人教版 高中数学【选修 21】第一章命题及其关系、充分条件与必要条件

2019 学年人教版高中数学选修精品资料重点列表：重点列表：重点名称重要指数重点 1四种命题及其相互关系重点 2定义法判定充要条件重点 3集合法判定充要条件重点详解：重点详解：四种命题及其关系1四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若p，则q逆否命题若q，则p即：如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定， 那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题。2四种命题间的逆否关系3四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系重点重点 1 1：四种命题及其相互关系：四种命题及其相互关系【要点解读】1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系（尤其是两种等价关系）的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：（1）交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题；（2）同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题；（3）交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。注意：在写其他三种命题时，大前提必须放在前面。2.正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要3. 判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假， 再判断逆命题的真假， 然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假4. 否命题与命题的否定是两个不同的概念： 否命题是将原命题的条件否定作为条件， 将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法【考向 1】四种命题的关系及真假判断【例题】写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并分别判断四种命题的真假：(1)末位数字是 0 的多位数一定是 5 的倍数；(2)在ABC中，若ABAC，则CB；(3)若x22x30，则x1 或x3.解：(1)原命题：若一个多位数的末位数字是 0，则它是 5 的倍数逆命题：若一个多位数是 5 的倍数，则它的末位数字是 0.否命题：若一个多位数的末位数字不是 0，则它不是 5 的倍数逆否命题：若一个多位数不是 5 的倍数，则它的末位数字不是 0.这里，原命题与逆否命题为真命题，逆命题与否命题是假命题(2)逆命题：在ABC中，若CB，则ABAC.否命题：在ABC中，若ABAC，则CB.逆否命题：在ABC中，若CB，则ABAC.这里，四种命题都是真命题(3)逆命题：若x1 或x3，则x22x30.否命题：若x22x30，则1x3.逆否命题：若1x3，则x22x30.这里，四种命题都是真命题【点评】写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题，关键是找出原命题的条件p与结论q，将原命题写成“若p，则q”的形式在(2)中，原命题有大前提“在ABC中”，在写出它的逆命题、否命题和逆否命题时，应当保留这个大前提(3)中“x1 或x3”的否定形式是“x1 且x3”，即“1x3”. .【考向 2】命题的否定【例题】写出下列命题的否定形式和否命题：(1)若xy0，则x，y中至少有一个为零；(2)若ab0，则a，b中最多有一个大于零；(3)若四边形是平行四边形，则其相邻两个内角相等；(4)有理数都能写成分数. .(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系. .要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”. .(2)当一个命题有大前提而要写其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其他三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提. .(3)判断命题的真假，如果不易直接判断，可应用互为逆否命题的等价性来判断：原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价. .(4)分清“否命题”与“命题的否定”的区别. .“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念，“否命题”是对原命题既否定其条件，又否定其结论，而“命题的否定”是否定原命题，只否定命题的结论. .重点重点 2 2：定义法判定充要条件：定义法判定充要条件【要点解读】定义法：若,pq qp，则p是q的充分而不必要条件；若,pq qp，则p是q的必要而不充分条件； 若,pq qp， 则p是q的充要条件； 若,pq qp， 则p是q的既不充分也不必要条件。【考向 1】充要性的判定【例题】在ABC中，设p：asinBbsinCcsinA；q：ABC是正三角形，那么p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【点评】判断p是q成立的什么条件，就是根据充分条件与必要条件的定义，判断“若p，则q”与“若q，则p”是否成立，若只有一个成立，则p是q的充分不必要条件或必要不充分条件，若两个命题同时成立，则p是q的充要条件重点重点 3 3：集合法判定充要条件：集合法判定充要条件【要点解读】充要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件，MN等价于p和q互为充要条件，M，N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q的必要条件【考向 1】根据集合的包含关系判定【例题】“sin12”是“cos212”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【名师点睛】利用集合的观点来判断充要条件的问题，就是把命题p，q与集合的特征性质结合起来，即p，q是集合A，B的特征性质，Ax|p(x)，Bx|q(x)，再由集合A，B之间的关系就可以得到命题p，q之间的关系这里用数形结合的思想方法，能使问题的解答直观、简捷【考向 2】根据图像的包含关系判定【例题】设x，yR R，则“x2 且y2”是“x2y24”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解：设A（x，y）|x2，y2，B(x，y)|x2y24，通过画草图可知AB，则“x2 且y2”是“x2y24”的充分而不必要条件，故选 A.A.