高中数学北师大版选修22学案：5.2.1　复数的加法与减法2.2　复数的乘法与除法 Word版含解析

20192019 学年北师大版数学精品资料学年北师大版数学精品资料2复数的四则运算复数的四则运算2.1复数的加法与减法复数的加法与减法2.2复数的乘法与除法复数的乘法与除法1.理解共轭复数的概念.(重点)2.掌握复数的四则运算法则与运算律.(重点、难点)基础初探教材整理 1复数的加法与减法阅读教材 P103“例 1”以上部分，完成下列问题.1.复数的加法设 abi(a， bR)和 cdi(c， dR)是任意两个复数， 定义复数的加法如下：(abi)(cdi)(ac)(bd)i.2.复数的减法设 abi(a， bR)和 cdi(c， dR)是任意两个复数， 定义复数的减法如下：(abi)(cdi)(ac)(bd)i.复数 z1212i，z2122i，则 z1z2等于()A.0B.3252iC.5252iD.5232i【解析】z1z2212 122i5252i.【答案】C教材整理 2复数的乘法与除法阅读教材 P104“练习”以下P106，完成下列问题.1.复数的乘法法则设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则 z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.2.复数乘法的运算律对任意复数 z1，z2，z3C，有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z33.共轭复数如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数，那么这样的两个复数叫作互为共轭复数.复数 z 的共轭复数用 z 来表示，即z-abi，则 zabi.4.复数的除法法则设 z1abi，z2cdi(cdi0)，则z1z2abicdiacbdc2d2bcadc2d2i.(1i)22i2i_.【解析】(1i)22i2i2i（2i）2535145i.【答案】35145i质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：解惑：疑问 2：解惑：疑问 3：解惑：小组合作型复数的加法与减法运算(1)1312i(2i)4332i_.(2)已知复数 z 满足 z13i52i，求 z.(3)已知复数 z 满足|z|z13i，求 z.【精彩点拨】(1)根据复数的加法与减法法则计算.(2)设 zabi(a，bR)，根据复数相等计算或把等式看作 z 的方程，通过移项求解.(3)设 zxyi(x，yR)，则|z| x2y2，再根据复数相等求解.【自主解答】(1)1312i(2i)4332i13243 12132 i1i.【答案】1i(2)法一：设 zxyi(x，yR)，因为 z13i52i，所以 xyi(13i)52i，即 x15 且 y32，解得 x4，y1，所以 z4i.法二：因为 z13i52i，所以 z(52i)(13i)4i.(3)设 zxyi(x，yR)，则|z| x2y2，又|z|z13i，所以 x2y2xyi13i，由复数相等得x2y2x1，y3，解得x4，y3，所以 z43i.1.复数加法与减法运算法则的记忆(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.(2)把 i 看作一个字母，类比多项式加、减法中的合并同类项.2.当一个等式中同时含有|z|与 z 时，一般要用待定系数法，设 zabi(a，bR).再练一题1.(1)复数(1i)(2i)3i 等于()A.1IB.1iC.iD.i【解析】(1i)(2i)3i(12)(ii3i)1i.故选 A.【答案】A(2)已知|z|3，且 z3i 是纯虚数，则 z_.【解析】设 zxyi(x，yR)， x2y23，且 z3ixyi3ix(y3)i 是纯虚数，则x0，y30，由可得 y3.z3i.【答案】3i复数的乘法与除法运算已知复数 z11i，z232i.试计算：(1)z1z2和 z41；(2)z1z2和 z22z1.【精彩点拨】按照复数的乘法和除法法则进行.【自主解答】(1)z1z232i3i2i25i.z41(1i)22(2i)24i24.