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（人教版）精品数学教学资料阶段质量检测（四）圆与方程(时间时间 120 分钟分钟满分满分 150 分分)一一、选择题选择题(本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的)1直线直线 xy10 被圆被圆(x1)2y23 截得的弦长等于截得的弦长等于()A. 2B2C2 2D4解析解析：选选 B由题意由题意，得圆心为得圆心为(1,0)，半径半径 r 3，弦心距弦心距 d|101|1212 2，所以所以所求的弦长为所求的弦长为 2 r2d22，选选 B.2若点若点 P(1,1)为圆为圆 x2y26x0 的弦的弦 MN 的中点的中点，则弦则弦 MN 所在直线的方程为所在直线的方程为()A2xy30Bx2y10Cx2y30D2xy10解析：解析：选选 D由题意由题意，知圆的标准方程为知圆的标准方程为(x3)2y29，圆心为圆心为 A(3,0)因为点因为点 P(1,1)为弦为弦 MN 的中点的中点，所以所以 APMN.又又 AP 的斜率的斜率 k101312，所以直线所以直线 MN 的斜率为的斜率为 2，所所以弦以弦 MN 所在直线的方程为所在直线的方程为 y12(x1)，即即 2xy10.3半径长为半径长为 6 的圆与的圆与 x 轴相切轴相切，且与圆且与圆 x2(y3)21 内切内切，则此圆的方程为则此圆的方程为()A(x4)2(y6)26B(x4)2(y6)26C(x4)2(y6)236D(x4)2(y6)236解析解析：选选 D半径长为半径长为 6 的圆与的圆与 x 轴相切轴相切，设圆心坐标为设圆心坐标为(a，b)，则则 b6.再由再由 a2325，可以解得可以解得 a4，故所求圆的方程为故所求圆的方程为(x4)2(y6)236.4经过点经过点 M(2,1)作圆作圆 x2y25 的切线的切线，则切线方程为则切线方程为()A. 2xy50B. 2xy50C2xy50D2xy50解析：解析：选选 CM(2,1)在圆上在圆上，切线与切线与 MO 垂直垂直kMO12，切线斜率为切线斜率为2.又过点又过点 M(2,1)，y12(x2)，即即 2xy50.5 把把圆圆x2y22x4ya220的半径减小一个单位则正好与直的半径减小一个单位则正好与直线线3x4y40相切相切，则实数则实数 a 的值为的值为()A3B3C3 或或 3D以上都不对以上都不对解析：解析：选选 C圆的方程可变为圆的方程可变为(x1)2(y2)2a27，圆心为圆心为(1,2)，半径为半径为 a27，由题意得由题意得|13424| 3 242 a271，解得解得 a3.6.如图如图，一座圆弧形拱桥一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时当水面在如图所示的位置时，拱顶离水拱顶离水面面2 米米，水面宽水面宽 12 米米，当水面下降当水面下降 1 米后米后，水面宽度为水面宽度为()A14 米米B15 米米C. 51米米D251米米解析：解析：选选 D如图如图，以圆弧形拱桥的顶点为原点以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为 x 轴轴，以过圆以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为弧形拱桥的顶点的竖直直线为 y 轴轴，建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系设圆心为设圆心为 C，水面所在弦的端点为水面所在弦的端点为 A，B，则由已知可得则由已知可得 A(6，2)，设圆的半径长为设圆的半径长为 r，则则 C(0，r)，即圆的方程为即圆的方程为 x2(yr)2r2.