难点列表：难点列表：难点名称难度指数难点 1充要条件的证明与探求难点 2充要条件的应用难点详解：难点详解：难点难点 1 1：充要条件的证明与探求：充要条件的证明与探求【要点解读】充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解(2)要注意区间端点值的检验对于充要条件的证明问题，可用直接证法，即分别证明充分性与必要性。此时应注意分清楚哪是条件，哪是结论，充分性即由条件证明结论；而必要性则是由结论成立来证明条件也成立，千万不要张冠李戴；也可用等价法，即进行等价转化，此时应注意的是所得出的必须是前后能互相推出，而不仅仅是“推出”一方面（即由前者可推出后者，但后者不能推出前者） 。【考向 1】判定充要性【例题】数列an的前n项和SnAn2Bn(A，B是常数)是数列an是等差数列的什么条件？【评析】在证明与探求充要条件时，容易出现如下错误：张冠李戴，证明过程中把充分性与必要性搞反了；证明充分性或必要性时，没有把“p”(或“q”)分别作为条件，推出“q”(或“p”)【考向 2】求充要条件【例题】设nN N，一元二次方程x24xn0 有整数根的充要条件是n_. .解：x4 164n22 4n，因为x是整数，即 2 4n为整数，所以 4n为整数，且n4，又因为nN N，取n1，2，3，4，验证可知n3，4 符合题意；反之，n3，4 时，可推出一元二次方程x24xn0 有整数根故填 3 3 或 4.4.难点难点 2 2：充要条件的应用：充要条件的应用【要点解读】对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法，即利用pq与qp；qp与pq；pq与qp的等价关系。【考向 1】根据充要性求条件【例题】 设p： 实数x满足x24ax3a20， 其中a0，q： 实数x满足x2x60，x22x80.若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围. .【评析】此题和变式 5 难度都不大，但“拐弯抹角”，易于出错应注意：充分运用充要条件的定义；条理清晰，细心作答；借助数轴，准确运算【考向 2】带非 P 形式的充要性判断【例题】设p：实数x满足x24ax3a20，其中a0且綈p是綈q的必要不充分条件，求a的取值范围. .解：设Ax|x24ax3a20，a0 x|3ax0 x|x2p是q的必要不充分条件，q是p的必要不充分条件，AB.a4 或 3a2.又a0，a的取值范围是(，4充要条件的判断方法(1)定义法：分三步进行，第一步，分清条件与结论；第二步，判断pq及qp的真假；第三步，下结论. .(2)等价法：将命题转化为另一个等价且容易判断真假的命题. .一般地，这类问题由几个充分必要条件混杂在一起，可以画出关系图，运用逻辑推理判断真假. .(3)集合法：写出集合Ax|p(x)及Bx|q(x)，利用集合之间的包含关系加以判断：若AB，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的充分不必要条件；若BA，则p是q的必要条件；若BA，则p是q的必要不充分条件；若AB，则p是q的充要条件；若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件. .1设非空集合 |Sx mxn满足：当xS时，有2xS.给出如下三个命题中：若1m ，则1S ；若12m ，则114n；若12n ，则202m.其中正确命题的个数是（）A.3B.1C.2D.02下列语句错误的是（）A.如果不属于B的元素也不属于A，则ABB.把对数式lg2x 化成指数式为102xC.对数的底数必为正数D.“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效3德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数 10 xfxx， 为有理数；， 为无理数，称为狄利克雷函数，则关于函数 fx有以下四个命题： 1ffx；函数 fx是偶函数；任意一个非零有理数T， f xTf x对任意Rx恒成立；存在三个点11A xfx，22B xfx，33C xfx，使得ABC为等边三角形其中真命题的个数是（）A 4B 3C 2D14命题“若2015x ，则0 x ”的否命题是（）A若2015x ，则0 x B若0 x ，则2015x C若2015x ，则0 x D若0 x ，则2015x 5命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（）A “若一个数是负数，则它的平方不是正数”B “若一个数的平方是正数，则它是负数”C “若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D “若一个数的平方不是正数，则它不是负数”6 “2x ”是“112x”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件7 “2a ”是“直线2yax 与14ayx垂直”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8已知mR，“函数21xym有零点”是“函数logmyx在0 +（ ， ）上为减函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9在ABC中， “coscoscos0ABC”是“ABC为钝角三角形”的（）A充分必要条件B必要不充分条件C充分不必要条件D既不充分也不必要条件10 在等差数列na中，12a ， 公差为d， 则 “4d ” 是 “125aaa， ，成等比数列” 的 （）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件