(2)z1z21i32i（1i） （32i）（32i） （32i）15i13113513i.z22z1（32i）21i512i1i（512i） （1i）（1i） （1i）717i272172i.1.实数中的乘法公式在复数范围内仍然成立.2.复数的四则运算次序同实数的四则运算一样，都是先算乘除，再算加减.3.常用公式(1)1ii；(2)1i1ii；(3)1i1ii.再练一题2.(1)满足zizi(i 为虚数单位)的复数 z()A.1212iB.1212iC.1212iD.1212i(2)若复数 z 满足 z(1i)2i(i 为虚数单位)，则|z|()A.1B.2C. 2D. 3【解析】(1)zizi，zizi，iz(i1).zii1i（1i）（1i） （1i）1i21212i.(2)z(1i)2i，z2i1i2i（1i）21i，|z| 1212 2.【答案】(1)B(2)C探究共研型共轭复数的应用探究 1两个共轭复数的和一定是实数吗？两个共轭复数的差一定是纯虚数吗？【提示】若 zabi(a，bR)，则z-abi，则 zz-2aR.因此，和一定是实数；而 zz-2bi.当 b0 时，两共轭复数的差是实数，而当 b0 时，两共轭复数的差是纯虚数.探究 2若 z1与 z2是共轭复数，则|z1|与|z2|之间有什么关系？【提示】|z1|z2|.已知 zC，z-为 z 的共轭复数，若 zz-3iz-13i，求 z.【精彩点拨】设 zabi(a，bR)，则z-abi.代入所给等式，利用复数的运算及复数相等的充要条件转化为方程组求解.【自主解答】设 zabi(a，bR)，则z-abi，(a，bR)，由题意得(abi)(abi)3i(abi)13i，即 a2b23b3ai13i，则有a2b23b1，3a3，解得a1，b0或a1，b3.所以 z1 或 z13i.再练一题3.已知复数 z1(1i)(1bi)，z2a2i1i，其中 a，bR.若 z1与 z2互为共轭复数，求 a，b 的值.【解】z1(1i)(1bi)1biib(b1)(1b)i，z2a2i1i（a2i） （1i）（1i） （1i）aai2i22a22a22i，由于 z1和 z2互为共轭复数，所以有a22b1，a22（1b） ，解得a2，b1.构建体系1.设 z12i，z215i，则|z1z2|为()A. 5 26B.5C.25D. 37【解析】|z1z2|(2i)(15i)|34i| 32（4）25.【答案】B2.已知 i 是虚数单位，则(1i)(2i)()A.3iB.13iC.33iD.1i【解析】(1i)(2i)13i.【答案】B3.设复数 z11i，z2x2i(xR)，若 z1z2R，则 x_.【解析】z11i，z2x2i(xR)，z1z2(1i)(x2i)(x2)(x2)i.z1z2R，x20，即 x2.【答案】24.若21iabi(i 为虚数单位，a，bR)，则 ab_.【导学号：94210084】【解析】因为21i2（1i）（1i） （1i）1i，所以 1iabi，所以 a1，b1，所以 ab2.【答案】25.已知复数 z 满足|z| 5，且(12i)z 是实数，求 z.【解】设 zabi(a，bR)，则(12i)z(12i)(abi)(a2b)(b2a)i，又因为(12i)z 是实数，所以 b2a0，即 b2a，又|z| 5，所以 a2b25，解得 a1，b2，z12i 或12i，z-12i 或12i，z-(12i).我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评学业分层测评( (十九十九) )(建议用时：45 分钟)学业达标一、选择题1.实数 x，y 满足 z1yxi，z2yix，且 z1z22，则 xy 的值是()A.1B.2C.2D.1【解析】z1z2yxi(yix)xy(xy)i2，xy2，xy0，xy1.xy1.【答案】A2.已知复数 z3i333i，则 z()A.0B.6iC.6D.66i【解析】z3i333i，z(33i)(3i3)66i.【答案】D3.复数 z32ai，aR，且 z21232i，则 a 的值为()【导学号：94210085】A.1B.2C.12D.14【解析】由 z32ai，aR，得 z2322232ai(ai)234a23ai，因为 z21232i，所以34a212， 3a32，解得 a12.