将点将点 A 的坐标代入上述方程可得的坐标代入上述方程可得 r10，所以圆的方程为所以圆的方程为 x2(y10)2100，当水面下降当水面下降 1 米后米后，水面弦的端点为水面弦的端点为 A，B，可设可设 A(x0，3)(x00)，代入代入 x2(y10)2100，解得解得 x0 51，水面宽度水面宽度|AB|251米米7过点过点(3,1)作圆作圆(x1)2y21 的两条切线的两条切线，切点分别为切点分别为 A，B，则直线则直线 AB 的方程为的方程为()A2xy30B2xy30C4xy30D4xy30解析：解析：选选 A设点设点 P(3,1)，圆心圆心 C(1,0)已知切点分别为已知切点分别为 A，B，则则 P，A，C，B 四点共四点共圆圆 ， 且且 PC 为 圆 的 直 径 故 四 边 形为 圆 的 直 径 故 四 边 形 PACB 的 外 接 圆 圆 心 坐 标 为的 外 接 圆 圆 心 坐 标 为2，12 ， 半 径 长 为半 径 长 为12 31 2 10 252.故此圆的方程为故此圆的方程为(x2)2y12254.圆圆 C 的方程为的方程为(x1)2y21.得得 2xy30，此即为直线此即为直线 AB 的方程的方程8已知在平面直角坐标系已知在平面直角坐标系 xOy 中中，圆圆 C 的方程为的方程为 x2y22y3，直线直线 l 经过点经过点(1,0)且与直线且与直线 xy10 垂直垂直，若直线若直线 l 与圆与圆 C 交于交于 A，B 两点两点，则则OAB 的面积为的面积为()A1B. 2C2D2 2解析解析：选选 A由题意由题意，得圆得圆 C 的标准方程为的标准方程为 x2(y1)24，圆心为圆心为(0，1)，半径半径 r2.因为直线因为直线 l 经过点经过点(1,0)且与直线且与直线 xy10 垂直垂直，所以直线所以直线 l 的斜率为的斜率为1，方程为方程为 y0(x1)，即为即为 xy10.又圆心又圆心(0，1)到直线到直线 l 的距离的距离 d|011|2 2，所以弦长所以弦长|AB|2 r2d22 422 2.又坐标原点又坐标原点 O 到弦到弦 AB 的距离为的距离为|001|212，所以所以OAB 的面积的面积为为122 2121.故选故选 A.二二、填空题填空题(本大题共本大题共 7 小题小题，多空题每题多空题每题 6 分分，单空题每题单空题每题 4 分分，共共 36 分分请把正确答请把正确答案填在题中的横线上案填在题中的横线上)9圆心在直线圆心在直线 x2 上的圆上的圆 C 与与 y 轴交于两点轴交于两点 A(0，4)，B(0，2)，则圆则圆 C 的方程为的方程为_解析：解析：由题意知圆心坐标为由题意知圆心坐标为(2，3)，半径半径 r 20 2 32 2 5，圆圆 C 的方程的方程为为(x2)2(y3)25.答案：答案：(x2)2(y3)2510已知空间直角坐标系中三点已知空间直角坐标系中三点 A，B，M，点点 A 与点与点 B 关于点关于点 M 对称对称，且已知且已知 A 点的点的坐标为坐标为(3,2,1)，M 点的坐标为点的坐标为(4,3,1)，则则 B 点的坐标为点的坐标为_解析解析：设：设 B 点的坐标为点的坐标为(x，y，z)，则有则有x324，y223，z121，解得解得 x5，y4，z1，故故 B 点的坐标为点的坐标为(5,4,1)答案答案：(5,4,1)11圆圆 O：x2y22x2y10 上的动点上的动点 Q 到直线到直线 l：3x4y80 的距离的最大值是的距离的最大值是_解析：解析：圆圆 O 的标准方程为的标准方程为(x1)2(y1)21，圆心圆心(1,1)到直线到直线 l 的距离为的距离为|31418|324231，动点动点 Q 到直线到直线 l 的距离的最大值为的距离的最大值为 314.答案：答案：412已知过点已知过点(1,1)的直线的直线 l 与圆与圆 C：x2y24y20 相切相切，则圆则圆 C 的半径为的半径为_，直线直线 l 的方程为的方程为_解析：解析：圆圆 C 的标准方程为的标准方程为 x2(y2)22，则圆则圆 C 的半径为的半径为 2，圆心坐标为圆心坐标为(0,2)点点(1,1)在圆在圆 C 上上，则直线则直线 l 的斜率的斜率 k121011，则直线则直线 l 的方程为的方程为 yx，即即 xy0.答案：答案： 2xy013已知圆已知圆 C：(x1)2y225 与直线与直线 l：mxym20，若圆若圆 C 关于直线关于直线 l 对称对称，则则 m_；当；当 m_时时，圆圆 C 被直线被直线 l 截得的弦长最短截得的弦长最短解析：解析：当圆当圆 C 关于关于 l 对称时对称时，圆心圆心(1,0)在直线在直线 mxym20 上上，得得 m1.