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第四节基本不等式知识能否忆起一、基本不等式1基本不等式成立的条件：a0，b0.2等号成立的条件：当且仅当ab时取等号二、几个重要的不等式a2b22ab(a，bR)；2(a，b同号)ab2(a，bR)；2(a，bR)三、算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数四、利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则：(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2.(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)小题能否全取1(教材习题改编)函数yx(x0)的值域为()A(，22，)B(0，)C2，) D(2，)解析：选Cx0，yx2，当且仅当x1时取等号2已知m0，n0，且mn81，则mn的最小值为()A18 B36C81 D243解析：选Am0，n0，mn218.当且仅当mn9时，等号成立3(教材习题改编)已知0x1，则x的最小值为_解析：xx11415.当且仅当x1，即x3时等号成立答案：55已知x0，y0，lg xlg y1，则z的最小值为_解析：由已知条件lg xlg y1，可得xy10.则2 2，故min2，当且仅当2y5x时取等号又xy10，即x2，y5时等号成立答案：21.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误2对于公式ab2，ab2，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和ab的转化关系3运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2b22ab逆用就是ab；(a，b0)逆用就是ab2(a，b0)等还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等利用基本不等式求最值典题导入例1(1)已知x0，则f(x)2x的最大值为_(2)(2012浙江高考)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是()A.B.C5 D6自主解答(1)x0，x0，f(x)2x2.(x)24，当且仅当x，即x2时等号成立f(x)2242，f(x)的最大值为2.(2)x0，y0，由x3y5xy得1.3x4y(3x4y)25(当且仅当x2y时取等号)，3x4y的最小值为5.答案(1)2(2)C本例(2)条件不变，求xy的最小值解：x0，y0，则5xyx3y2，xy，当且仅当x3y时取等号xy的最小值为.由题悟法用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件以题试法1(1)当x0时，则f(x)的最大值为_(2)(2011天津高考)已知log2alog2b1，则3a9b的最小值为_(3)已知x0，y0，xyx2y，若xym2恒成立，则实数m的最大值是_解析：(1)x0，f(x)1，当且仅当x，即x1时取等号(2)由log2alog2b1得log2(ab)1，即ab2，3a9b3a32b23(当且仅当3a32b，即a2b时取等号)又a2b24(当且仅当a2b时取等号)，3a9b23218.即当a2b时，3a9b有最小值18.(3)由x0，y0，xyx2y2，得xy8，于是由m2xy恒成立，得m28，即m10.故m的最大值为10.答案：(1)1(2)18(3)10基本不等式的实际应用典题导入例2(2012江苏高考)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx(1k2)x2(k0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由自主解答(1)令y0，得kx(1k2)x20，由实际意义和题设条件知x0，k0，故x10，当且仅当k1时取等号所以炮的最大射程为10千米(2)因为a0，所以炮弹可击中目标存在k0，使3.2ka(1k2)a2成立关于k的方程a2k220aka2640有正根判别式(20a)24a2(a264)0a6.所以当a不超过6千米时，可击中目标由题悟法利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.以题试法2(2012福州质检)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元公司拟投入(x2600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价解：(1)设每件定价为t元，依题意，有t258，整理得t265t1 0000，解得25t40.因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元(2)依题意，x25时，不等式ax25850(x2600)x有解，等价于x25时，ax有解x2 10(当且仅当x30时，等号成立)，a10.2.因此当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元1已知f(x)x2(x0)，则f(x)有 ()A最大值为0B最小值为0C最大值为4 D最小值为4解析：选Cx0，f(x) 2224，当且仅当x，即x1时取等号2(2013太原模拟)设a、bR，已知命题p：a2b22ab；命题q：2，则p是q成立的()A必要不充分条件 B充分不必要条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B命题p：(ab)20ab；命题q：(ab)20.显然，由p可得q成立，但由q不能推出p成立，故p是q的充分不必要条件3函数y(x1)的最小值是()A22 B22C2 D2解析：选Ax1，x10.yx122 222.