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2016年青浦区高考数学（理科）二模卷一、填空题1.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/集合与命题/交集，补集，并集.【参考答案】【试题分析】，所以.故答案为.2.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或涨掌握初等数学中有关数与运算的基本知识.【知识内容】数与运算/复数初步/复数的四则运算.【参考答案】1【试题分析】因为，所以，则.故答案为1.3.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/指数函数的性质与图像、反函数.【参考答案】（3,1）【试题分析】因为函数经过定点（1,3），根据互为反函数的两个函数之间的关系知，函数的反函数经过定点（3,1），故答案为（3,1）.4.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/数列的极限.【参考答案】【试题分析】，故答案为.5.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/简单几何体的研究/锥体.【参考答案】【试题分析】设直线与条坐标轴的交点分别为A,B,则，B（0,2），于是绕y轴旋转一周，该几何体为底面半径为1，高为2的圆锥，所以，故答案为.6.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/三角比/二倍角及半角的正弦、余弦、正切.【参考答案】【试题分析】由得，所以，因为，所以，又，故答案为.7.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.【参考答案】【试题分析】当时，因为，所以，又因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增，并且，所以，综上，不等式的解集为，故答案为.8.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/抛物线的标准方程和几何性质.【参考答案】【试题分析】设抛物线的焦点坐标为，线段的中点坐标为，因为,所以经过抛物线焦点的线段OA的垂直平分线的斜率，所以，则抛物线的标准方程为，故答案为.9.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】图形与几何/参数方程和极坐标/参数方程. 【参考答案】【试题分析】因为，所以将代入 代入得，解得或,将、代入求得或，因为，所以只有符合题意，故答案为.10.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合、二项式定理/二项式定理.【参考答案】5【试题分析】的展开式中第项为的系数，因为，所以，即，得，故答案为5.11. 【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】图形与几何/简单集合体的研究/椎体；数据整理与概率统计/概率与统计/随机变量的分布及数字特征.【参考答案】【试题分析】如图，在棱长均为2的正四棱锥中，因为,所以,所以,从正四棱锥的5个顶点中任取个点，可以构成的三角形的个数为，其中顶点在侧面的三角形的有4个，在对角面的有2个，在底面的有4个，故.第11题图 cna112.【测量目标】运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求.【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列.【参考答案】【试题分析】因为，所以，当时，-得，所以,也适合此式，所以，所以数列是首项为，公差为4的等差数列，所以，故答案为.13.【测量目标】逻辑思维能力/具有对数学问题或资料进行观察、分析、综合、比较、抽象、概括、判断和论证的能力.【知识内容】数据整理与概率统计/概率与统计初步/随机变量的分布及数字特征.【参考答案】【试题分析】因为20道选择题每题3分，甲最终的得分为54分，所以甲答错了2道题，又因为甲和乙有两道题的选项不同，则他们最少有16道题的答案相同，设剩下的4道题正确答案为AAAA,甲的答案为BBAA,因为甲和乙有两道题的选项不同，所以乙可能的答案为BBCC,BCBA,CCAA,CAAA,AAAA等，所以乙的所有可能的得分值组成的集合为，故答案为.14.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】图形与几何/平面直线的方程/直线的一般式方程；方程与代数/不等式/基本不等式.【参考答案】【试题分析】如图，设由题意得，所以直线的方程为，化为一般式方程为，所以, 所以，当且仅当，即时取等号，因为恒成立，所以，,所以的最大值为，故答案为.第14题图 cna2二、选择题15.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/三角比/同角三角比.【正确选项】B【试题分析】由于，且，得到，故充分性不成立；当时，故必要性成立.故答案为B.16.【测量目标】空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.【知识内容】图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系.【正确选项】D【试题分析】直线与可能是与平面平行的平面中的相交直线，故A选项不正确；直线上的点可能是位于平面两侧的点，故B选项不正确；直线与平面所形成的角大小可以取到0和，故C选项不正确；垂直同一平面的两直线平行，故D选项正确.故答案为D.17.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关平面与几何的基本知识.【知识内容】平面与几何/平面向量的坐标表示/向量的度量计算.【正确选项】C【试题分析】由于且，那么，所以，即，由于，所以的最大值为.故答案为C.18.