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2014 届福州市高三综合练习届福州市高三综合练习 数学数学(理理) 参考答案参考答案 1-5 DABCA 6-10 BCABA 11.14 12.1 13.4 327 14.)4 , 0 15.x|x1. 16. 解:(1)茎叶图如图所示:(2 分) 甲 乙 9 0 1 3 5 9 1 2 3 7 11 12 13 14 0 0 4 6 7 0 4 6 6 7 统计结论:甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度; 甲种树苗比乙种树苗长得更整齐; 甲种树苗高度的中位数为 127,乙种树苗高度的中位数为 128.5; 甲种树苗的高度基本上是对称的,而且大多数集中在均值附近,乙种树苗的高度分布较为分散.4 分(每写出一个统计结论得 1 分) (2)依题意,x127,S35. (6 分) S表示 10 株甲种树苗高度的方差,是描述树苗高度的离散程度的量. S值越小,表示树苗长得越整齐,S值越大,表示树苗长得越参差不齐. (3)由题意可知,领取一株甲种树苗得到“良种树苗”的概率为12,则XB5，12, (10 分) 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P 132 532 516 516 532 132 13 分 17. (1)由题意，sin2sincossincosACBBC 得2sincossin()sinAABCA 2 分 由于ABC中sin0A,2cos1A,1cos2A3 分 23sin1cos2AA 4 分 2R=3,31,32sinSRAa-6 分 (2)因为O为ABC的外心,由O向边BC、CA、AB引垂线,垂足分别为D、E、F, 所以RCOFBOEAODcos|cos|cos|,故COFBOEAODcos|cos|cos|=3-13 分 解:()如图所示建立空间直角坐标系Oxyz,则A(1,0,0),C(0,1,0),设11,DDm B En, 由于111BB B E,所以1mn ,并且1(0,0,)Dm,E(1,1,mn), 2 分 1(1,1, )D En,1( 1,0,)ADm ,1(0, 1,)CDm, 1110D E ADmn ,11D EAD 又1110D E CDmn ,11D ECD 111ADCDD,1D E 平面1ADC 6 分 ()(0,1,)AEmn，(1,0,)CEmn 设平面EAC的法向量为( , , )tx y z,则00t AEt CE, 即()0()0yz mnxz mn,令1z , 则()xymn ,(,1)tmnmn . 9 分 1D E 平面1ADC,平面1ADC的法向量1(1,1, )D En 11cos|4| | |t D EtD E,即22222|22()11 1mnnmnn ,解得22,2mn 12 分 当1112B EBB时,二面角1EACD的大小为4. 13 分 19.解:()设椭圆C的方程为22221xyab(0ab) 431222eab 点(1,32)在椭圆C上,221914ab, 由得:224,3ab 椭圆C的方程为22143xy， 4 分 ()设切点坐标11( ,)A x y,22(,)B xy,则切线方程分别为11143x xy y,22143x xy y. 又两条切线交于点 M(4,t),即1113txy,2213txy 即点A、B的坐标都适合方程13txy,显然对任意实数t,点(1,0)都适合这个方程， 故直线AB恒过椭圆的右焦点2F. 7 分 ()将直线AB的方程13txy ，代入椭圆方程,得 223(1)41203tyy,即22(4)2903tyty 所以122612tyyt,1222712y yt 10 分 不妨设120,0yy,22222211119|(1)(1)93ttAFxyyy, 同理2229|3tBFy 所以2211|AFBF=212212123113()99yyyyy ytt=221212()3439yyy yt 所以2211|AFBF的值恒为常数43. 13 分 20.解:()由ln( )xxkf xe得1ln( )xkxxxfxxe,(0,)x, 所以曲线 y=( )f x在点(1,(1)f)处的切线斜率为1(1)kfe, (1)kfe,曲线 y=( )f x切线方程为1(1)kkyxee, 假设切线过点(2,0),代入上式得:10(2 1)kkee,得到 0=1 产生矛盾,所以假设错误, 故曲线y=( )f x在点(1,(1)f)处的切线不过点(2,0)4 分 ()由0()0fx得0001lnxxkx 001x,02010 xkx ,所以0()k x在(0,1上单调递减,故1k 7 分 ()令2( )()( )g xxx fx,当0 x=1 时,1k ,所以1( )(1ln ),(0,)xxg xxxx xe. 因此,对任意0 x ,2( )1g xe等价于21ln(1)1xexxxex.9 分 由( )1lnh xxxx ,(0,)x.所以( )ln2,h xx (0,)x. 因此,当2(0,)xe时,( )0h x ,( )h x单调递增;2(,)xe时,( )0h x ,( )h x单调递减. 所以( )h x的最大值为22()1h ee,故21ln1xxxe. 12 分 设( )(1)xxex,( )1xxe, 所 以( 0 ,)x 时( )0 x,( )x单 调 递增,( )(0)0 x, 故(0,)x时,( )(1)0 xxex,即11xex. 所以221ln1(1)1xexxxeex . 因此,对任意0 x ,221( )efxxx恒成立 14 分 21.(1)解:()由题意,二阶矩阵A对应的变换是横坐标不变,纵坐标变为原来一半的变换,故10102A 二阶矩阵B对应的变换是逆时针旋转090的旋转变换,故0110B 4 分 () C=BA=011010102,10210C 设曲线10 xy 上任意一点为( , )m n,变换后的点坐标为( , )x y 10210 xmyn,12xnym ，10mn 210 xy 故所求的曲线方程为210 xy 7 分 21.(2)解:()由4cos,得24 cos,222xy,cosx 曲线1C的直角坐标方程是224xyx,即22(2)4xy. 3 分 ()设11(2cos ,1sin )Att,22(2cos ,1sin )Btt, 由已知| 2|MBMB,得122tt 4 分 联立直线的参数方程与曲线1C的直角坐标方程得:222cos(1sin )4tt, 整理得:22 sin30tt,12122sin ,3ttt t ,与联立得: 6sin4,10cos4 直线的参数方程为1024614xtyt (t为参数)或1024614xtyt (t为参数) 消去参数的普通方程为1552 150 xy或1552 150 xy7 分 21.(3)解:()原不等式等价于: 当1x 时,232x,即112x. 当12x时,12,即12x 当2x 时,232x ,即522x. 综上所述,原不等式的解集为15 |22xx. 4 分 ()当0a 时,()( ) |1|f axaf xaxaxa =|1|axaax |1| |1|axaaxa 所以23 |1|aa 2a 7 分
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