当且仅当x1，即x1时，取等号4(2012陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则()Aav BvC.v Dv解析：选A设甲、乙两地的距离为s，则从甲地到乙地所需时间为，从乙地到甲地所需时间为，又因为ab，所以全程的平均速度为va，即av0，b0，且不等式0恒成立，则实数k的最小值等于()A0 B4C4 D2解析：选C由0得k，而24(ab时取等号)，所以4，因此要使k恒成立，应有k4，即实数k的最小值等于4.7已知x，y为正实数，且满足4x3y12，则xy的最大值为_解析：124x3y2，xy3.当且仅当即时xy取得最大值3.答案：38已知函数f(x)x(p为常数，且p0)若f(x)在(1，)上的最小值为4，则实数p的值为_解析：由题意得x10，f(x)x1121，当且仅当x1时取等号，因为f(x)在(1，)上的最小值为4，所以214，解得p.答案：9(2012朝阳区统考)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为yx218x25(xN*)则当每台机器运转_年时，年平均利润最大，最大值是_万元解析：每台机器运转x年的年平均利润为18，而x0，故1828，当且仅当x5时，年平均利润最大，最大值为8万元答案：5810已知x0，a为大于2x的常数，(1)求函数yx(a2x)的最大值；(2)求yx的最小值解：(1)x0，a2x，yx(a2x)2x(a2x)2，当且仅当x时取等号，故函数的最大值为.(2)y2 .当且仅当x时取等号故yx的最小值为.11正数x，y满足1.(1)求xy的最小值；(2)求x2y的最小值解：(1)由12 得xy36，当且仅当，即y9x18时取等号，故xy的最小值为36.(2)由题意可得x2y(x2y)19192 196，当且仅当，即9x22y2时取等号，故x2y的最小值为196.12为了响应国家号召，某地决定分批建设保障性住房供给社会首批计划用100万元购得一块土地，该土地可以建造每层1 000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为800元(1)若建筑第x层楼时，该楼房综合费用为y万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，写出yf(x)的表达式；(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？解：(1)由题意知建筑第1层楼房每平方米建筑费用为720元，建筑第1层楼房建筑费用为7201 000720 000(元)72 (万元)，楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高201 00020 000(元)2(万元)，建筑第x层楼房的建筑费用为72(x1)22x70(万元)，建筑第x层楼时，该楼房综合费用为yf(x)72x2100x271x100，综上可知yf(x)x271x100(x1，xZ)(2)设该楼房每平方米的平均综合费用为g(x)，则g(x)10x7102 710910.当且仅当10x，即x10时等号成立综上可知应把楼层建成10层，此时平均综合费用最低，为每平方米910元1(2012浙江联考)已知正数x，y满足x2(xy)恒成立，则实数的最小值为()A1B2C3 D4解析：选B依题意得x2x(x2y)2(xy)，即2(当且仅当x2y时取等号)，即的最大值是2；又，因此有2，即的最小值是2.2设x，y，z为正实数，满足x2y3z0，则的最小值是_解析：由已知条件可得y，所以3，当且仅当xy3z时，取得最小值3.答案：33某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由解：(1)设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为36x6(x1)6(x2)619x(x1)，设平均每天所支付的总费用为y1元，则y11 80069x10 8092 10 80910 989，当且仅当9x，即x10时取等号即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少(2)因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每隔35天购买一次面粉设该厂利用此优惠条件后，每隔x(x35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2元，则y29x(x1)90061 8000.909x9 729(x35)令f(x)x(x35)，x2x135，则f(x1)f(x2).x2x135，x2x10，x1x20,100x1x20，故f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，即f(x)x，当x35时为增函数则当x35时，f(x)有最小值，此时y210 989.因此该厂应接受此优惠条件1函数ya1x(a0，且a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10(mn0)上，则的最小值为_解析：因yax恒过点(0,1)，则A(1,1)，又A在直线上，所以mn1(mn0)故4，当且仅当mn时取等号答案：42已知直线x2y2分别与x轴、y轴相交于A、B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值是_解析：A(2,0)，B(0,1)，0b1，由a2b2，得a22b，ab(22b)b2(1b)b22.当且仅当1bb，即b时等号成立，此时a1，因此当b，a1时，(ab)max. 答案：3若x，y(0，)，x2yxy30.(1)求xy的取值范围；(2)求xy的取值范围解：由x2yxy30，(2x)y30x，则2x0，y0,0x30.(1)xyx323418，当且仅当x6时取等号，因此xy的取值范围是(0,18(2)xyxx1x2383，当且仅当时等号成立，又xyx2330，因此xy的取值范围是83,30)
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