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“计数原理计数原理”双基过关检测双基过关检测一一、选择题选择题1(2017滨州模拟滨州模拟)甲甲、乙两人从乙两人从 4 门课程中选修门课程中选修 2 门门，则甲则甲、乙所选课程中恰有乙所选课程中恰有 1 门门相同的选法有相同的选法有()A6 种种B12 种种C24 种种D30 种种解析：解析：选选 C分步完成：分步完成：第一步第一步，甲甲、乙选同一门课程有乙选同一门课程有 4 种方法；种方法；第二步第二步，甲从剩余的甲从剩余的 3 门课程选一门有门课程选一门有 3 种方法；种方法；第三步第三步，乙从剩余的乙从剩余的 2 门中选出一门课程有门中选出一门课程有 2 种方法；种方法；甲甲、乙恰有乙恰有 1 门相同课程的选法有门相同课程的选法有 43224(种种)2.现有现有 4 种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色， 要求有公共要求有公共边界的两块不能用同一种颜色边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有则不同的着色方法共有()A24 种种B30 种种C36 种种D48 种种解析：解析：选选 D按按 ABCD 顺序分四步涂色顺序分四步涂色，共有共有 432248(种种)3(2017云南师大附中适应性考试云南师大附中适应性考试)在在(ax)7展开式中展开式中 x4的系数为的系数为 280，则实数则实数 a 的值的值为为()A1B1C2D2解析：解析：选选 C由题知由题知，C47a3280，得得 a2，故选故选 C.4(2016佛山二模佛山二模)教学大楼共有五层教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有由一层到五层的走法有()A10 种种B25种种C52种种D24种种解析：解析：选选 D每相邻的两层之间各有每相邻的两层之间各有 2 种走法种走法，共分共分 4 步由分步乘法计数原理步由分步乘法计数原理，共共有有 24种不同的走法种不同的走法5张张、王两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩王两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园购票后排队依次入园为安全起为安全起见见，首尾一定要排两位爸爸首尾一定要排两位爸爸，另外另外，两个小孩一定要排在一起两个小孩一定要排在一起，则这六人入园顺序的排法则这六人入园顺序的排法种数为种数为()A12B24C36D48解析：解析：选选 B将两位爸爸排在两端将两位爸爸排在两端，有有 2 种排法；将两个小孩视作一人与两位妈妈任种排法；将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上意排在中间的三个位置上，有有 2A33种排法种排法，故总的排法有故总的排法有 22A3324(种种)6某校从某校从 8 名教师中选派名教师中选派 4 名教师同时去名教师同时去 4 个边远地区支教个边远地区支教(每地每地 1 人人)，其中甲和乙其中甲和乙不同去不同去，甲和丙只能同去或同不去甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案种数是则不同的选派方案种数是()A150B300C600D900解析：解析：选选 C若甲去若甲去，则乙不去则乙不去，丙去丙去，再从剩余的再从剩余的 5 名教师中选名教师中选 2 名名，有有 C25A44240 种方法；若甲不去种方法；若甲不去，则丙不去则丙不去，乙可去可不去乙可去可不去，从从 6 名教师中选名教师中选 4 名名，共有共有 C46A44360 种方法因此共有种方法因此共有 600 种不同的选派方案种不同的选派方案7(2017成都一中模拟成都一中模拟)设设(x21)(2x1)9a0a1(x2)a2(x2)2a11(x2)11，则则 a0a1a2a11的值为的值为()A2B1C1D2解析：解析：选选 A令等式中令等式中 x1，可得可得 a0a1a2a11(11)(1)92，故故选选A.8从从 1,3,5,7,9 这五个数中这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为每次取出两个不同的数分别记为 a，b，共可得到共可得到 lg alg b的不同值的个数是的不同值的个数是()A9B10C18D20解析：解析：选选 Clg alg blgab，从从 1,3,5,7,9 中任取两个数分别记为中任取两个数分别记为 a，b，共有共有 A2520种结果种结果，其中其中 lg13lg39，lg31lg93，故共可得到不同值的个数为故共可得到不同值的个数为 20218.故选故选 C.