直线直线 l：m(x1)y20 恒过圆恒过圆 C 内的点内的点 M(1，2)，当圆心到直线当圆心到直线 l 的距离最大的距离最大，即即 MCl 时时，圆圆 C 被直线被直线 l 截得的弦长最短截得的弦长最短，kMC20111，由由(m)11，得得 m1.答案：答案：1114已知点已知点 M(2,1)及圆及圆 x2y24，则过则过 M 点的圆的切线方程为点的圆的切线方程为_，若直线若直线 axy40 与该圆相交于与该圆相交于 A，B 两点两点，且且|AB|2 3，则则 a_.解析解析：若过若过 M 点的圆的切线斜率不存在点的圆的切线斜率不存在，则切线方程为则切线方程为 x2，经验证满足条件经验证满足条件若切线若切线斜率存在斜率存在，可设切线方程为可设切线方程为 yk(x2)1，由圆心到切线的距离等于半径得由圆心到切线的距离等于半径得|2k1|k212，解解得得 k34，故切线方程为故切线方程为 y34(x2)1，即即 3x4y100.综上综上，过过 M 点的圆的切线方程为点的圆的切线方程为 x2 或或 3x4y100.由由4a21 4 3 2得得 a 15.答案：答案：x2 或或 3x4y100 1515已知两圆已知两圆 C1：x2y22ax4ya250 和和 C2：x2y22x2aya230，则两则两圆圆心的最短距离为圆圆心的最短距离为_，此时两圆的位置关系是此时两圆的位置关系是_(填填“外离外离、相交相交、外切外切、内切内切、内含内含”中的一个中的一个)解析解析：将圆将圆 C1：x2y22ax4ya250 化为标准方程得化为标准方程得(xa)2(y2)29，圆心圆心为为C1(a，2)，半径为半径为 r13，将圆将圆 C2：x2y22x2aya230 化为标准方程得化为标准方程得(x1)2(ya)24，圆心为圆心为 C2(1，a)，半径为半径为 r22.两圆的圆心距两圆的圆心距 d a1 2 2a 22a26a52a32212，所以当所以当 a32时时，dmin22，此时此时22|32|，所以两圆内所以两圆内含含答案：答案：22内含内含三三、解答题解答题(本大题共本大题共 5 小题小题，共共 74 分分，解答时写出必要的文字说明解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步证明过程或演算步骤骤)16(本小题满分本小题满分 14 分分)已知正四棱锥已知正四棱锥 PABCD 的底面边长为的底面边长为 4，侧棱长为侧棱长为 3，G 是是 PD 的的中点中点，求求|BG|.解：解：正四棱锥正四棱锥 PABCD 的底面边长为的底面边长为 4，侧棱长为侧棱长为 3，正四棱锥的高为正四棱锥的高为 1.以正四棱锥的底面中心为原点以正四棱锥的底面中心为原点，平行于平行于 AB，BC 所在的直线分别所在的直线分别为为y 轴轴、 x 轴轴， 建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系， 则正四棱锥的顶则正四棱锥的顶点点 B， D， P 的坐标分别的坐标分别为为 B(2,2,0)，D(2，2,0)，P(0,0,1)G 点的坐标为点的坐标为 G1，1，12|BG|323214732.17(本小题满分本小题满分 15 分分)已知从圆外一点已知从圆外一点 P(4,6)作圆作圆 O：x2y21 的两条切线的两条切线，切点分别切点分别为为 A，B.(1)求以求以 OP 为直径的圆的方程；为直径的圆的方程；(2)求直线求直线 AB 的方程的方程解：解：(1)所求圆的圆心为线段所求圆的圆心为线段 OP 的中点的中点(2,3)，半径为半径为12|OP|12 40 2 60 2 13，以以 OP 为直径的圆的方程为为直径的圆的方程为(x2)2(y3)213.(2)PA，PB 是圆是圆 O：x2y21 的两条切线的两条切线，OAPA，OBPB，A，B 两点都在以两点都在以 OP 为直径的圆上为直径的圆上由由x2y21， x2 2 y3 213，得直线得直线 AB 的方程为的方程为 4x6y10.18(本小题满分本小题满分 15 分分)已知圆过点已知圆过点 A(1，2)，B(1,4)(1)求周长最小的圆的方程；求周长最小的圆的方程；(2)求圆心在直线求圆心在直线 2xy40 上的圆的方程上的圆的方程解：解：(1)当线段当线段 AB 为圆的直径时为圆的直径时，过点过点 A，B 的圆的半径最小的圆的半径最小，从而周长最小从而周长最小，即以线段即以线段 AB 的中点的中点(0,1)为圆心为圆心，r12|AB| 10为半径为半径则所求圆的方程为则所求圆的方程为 x2(y1)210.