【答案】C4.A，B 分别是复数 z1，z2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z1z2|z1z2|，则三角形 AOB 一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【解析】复数 z1对应向量OA，复数 z2对应向量OB.则|z1z2|OAOB|，|z1z2|OAOB|，依题意有|OAOB|OAOB|.以OA，OB为邻边所作的平行四边形是矩形.AOB 是直角三角形.【答案】B5.已知复数 z3i（1 3i）2， z是 z 的共轭复数，则 zz 等于()A.14B.12C.1D.2【解析】z3i（1 3i）2 3i2i（1 3i）2i（1 3i）（1 3i）2i1 3ii（1 3i）434i4， z34i4，z z14.【答案】A二、填空题6.复数（12i）234i的值是_ .【解析】（12i）234i34i34i1.【答案】17.已知a2iibi(a，bR)，其中 i 为虚数单位，则 ab_.【解析】a2iibi，a2i(bi)i1bi，a1，b2，ab1.【答案】18.已知复数 z 满足 z|z|28i，则复数 z_.【解】法一：设 zabi(a，bR).则|z| a2b2，代入方程得 abi a2b228i.a a2b22，b8，解得a15，b8，z158i.法二：原式可化为 z2|z|8i，|z|R，2|z|是 z 的实部，于是|z| （2|z|）282，即|z|2684|z|z|2，|z|17.代入 z2|z|8i，得 z158i.【答案】158i三、解答题9.在复平面内 A，B，C 三点对应的复数分别为 1，2i，12i.(1)求AB， BC，AC对应的复数；(2)判断ABC 的形状；(3)求ABC 的面积.【解】(1)AB对应的复数为 2i11i，BC对应的复数为12i(2i)3i，AC对应的复数为12i122i.(2)|AB| 2，|BC| 10，|AC| 82 2，|AB|2|AC|2|BC|2，ABC 为直角三角形.(3)SABC12 22 22.10.已知复数 z 满足 z(13i)(1i)4.(1)求复数 z 的共轭复数；(2)若 wzai，且复数 w 对应向量的模不大于复数 z 所对应向量的模，求实数 a 的取值范围.【解】(1)z1i3i3424i，所以复数 z 的共轭复数为24i.(2)w2(4a)i， 复数 w 对应向量为(2， 4a)， 其模为 4（4a）2 208aa2.又复数 z 所对应向量为(2，4)，其模为 2 5.由复数 w 对应向量的模不大于复数 z 所对应向量的模，得 208aa220，a28a0，a(a8)0，所以实数 a 的取值范围是8a0.能力提升1.(2016宁夏高二检测)设 z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A.若|z1z2|0，则z1z2B.若 z1z2，则z1z2C.若|z1|z2|，则 z1z1z2z2D.若|z1|z2|，则 z21z22【解析】A，|z1z2|0z1z20z1z2z1z2，真命题；B，z1z2z1z2=z2，真命题；C，|z1|z2|z1|2|z2|2z1z1z2 z2，真命题；D，当|z1|z2|时，可取 z11，z2i，显然 z211，z221，即 z21z22，假命题.【答案】D2.复数 zxyi(x， yR)满足条件|z4i|z2|， 则 2x4y的最小值为()A.2B.4C.4 2D.16【解析】由|z4i|z2|，得|x(y4)i|x2yi|，x2(y4)2(x2)2y2，即 x2y3，2x4y2x22y2 2x2y2 234 2，当且仅当 x2y32时，2x4y取得最小值 4 2.【答案】C3.若复数 z7ai2i的实部为 3，则 z 的虚部为_.【解析】 z7ai2i（7ai） （2i）（2i） （2i）（14a）（72a）i514a572a5i.由题意知14a53，a1，z3i.z 的虚部为 1.【答案】14.已知 z 为复数，z1i为实数，z1i为纯虚数，求复数 z.【导学号：94210086】【解】设 zabi(a，bR)，则z1ia1bii(a1bi)(i)b(a1)i.因为z1i为实数，所以 a10，即 a1.又因为z1i（abi） （1i）（1i） （1i）（ab）（ab）i2为纯虚数，所以 ab0，且 ab0，所以 b1.故复数 z1i.