二二、填空题填空题9.2x1x5的二项展开式中的二项展开式中 x 项的系数为项的系数为_解析解析：2x1x5的展开式的通项是的展开式的通项是 Tr1Cr5(2x)5r1xrCr5(1)r25rx52r.令令 52r1 得得 r2.因此因此2x1x5的展开式中的展开式中 x 项的系数是项的系数是 C25(1)225280.答案：答案：8010(2016石家庄模拟石家庄模拟)将甲将甲、乙乙、丙丙、丁四名学生分到两个不同的班丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分每个班至少分到一名学生到一名学生，且甲且甲、乙两名学生不能分到同一个班乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为则不同的分法的种数为_(用数用数字作答字作答)解析：解析：第第 1 步步，把甲把甲、乙分到不同班级有乙分到不同班级有 A222 种分法；种分法；第第 2 步步，分丙分丙、丁：丁：丙丙、丁分到同一班级有丁分到同一班级有 2 种方法；种方法；丙丙、丁分到两个不同班有丁分到两个不同班有 A222 种分法种分法由分步乘法计数原理由分步乘法计数原理，不同的分法为不同的分法为 2(22)8(种种)答案：答案：811如图所示如图所示，在在 A，B 间有四个焊接点间有四个焊接点，若焊接点脱落若焊接点脱落，则可能导致电路不通则可能导致电路不通，今发今发现现 A，B 之间线路不通之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有则焊接点脱落的不同情况有_种种解析解析：四个焊点共有四个焊点共有 24种情况种情况，其中使线路通的情况有其中使线路通的情况有：1,4 都通都通，2 和和 3 至少有一个至少有一个通时线路才通通时线路才通，共有共有 3 种可能故不通的情况有种可能故不通的情况有 24313(种种)可能可能答案：答案：1312.(2017宁波调研宁波调研)如图如图，用用 4 种不同的颜色对图中种不同的颜色对图中 5 个区域涂色个区域涂色(4 种颜色种颜色全部使用全部使用)，要求每个区域涂一种颜色要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同则不同的涂色方法有的涂色方法有_种种解析解析： 若若 1,3 不同色不同色， 则则 1,2,3,4 必不同色必不同色， 有有 3A4472 种涂色法种涂色法； 若若 1,3 同色同色， 有有 C14C13A2224 种涂色法根据分类计数原理可知种涂色法根据分类计数原理可知，共有共有 722496 种涂色法种涂色法答案：答案：96三三、解答题解答题13 已知已知(a21)n展开式中的展开式中的二项式二项式系数之和等于系数之和等于165x21x5的展开式的常数项的展开式的常数项， 而而(a21)n的展开式的的展开式的二项式二项式系数最大的项等于系数最大的项等于 54，求正数求正数 a 的值的值解：解：165x21x5展开式的通项展开式的通项Tr1Cr5165x25r1xrCr51655rx205r2，令令 205r0，得得 r4，故常数项故常数项 T5C4516516，又又(a21)n展开式的各项系数之和为展开式的各项系数之和为 2n，由题意得由题意得 2n16，n4.(a21)4展开式中展开式中二项式二项式系数最大的项是中间项系数最大的项是中间项 T3，从而从而 C24(a2)254，a 3.14从从 1 到到 9 的的 9 个数字中取个数字中取 3 个偶数个偶数 4 个奇数个奇数，试问：试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中上述七位数中，3 个偶数排在一起的有几个？个偶数排在一起的有几个？(3)(1)中的七位数中中的七位数中，偶数排在一起偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？奇数也排在一起的有几个？解解：(1)分三步完成分三步完成：第一步第一步，在在 4 个偶数中取个偶数中取 3 个个，有有 C34种情况种情况；第二步第二步，在在 5 个奇个奇数中取数中取 4 个个，有有 C45种情况种情况；第三步第三步，3 个偶数个偶数，4 个奇数进行排列个奇数进行排列，有有 A77种情况种情况所以符所以符合题意的七位数有合题意的七位数有 C34C45A77100 800 个个(2)上述七位数中上述七位数中，3 个偶数排在一起的有个偶数排在一起的有 C34C45A33A5514 400 个个(3)(1)中的七位数中中的七位数中，3 个偶数排在一起个偶数排在一起，4 个奇数也排在一起的有个奇数也排在一起的有 C34C45A33A44A225 760个个
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