(2)法一：法一：直线直线 AB 的斜率的斜率 k4 2 113，则线段则线段 AB 的垂直平分线的方程是的垂直平分线的方程是 y113x，即即 x3y30.由由x3y30，2xy40，解得解得x3，y2，即圆心的坐标是即圆心的坐标是 C(3,2)r2|AC|2(31)2(22)220.所求圆的方程是所求圆的方程是(x3)2(y2)220.法二：法二：设圆的方程为设圆的方程为(xa)2(yb)2R2.则则 1a 2 2b 2R2， 1a 2 4b 2R2，2ab40a3，b2，R220.所求圆的方程为所求圆的方程为(x3)2(y2)220.19(本小题满分本小题满分 15 分分)已知圆已知圆 x2y24ax2ay20a200.(1)求证：对任意实数求证：对任意实数 a，该圆恒过一定点；该圆恒过一定点；(2)若该圆与圆若该圆与圆 x2y24 相切相切，求求 a 的值的值解：解：(1)证明：圆的方程可整理为证明：圆的方程可整理为(x2y220)a(4x2y20)0，此方程表示过圆此方程表示过圆 x2y2200 和直线和直线4x2y200 交点的圆系交点的圆系由由x2y2200，4x2y200得得x4，y2.已知圆恒过定点已知圆恒过定点(4，2)(2)圆的方程可化为圆的方程可化为(x2a)2(ya)25(a2)2.当两圆外切时当两圆外切时，dr1r2，即即 2 5 a2 2 5a2，解得解得 a155或或 a155(舍去舍去)；当两圆内切时当两圆内切时，d|r1r2|，即即| 5 a2 22| 5a2，解得解得 a155或或 a155(舍去舍去)综上所述综上所述，a155.20(本小题满分本小题满分 15 分分)在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中中，O 为坐标原点为坐标原点，以以 O 为圆心的圆与直为圆心的圆与直线线 x 3y40 相切相切(1)求圆求圆 O 的方程的方程(2)直直线线 l： ykx3 与与圆圆 O 交交于于 A， B 两点两点， 在在圆圆 O 上是否存在一上是否存在一点点 M， 使得四边使得四边形形 OAMB为菱形？若存在为菱形？若存在，求出此时直线求出此时直线 l 的斜率；若不存在的斜率；若不存在，说明理由说明理由解解： (1)设圆设圆 O 的半径长为的半径长为 r， 因为直线因为直线 x 3y40 与圆与圆 O 相切相切， 所以所以 r|0 304|132，所以圆所以圆 O 的方程为的方程为 x2y24.(2)法一：法一：因为直线因为直线 l：ykx3 与圆与圆 O 相交于相交于 A，B 两点两点，所以圆心所以圆心(0,0)到直线到直线 l 的距离的距离 d|3|1k252或或 k52.假设存在点假设存在点 M，使得四边形使得四边形 OAMB 为菱形为菱形，则则 OM 与与 AB 互相垂直且平分互相垂直且平分，所以原点所以原点 O 到直线到直线 l：ykx3 的距离的距离 d12|OM|1.所以所以|3|1k21，解得解得 k28，即即 k2 2，经验证满足条件经验证满足条件所以存在点所以存在点 M，使得四边形使得四边形 OAMB 为菱形为菱形法二：法二：设直线设直线 OM 与与 AB 交于点交于点 C(x0，y0)因为直线因为直线 l 斜率为斜率为 k，显然显然 k0，所以直线所以直线 OM 方程为方程为 y1kx，由由ykx03，y1kx0，解得解得x03kk21，y03k21.所以点所以点 M 的坐标为的坐标为6kk21，6k21 .因为点因为点 M 在圆上在圆上，所以所以6kk2126k2124，解得解得 k2 2，经验证均满足条件经验证均满足条件所以存在点所以存在点 M，使得四边形使得四边形 OAMB 为菱形为菱形
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