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/对数函数的性质和图像；函数与分析/三角函数/正弦函数与余弦函数的图像. 【正确选项】B【试题分析】因为存在实数满足，所以函数与直线的图像有4个交点，如图，因此，因为，所以，又因为的图像关于直线对称，所以，所以，因为，所以,故答案为B.第18题图 cna3三、解答题19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题5分，第2小题7分.【测量目标】（1）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.（2）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.【知识内容】（1）图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系.（2）图形与几何/空间向量及其应用/距离和角.【参考答案】（1）因为底面是等腰直角三角形，且，所以，2分因为平面，所以， 4分所以，平面 5分（2）以为原点，直线，为，轴，建立空间直角坐标系，则， 由（1），是平面的一个法向量， 7分，设平面的一个法向量为，则有 即 令，则，所以， 10分设与的夹角为，则， 11分由图形知二面角的大小是锐角，所以，二面角的大小为 12分20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.【测量目标】（1）运算能力/能根据法则准确地进行运算、变形.（2）运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求.【知识内容】（1）函数与分析/三角函数/函数的图像与性质.（2）函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理；图形与几何/平面向量的坐标表示/平面向量的数量积.【参考答案】（1）， 3分又，所以， 5分所以， 6分（2），故，所以，或（），因为是三角形内角，所以9分而，所以， 11分又，所以，所以，所以， 14分21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.【测量目标】（1）逻辑思维能力/会进行演绎、归纳和类比推理，能合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点.（2）分析问题与解决问题的能力/能自主地学习一些新的数学知识（概念、定理、性质和方法等），并能初步应用.【知识内容】（1）函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.（2）函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.【参考答案】（1），则在上是增函数，故，即， 2分故，所以是有界函数 4分所以，上界满足，所有上界的集合是 6分（2）因为函数在上是以为上界的有界函数，故在上恒成立，即，所以，（）， 8分所以（），令，则，故在上恒成立，所以，（）， 11分令，则在时是减函数，所以；12分令，则在时是增函数，所以13分所以，实数的取值范围是 14分22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.【测量目标】（1）运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求.（2）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（3）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】（1）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质.（2）图形与几何/平面直线的方程/直线的斜率与倾斜角.（3）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质；方程与代数/不等式/基本不等式.【参考答案】（1）由得，所以，设，则， 2分因为，所以，代入上式求得. 4分（2）由图形可知，要证明，等价于证明直线与直线的倾斜角互补，即等价于. 6分. 9分所以，. 10分（3）由，得，所以， 13分令，则，故（当且仅当，即，取等号）. 15分所以，面积的最大值是. 16分23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.【测量目标】（1）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（2）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.（3）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】（1）方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列.（2）方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列、等比数列.（3）方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列.【参考答案】（1）由已知， , ， 1分由可得， ， 2分将代入得，对任意，有，即，所以是等差数列 4分（2）设数列的公差为，由，得，6分所以，所以， 7分所以， 8分所以， 9分 10分（3）解法一：由（2）， 11分所以，13分故不等式化为，即当时恒成立， 14分令，则随着的增大而减小，且恒成立. 17分故，所以，实数的取值范围是. 18分解法二：由（2）， 11分所以，13分故不等式化为，所以，原不等式对任意恒成立等价于对任意恒成立， 14分设，由题意，当时，恒成立； 15分当时，函数图像的对称轴为，在上单调递减，即在上单调递减，故只需即可，由，得，所以当时，对恒成立综上，实数的取值范围是 18分嘉定、长宁、宝山、青浦（理科）详解14
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