人教版 高中数学【选修 21】第三章3.13.1.3空间向量的数量积运算

2019 学年人教版高中数学选修精品资料 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算空间向量及其运算 3.1.3 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 A 级级 基础巩固基础巩固 一、选择题一、选择题 1对于对于 a，b，c 向量和实数向量和实数 ，下列命题中真命题是下列命题中真命题是( ) A若若 a b0，则则 a0 或或 b0 B若若 a0，则则 0 或或 a0 C若若 a2b2，则则 ab 或或 ab D若若 aba c，则则 bc 答案：答案：B 2下列命题中下列命题中，正确的命题个数为正确的命题个数为( ) m(a) b(m)a b(m，R)；a (bc)(bc) a；(ab)2a22a bb2. A0 B1 C2 D3 解析：解析：三个命题都正确三个命题都正确 答案答案：D 3已知非零向量已知非零向量 a、b 不平行不平行，并且其并且其模相等，则模相等，则 ab 与与 ab之间的关系是之间的关系是( ) A垂直垂直 B共线共线 C不垂直不垂直 D以上都可能以上都可能 解析：解析：(ab) (ab)a2b20，所以所以 a、b 垂直垂直 答案：答案：A 4已知已知 a，b 均为单位向量均为单位向量，它们的夹角为它们的夹角为 60，那么那么|a3b|( ) A13 B. 13 C2 D. 5 解析：解析：|a3b| （a3b）2 a26a b9b2 16cos 609 13. 答案：答案：A 5已知已知 abc0，|a|2，|b|3，|c| 19，则向量则向量 a 与与 b之间的夹角之间的夹角a，b为为( ) A30 B45 C60 D以上都不对以上都不对 答案：答案：C 二、填空题二、填空题 6已知空间向量已知空间向量 a，b，c 满足满足 abc0，|a|3，|b|1，|c|4，则，则 a bb cc a 的值为的值为_ 解析：解析：因为因为 abc0，所以所以(abc)20， 所以所以 a2b2c22(a bb cc a)0， 所以所以 a bb cc a321242213. 答案：答案：13 7已知已知|a|3 2，|b|4，mab，nab， a，b 135，mn，则则 _ 解析：解析：由由 mn， 得得(ab) (ab)0， 所以所以 a2(1)a bb20， 所以所以 18(1) 3 24cos 135160， 即即 460，所以所以 32. 答案：答案：32 8如图如图，已知已知正三棱柱正三棱柱 ABC- A1B1C1的各条棱长都相等的各条棱长都相等，M 是是侧棱侧棱CC1的中点的中点， 则异面直线则异面直线AB1和和BM所成的角的大小是所成的角的大小是_ 答案：答案：90 三、解答题三、解答题 9.已知在四面体已知在四面体 OACB 中中，OBOC， ABAC，求证：求证：OABC. 证明：证明：因为因为 OBOC，ABAC，OAOA， 所以所以OACOAB. 所以所以AOCAOB. 因为因为OA BCOA (OCOB)OA OCOA OB|OA|OC| cosAOC|OA|OB|cosAOB0， 所以所以OABC，所以所以 OABC. 10.如图如图，正三棱柱正三棱柱 ABC- A1B1C1中中，底面边长为底面边长为 2. (1)设侧棱长为设侧棱长为 1，求证：求证：AB1BC1； (2)设设 AB1与与 BC1的夹角为的夹角为3，求侧棱的长，求侧棱的长 (1)证明：证明：AB1ABBB1，BC1BB1BC. 因为因为 BB1平面平面 ABC， 所以所以BB1AB0，BB1BC0. 又又ABC 为正三角形为正三角形， 所以所以AB，BCBA，BC323. 因为因为AB1BC1(ABBB1) (BB1BC)ABBB1AB，BCBB12BB1BC|AB|BC|cosABBCBB12110， 所以所以 AB1BC1. (2)解：解：结合结合(1)知知AB1BC1|AB|BC|cosAB，BCBB12BB121. 又又|AB1| （ABBB1）2 2BB12|BC1|， 所以所以 cosAB1，BC1BB1212BB1212. 所以所以|BB1|2，即侧棱长为即侧棱长为 2. B 级级 能力提升能力提升 1已知空间向量已知空间向量 a，b，c，两两夹角为两两夹角为 60，其模都为其模都为 1，则则|ab2c|( ) A. 5 B5 C6 D. 6 解析：解析：因为因为|a|b|c|1， a，bb，cc，a60， 所以所以 a bb ca c12，a2b2c21. 所以所以|ab2c| （ab2c）2 a2b24c22a b4a c4c b 114212412412 6122 5. 答案：答案：A 2已知已知|a|2，|b|1， a，b60，则使向量则使向量 ab 与与 a2b 的夹角为钝角的实数的夹角为钝角的实数 的取值范围是的取值范围是_ 解析：解析：由题意知由题意知 （ab） （a2b）0，cosab，a2b1， 即即 （ab） （a2b）0，（ab） （a2b）|ab| |a2b|， 2220.所以所以1 31 3. 答案：答案：(1 3，1 3) 3已知平行六面体已知平行六面体 ABCD- A1B1C1D1中中，底面底面 ABCD 是边长为是边长为 1的正方形的正方形，AA12，A1ABA1AD120. (1)求线段求线段 AC1的长；的长； (2)求异面直线求异面直线 AC1与与 A1D 所成角的余弦值所成角的余弦值 解：解：(1)如图所示如图所示，设设ABa，ADb，AA1c，则则|a|b|1，|c|2. a b0，a cb c21cos 1201. 因为因为AC1ABBCCC1abc， 所以所以|AC1|2(abc)2a2b2c22a b2a c2b c1122222.所以所以|AC1| 2. 即即 AC1长为长为 2. (2)因为因为AC1abc，A1Dbc， 所以所以AC1A1D(abc) (bc)a ba cb2b cb cc2112222. 又又|A1D|2(bc)2b2c22b c1427， 所以所以|A1D| 7， 所以所以 cosAC1，A1DAC1A1D|AC1|A1D|27 2147. 故故异面直线异面直线 AC1与与 A1D 所成角的余弦值为所成角的余弦值为1417.