析ycos(x)为奇函数，其图象过原点，cos0，0<<，ycos(x)sinx，设周期为T，则由条件知()21(1)2(2)2，T4.，函数为ysin(x)令xk(kZ)得x2k1，x1为其一条对称轴(理)(2015·陕西理，3)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y3sink.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A5B6C8D10答案C解析由图象知，最小值为2，3k2，k5，最大值为3k8.故选C.二、填空题11(2015·葫芦岛市一模)已知函数f(x)cosx·sincos2x，xR则f(x)在闭区间上的最大值和最小值分别为_答案、解析f(x)sinxcosxcos2xcos2xsin2x(cos2x1)sin，当x时，2x，sin.f(x).12(文)(2014·陕西文，13)设0<<，向量a(sin2，cos)，b(1，cos)，若a·b0，则tan_.答案解析本题考查向量垂直、向量坐标运算等a·b0，sin2cos20，即cos(2sincos)0.又0<<，cos0，2sincos，tan.(理)如果两个函数的图象平移后能够重合，那么称这两个函数为“互为生成”函数给出下列四个函数：f(x)sinxcosx；f(x)(sinxcosx)；f(x)sinx；f(x)sinx.其中为“互为生成”函数的是_(填序号)答案解析首先化简题中的四个解析式可得：f(x)sin(x)，f(x)2sin(x)，f(x)sinx，f(x)sinx，可知f(x)sinx的图象要与其他的函数图象重合，单纯经过平移不能完成，必须经过伸缩变换才能实现，所以f(x)sinx不能与其他函数成为“互为生成”函数，同理f(x)sin(x)的图象与f(x)2sin(x)的图象也必须经过伸缩变换才能重合，而f(x)sinx的图象向左平移个单位，再向下平移个单位即可得到f(x)sin(x)的图象，所以为“互为生成”函数三、解答题13(文)(2014·甘肃三诊)已知f(x)sinx2sin2(>0)的最小正周期为3.(1)当x，时，求函数f(x)的最小值；(2)在ABC中，若f(C)1，且2sin2BcosBcos(AC)，求sinA的值解析f(x)sin(x)2·sin(x)cos(x)12sin(x)1，由3得，f(x)2sin(x)1.(1)由x得x，当sin(x)时，f(x)min2×11.(2)由f(C)2sin(C)1及f(C)1，得sin(C)1，而C， 所以C，解得C.在RtABC中，AB，2sin2BcosBcos(AC)，2cos2AsinAsinA0，sin2AsinA10，解得sinA.0<sinA<1，sinA.(理)已知函数f(x)(2cos2 x1)sin2xcos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若，且f()，求的值解析(1)因为f(x)(2cos2x1)sin2xcos4xcos2xsin2xcos4x(sin4xcos4x)sin(4x)所以f(x)的最小正周期为，最大值为.(2)因为f()，所以sin(4)1.因为(，)，所以4(，)，所以4，故.14已知函数f(x)2sin(x)cos(x)2cos2(x)1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的单调递增区间解析(1)f(x)2sin(x)cos(x)2cos2(x)1sin(2x)cos(2x)sin(2x)·coscos(2x)·sinsin(2x)sin(2x)f(x)的最小正周期T.(2)由(1)可知f(x)sin(2x)当2k2x2k(kZ)，即kxk(kZ)时，函数f(x)sin(2x)是增函数，函数f(x)的单调递增区间是k，k(kZ)方法点拨1.解答三角函数性质(单调性、周期性、最值等)问题时，通常是利用三角函数的有关公式，通过将三角函数化为只含一个函数名称且角度唯一，最高次数为一次(一角一函)的形式，再依正(余)弦型函数依次对所求问题作出解答2求三角函数的最值的方法：(1)化为正弦(余弦)型函数yasinxbcosx型引入辅助角化为一角一函(2)化为关于sinx(或cosx)的二次函数15设函数f(x)2cos2x2sinxcosxm(xR)(1)化简函数f(x)的表达式，并求函数f(x)的最小正周期；(2)若x0，是否存在实数m，使函数f(x)的值域恰为，？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由解析(1)f(x)2cos2x2sinxcosxm1cos2xsin2xm2sin(2x)m1，函数f(x)的最小正周期T.(2)假设存在实数m，符合题意x0，2x，则sin(2x)，1，f(x)2sin(2x)m1m,3m又f(x)的值域为，解得m.存在实数m，使函数f(x)的值域恰为，方法点拨1.求值题一般先将三角函数式化简，再求值2讨论三角函数的性质(求单调区间、求最值、求周期等)的题目，一般先运用三角公式化简函数表达式，再依据正弦型或余弦型函数的性质进行讨论3三角变换的基本策略：(1)1的变换；(2)切化弦；(3)升降次；(4)引入辅助角；(5)角的变换与项的分拆16(文)(2015·广东文，16)已知tan 2.(1)求tan的值；(2)求的值分析考查：1.两角和的正切公式；2.特殊角的三角函数值；3.二倍角的正、余弦公式；4.同角三角函数的基本关系(1)由两角和的正切公式展开，代入数值，即可得tan的值；(2)先利用二倍角的正、余弦公式变形，然后化切求解解析(1) tan3，(2) 1.(理)(2015·福建文，21)已知函数f(x)10sin cos 10cos2.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再向下平移a(a>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，且函数g(x)的最大值为2.()求函数g(x)的解析式；()证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)>0.解析(1)因为f(x)10sincos10cos25sin x5cos x510sin5.所以函数f(x)的最小正周期T2.(2)(i)将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y10sin x5的图象，再向下平移a(a>0)个单位长度后得到g(x)10sin x5a的图象又已知函数g(x)的最大值为2，所以105a2，解得a13.所以g(x)10sin x8.(ii)要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)>0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得10sin x08>0，即sin x0>.由<知，存在0<0<，使得sin 0.由正弦函数的性质可知，当x(0，0)时，均有sin x>.因为ysin x的周期为2，所以当x(2k0,2k0)(kZ)时，均有sin x>.因为对任意的整数k，(2k0)(2k0)20>>1，所以对任意的正整数k，都存在正整数xk(2k0,2k0)，使得sin xk>.即，存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)>0.